2022-2023學年江西省上饒市高二下學期階段測試（四）數學試題【含答案】

2022-2023學年江西省上饒市高二下學期階段測試（四）數學試題一、單選題1．在等差數列中，首項，前3項和為6，則等于（

）A．0 B．6 C．12 D．18【答案】A【分析】根據題意求出公差，從而可得出答案.【詳解】設公差為，則，解得，所以.故選：A.2．下列導數運算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據基本初等函數的求導公式和導數的四則運算法則逐項計算即可判斷.【詳解】；；；.故選：D.3．已知公差不為零的等差數列滿足：，且成等比數列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據條件列出關于等差數列基本量的方程組，即可求解.【詳解】設等差數列的首項為，公差為，則，，因為成等比數列，所以，即，因為，所以，所以.故選：A4．已知，的導函數分別為，且，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】確定，代入數據計算得到答案.【詳解】由得，所以，故選：C5．中國古代某數學名著中有這樣一個類似問題：“四百四十一里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見末日行里數，請公仔細算相還.”其意思為：有一個人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問最后一天走的路程是（

）A．7里 B．8里 C．9里 D．10里【答案】A【分析】由“每天走的路程為前一天的一半”可知這個人每天走的路程是等比數列，再根據等比數列求和公式得出答案.【詳解】設第六天走的路程為，第五天走的路程為……第一天走的路程記為，根據題意每天走的路程為前一天的一半，所以公比，且，，所以，從而解得，故選：A.6．記等比數列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據等比數列通式求出，再化簡得，代入計算即可.【詳解】設等比數列的公比為，由，得，故選：D.7．已知函數，若函數有個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導數可求得單調性和最值，由此可得圖象，根據函數零點個數可直接構造不等式求得結果.【詳解】定義域為，，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；，可得圖象如下圖所示，有個零點，，解得：，即實數的取值范圍為.故選：D.8．給定函數，若數列滿足，則稱數列為函數的牛頓數列．已知為的牛頓數列，，且，數列的前項和為．則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由導數結合題設條件得出，兩邊取對數，結合等比定義以及求和公式求解即可.【詳解】，，，則兩邊取對數可得.即，所以數列是以為首項，為公比的等比數列.所以.故選：A二、多選題9．已知函數，關于的性質，以下四個結論中正確的是（）A．函數在處取得最小值 B．函數在區(qū)間上是增函數C．有兩個零點 D．是奇函數【答案】AC【分析】求出函數的導數，利用導數探討單調性、最值判斷AB；解方程求出零點判斷C；利用奇偶性定義判斷D作答.【詳解】函數的定義域為R，，當時，，即函數在上單調遞減，當或時，，即函數在，上單調遞增，B錯誤；函數的極大值，極小值，而當或時恒有，因此函數在處取得最小值，A正確；由解得或，因此函數有兩個零點，C正確；因為，，即是非奇非偶函數，D錯誤.故選：AC10．已知數列的前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數列 B．數列是遞增數列C．數列中的最小項為 D．、、成等差數列【答案】AB【分析】根據可知數列為等差數列，根據通項公式和求和公式結合選項逐個判斷.【詳解】因為，所以數列為等差數列，公差為3，因為，所以，；對于A，因為，所以是遞增數列，A正確；對于B，因為，所以數列是遞增數列，B正確；對于C，因為，所以數列中的最小項為，C不正確；對于D，當時，，顯然不是等差數列，D不正確.故選：AB.11．已知函數，函數，下列選項正確的是（

）A．點是函數的零點；B．，，使C．若關于的方程有一個根，則實數的取值范圍是D．函數的值域為【答案】BD【分析】由函數零點的定義可判斷A不正確，根據函數的單調性，結合圖像可判斷B與D是否正確，根據函數的單調性與極值情況，結合圖像可確定a的取值范圍，可判斷選項C．【詳解】令，可得，是函數的零點，零點是實數0，不是點，A錯誤；因為，當時，，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，且的極小值為和，且，當時，，當時，，如圖，作出函數的圖像，觀察圖像可知，，，使，所以B正確；函數的值域為，D正確；對于C，由，得，因為，則，令，得或或，當變化時，，的變化情況，如下表x012＋0－0＋－0＋遞增遞減0遞增遞減遞增如圖，當或或時，關于的方程有一個根，所以a的取值范圍是，C不正確.故選：BD．12．如圖，有一列曲線，，……，，……，且1是邊長為1的等邊三角形，是對進行如下操作而得到：將曲線的每條邊進行三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到，記曲線的邊數為，周長為，圍成的面積為，則下列說法正確的是（

）A．數列{}是首項為3，公比為4的等比數列B．數列{}是首項為3，公比為的等比數列C．數列是首項為，公比為的等比數列D．當n無限增大時，趨近于定值【答案】ABD【分析】結合圖形規(guī)律得，即可判斷A,根據第個圖形的邊長為，即可判斷B，根據，利用累加法及等比數列的前項和公式求出．【詳解】是在的基礎上，每條邊新增加3條新的邊，故，又,所以數列{}是首項為3，公比為4的等比數列,且故A正確，第個圖形的邊長為，所以，故數列{}是首項為3，公比為的等比數列，故B正確，因為是在的每條邊上再生出一個小正三角形，于是，同理，對是在的每條邊上再生出一個小正三角形，于是的面積等于的面積加上個新增小三角形的面積，即，于是可以利用累加的方法得到將上面式子累加得當時，，故C錯誤，D正確，故選：ABD三、填空題13．若數列為等差數列，且，，則該數列的前項和為．【答案】【分析】根據等差數列的通項公式和前n項和公式列出方程，求得首項和公差，即可求得答案.【詳解】由題意數列為等差數列，且，，設數列公差為d，則，解得，故，故答案為：14．已知，成等差數列，則.【答案】2【分析】先利用對數的定義求出的范圍，再利用等差數列的性質建立方程解出即可.【詳解】由對數定義有：，由成等差數列，所以，即，化簡得：，解得：或，由，所以：，故答案為：2.15．已知恰有一個零點，則的值為.【答案】/【分析】根據條件可得，進而把問題轉化為只有一解，然后利用導數研究函數的性質結合函數圖象即得；或根據公切線的幾何求法轉化為方程只有一解進而求解.【詳解】解法一：因為，即，所以，故，令，則，因為，當時，，函數單調遞增，又因為時，，，所以，即只有一解，設，則，由可得，函數單調遞增；由可得，函數單調遞減；當時，函數，可得函數的大致圖象，

所以即.解法二：因為函數與互為反函數，圖象關于對稱，要使恰有一個零點，則與相切，所以，即，所以只有一個解，以下同方法一.故答案為：.四、雙空題16．已知，若對任意兩個不等的正實數都有恒成立，則的取值范圍是，若在區(qū)間上存在單調遞增區(qū)間，則的取值范圍是．【答案】【分析】將不等式等價變形成，構造函數，利用函數單調性得解；由函數的導函數大于0在上有解即可作答.【詳解】因對任意兩個不等的正實數都有，則不妨令，于是有，設函數，依題意，是定義域上的增函數，則有，而當時，取得最大值1，從而得，所以的取值范圍是；因在區(qū)間上存在單調遞增區(qū)間，則不等式，即在上有解，而時，，于是得，所以的取值范圍是.故答案為：；五、解答題17．已知數列是公差為2的等差數列，它的前n項和為Sn，且成等比數列.（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和.【答案】（1），（2）【分析】（1）由題意可得，從而可求出，進而可求得的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項相消求和法可求得結果【詳解】（1）因為數列是公差為2的等差數列，且成等比數列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.18．已知函數，，且．求(1)的值及曲線在點處的切線方程；(2)函數在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）求出函數的導函數，由代入求出，從而得到函數解析式與導函數，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極小值，在計算端點值，即可判斷.【詳解】（1）由題意，，因為，所以，解得，所以，則，，則，所以切點為，切線的斜率，所以切線方程為.（2）因為，，則，所以當或時，當時，所以在，上單調遞增，在上單調遞增，則函數在處取得極大值，在處取得極小值，又，，，所以.19．已知數列的前n項和為，滿足，是以為首項，且公差不為0的等差數列，成等比數列．(1)求，的通項公式；(2)令，求數列的前n項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據可求，據此可求數列的通項，利用基本量法結合等比中項可求的公差，故可求其通項公式.（2）根據錯位相減法可求.【詳解】（1）因為，所以當時，，所以，當時，，兩式相減可得，，故，而，故，所以，所以是首項為，公比為的等比數列，所以.設等差數列的公差為，因為，所以．因為成等比數列，所以，解得：（舍去）或，所以.（2），，，故.20．已知是函數的極值點，且曲線在點處的切線斜率為．(1)求函數的解析式；(2)設，若對任意，總存在，使得成立，求實數m的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據極值點處的導數為零，結合導數幾何意義，列出滿足的等量關系，求得，則問題得解；（2）求得在區(qū)間上的值域，根據值域的包含關系，列出的不等式，求解即可.【詳解】（1），則，由題可知，，解得，故.（2）由（1）知，，故當，，單調遞減；當，，單調遞增；又，故在上的值域為；，當，單調遞增，故值域為；根據題意，是的子集，故，解得，故實數的取值范圍為.21．如圖，曲線下有一系列正三角形，設第個正三角為坐標原點）的邊長為．(1)求，的值；(2)記為數列的前項和，求的通項公式．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據題意求得點和，代入曲線，即可求解；（2）記為數列的前項和，求得，得到，結合，化簡得到，利用等差數列的通項公式，即可求解.【詳解】（1）由題意知為邊長為的等邊三角形，可得，因為點在曲線上，可得，解得，又由，可得，解得.（2）記為數列的前項和，則，即，整理得，當時，可得，所以，即，因為，所以，又因為，即數列是以為首項，為公差的等差數列，所以數列的通項公式為．22．已知函數．(1)若在處取得極大值，求的單調區(qū)間；(2)若恰有三個零點，求實數的取值范圍．【答案】(1)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為和；(2)【分析】（1）求導之后，分解因式求出導函數的零點，按零點的大小分類討論即可求解（2），顯然是的零點，則問題轉化為方程，即恰有兩個不為2的實數根，構造函數數形結合即可求解【詳解】（1）由