2022-2023學(xué)年江西省上饒市高二下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省上饒市高二下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若命題：，，則命題的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)全稱量詞的否定規(guī)則，先改寫(xiě)量詞，再否定結(jié)論即可.【詳解】根據(jù)全稱量詞的否定規(guī)則，先改寫(xiě)量詞，再否定結(jié)論，可得原命題的否定為“，”.故選:D2．甲、乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲獲得冠軍的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】討論甲獲勝時(shí)比賽的場(chǎng)次，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解.【詳解】若比賽兩場(chǎng)甲獲勝，則概率為；若比賽三場(chǎng)甲獲勝，則概率為；甲獲得冠軍的概率.故選：D.3．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為1，則半徑（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，由勾股定理即可求解.【詳解】圓心到直線的距離為，所以，故，故選：B4．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的弦AB，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程：，與拋物線方程聯(lián)解得一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合曲線的弦長(zhǎng)的公式，可以求出線段的長(zhǎng)度．【詳解】解：根據(jù)拋物線方程得：焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率為，由直線方程的點(diǎn)斜式方程，設(shè)，將直線方程代入到拋物線方程中，得：，整理得：，設(shè)，，，，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，，所以弦長(zhǎng)．故選：B．5．若直線過(guò)原點(diǎn)，且與函數(shù)的圖像相切，則該直線的斜率為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，由切點(diǎn)坐標(biāo)可得切線斜率，由點(diǎn)斜式即可得切線方程，代入坐標(biāo)原點(diǎn)即可求解，進(jìn)而可求斜率.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程的斜率為.故選：B6．在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差數(shù)列的求和公式可求得的公差為，再由等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，可得：，所?故選：A.7．如圖，已知四棱臺(tái)的底面是直角梯形，，，，平面，是側(cè)棱所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，與所成角的余弦值的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值.【詳解】以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過(guò)A垂直平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，設(shè)，，設(shè)與所成角為，則，設(shè)，則有，由存在，則，解得，即的最大值為，所以與所成角的余弦值的最大值為.故選：C8．已知函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．曲線在處的切線方程為B．函數(shù)有唯一極小值C．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減D．對(duì)于任意的總滿足【答案】ABD【分析】利用求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，極小值的判定方法，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，可得答案.【詳解】，則，而，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，A正確；則，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于故存在使得，即，可得有唯一極小值，B正確；設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此對(duì)任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；設(shè)，則由選項(xiàng)C知，在上單調(diào)遞增，而，則，即有，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即有，所以對(duì)任意的，總滿足，D正確.綜上，正確答案為ABD.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題處理．二、多選題9．記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝6，則S4＝（

）A．－10 B．－8 C．8 D．10【答案】AC【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，解方程求出的值即得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于，，則，或，所以或，故選：AC.10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．在處取得極大值D．在處取得極大值【答案】AC【分析】由的圖象得出在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，從而得出的單調(diào)性，從而可得出答案.【詳解】由的圖象可知：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故A正確；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，故C正確；由于在上單調(diào)遞增，所以在沒(méi)有取得極大值，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知圓，則（

）A．存在個(gè)不同的，使得圓與軸相切B．存在個(gè)不同的，使得圓在兩坐標(biāo)軸上截得的線段長(zhǎng)度相等C．存在個(gè)不同的，使得圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)D．存在個(gè)不同的，使得圓的面積被直線平分【答案】AC【分析】根據(jù)圓與軸相切，可得出，解此方程可判斷A選項(xiàng)；分析可得，判斷出滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)，可判斷B選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合可判斷C選項(xiàng)；由已知可得出，構(gòu)造，其中，利用導(dǎo)數(shù)法可判斷D選項(xiàng).【詳解】由題意可知，，且圓的圓心為，半徑為.對(duì)于A選項(xiàng)，若圓與軸相切，則，解得或，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若圓在兩坐標(biāo)軸上截得的線段長(zhǎng)度相等，則，可得，圓截軸所得弦長(zhǎng)為，圓截軸所得弦長(zhǎng)為，所以，，所以，，令，，其中，所以，，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，，，所以，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若圓過(guò)原點(diǎn)，則，由圖可知，與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以滿足要求的有個(gè)，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，若圓的面積被直線平分，則直線過(guò)圓心，所以，，即，令，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，因此，存在唯一的，使得圓的面積被直線平分，D錯(cuò).故選：AC.12．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列D．當(dāng)數(shù)列單調(diào)遞增時(shí)，的取值范圍是【答案】BD【分析】對(duì)于A，由，多寫(xiě)一項(xiàng)，兩式相減得到，注意檢驗(yàn)時(shí)是否成立即可；對(duì)于B，先根據(jù)題意求得，從而得到奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列得前項(xiàng)和公式即可求解；對(duì)于C，結(jié)合B選項(xiàng)求得，，得到數(shù)列為，進(jìn)而判斷即可；對(duì)于D，先結(jié)合選項(xiàng)C求得，，再根據(jù)數(shù)列單調(diào)遞增，則必有，且，求解即可得出的取值范圍．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，?dāng)，，兩式相減得，但當(dāng)時(shí)，，即，得，不符合，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，結(jié)合A選項(xiàng)有，所以，兩式相減得，又，令，則，，得，又，所以，令，則，，得，所以，則，所以，所以奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，所以B正確；對(duì)于C，結(jié)合B選項(xiàng)有，，，又，則，，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)都是等差數(shù)列，但數(shù)列為，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，結(jié)合選項(xiàng)C有，，又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增，則必有，且，所以，且，解得，所以的取值范圍是，所以D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題或不等式問(wèn)題，要充分挖掘題干條件，通常由遞推公式求通項(xiàng)公式，或研究出數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列或等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解．三、填空題13．已知，，三點(diǎn)共線，則＝．【答案】6【分析】利用可得出關(guān)于的等式，由此可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于、、三點(diǎn)共線，則，即，解得.故答案為：6.14．已知數(shù)列中，對(duì)成立，且，則．【答案】【分析】由對(duì)成立知數(shù)列為常數(shù)列.【詳解】由對(duì)成立知數(shù)列為常數(shù)列，故，所以.故答案為：1015．?dāng)?shù)列滿足，則的前項(xiàng)和．【答案】【分析】根據(jù)所給遞推關(guān)系可得，，與原式作差即可求解，再結(jié)合錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式作差可得，∴，當(dāng)時(shí)，不滿足，故，∴當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，得，則，，兩式相減得，，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，滿足，∴．故答案為：．16．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】由，得或，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)根.由，得或.因?yàn)?，所以，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以可畫(huà)出的大致圖象：由圖可知有2個(gè)不同的實(shí)根，則有3個(gè)不同的實(shí)根，所以.故答案為：.四、解答題17．某食品加工廠新研制出一種袋裝食品（規(guī)格：/袋），下面是近六個(gè)月每袋出廠價(jià)格（單位：元）與銷售量（單位：萬(wàn)袋）的對(duì)應(yīng)關(guān)系表：月份序號(hào)每袋出廠價(jià)格月銷售量并計(jì)算得，，.(1)計(jì)算該食品加工廠這六個(gè)月內(nèi)這種袋裝食品的平均每袋出廠價(jià)格、平均月銷售量和平均月銷售收入；(2)求每袋出廠價(jià)格與月銷售量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）；(3)若樣本相關(guān)系數(shù)，則認(rèn)為相關(guān)性很強(qiáng)；否則沒(méi)有較強(qiáng)的相關(guān)性.你認(rèn)為該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價(jià)格與月銷售量是否有較強(qiáng)的相關(guān)性.附：樣本相關(guān)系數(shù)，.【答案】(1)平均每袋出廠價(jià)格為（元），平均月銷售量為（萬(wàn)袋），平均月銷售收入為（萬(wàn)元）(2)(3)該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價(jià)格與月銷售量有較強(qiáng)的相關(guān)性【分析】（1）由表格中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）將樣本相關(guān)系數(shù)公式轉(zhuǎn)化為，利用表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；（3）將（2）中樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值與進(jìn)行比較即可.【詳解】（1）該食品加工廠這六個(gè)月內(nèi)這種袋裝食品的平均每袋出廠價(jià)格為：（元），平均月銷售量為（萬(wàn)袋），平均月銷售收入為（萬(wàn)元）.（2）由已知，每袋出廠價(jià)格與月銷售量的樣本相關(guān)系數(shù)為：.（3）由于每袋出廠價(jià)格與月銷售量的樣本相關(guān)系數(shù)，所以該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價(jià)格與月銷售量有較強(qiáng)的相關(guān)性.18．已知數(shù)列.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題中等式因式分解后化簡(jiǎn)，根據(jù)等差數(shù)列定義證明即可；（2）根據(jù)（1）中證明過(guò)程得到數(shù)列通項(xiàng)公式，得到數(shù)列通項(xiàng)公式，再裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】（1），因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，所以，.19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，為正三角形，平面平面，．

(1)證明：；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由線面垂直的判定定理可證得平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理可證得；（2）由題意可得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線的方向向量與平面的法向量，由線面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎切?，所以，底面ABCD為菱形，，所以為正三角形，所以，，平面，所以平面，平面，所以；

（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又因?yàn)?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，，，，設(shè)平面，，則，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.

20．銀行按規(guī)定每經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫做復(fù)利．現(xiàn)在某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年可獲得利潤(rùn)1萬(wàn)元，以后每年比上年增加的利潤(rùn)；乙方案：每年貨款1萬(wàn)元，第一年可獲得利潤(rùn)1萬(wàn)元，以后每年比前一年多獲利5000元．兩種方案的期限都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行貸款利息均以年息的復(fù)利計(jì)算，試問(wèn)該企業(yè)采用哪種方案獲得利潤(rùn)更多？（參考數(shù)據(jù)：，，計(jì)算結(jié)果精確到千元．）【答案】甲方案的獲利較多．【分析】由題意可知，甲方案中增長(zhǎng)利率是定值，所以每年利潤(rùn)數(shù)是以1為首項(xiàng)，以1.3為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出10年利潤(rùn)總數(shù)；乙方案中每年增長(zhǎng)的利潤(rùn)是一定值，所以每年利潤(rùn)數(shù)是以1為首項(xiàng)，以0.5為公差的等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出10年利潤(rùn)總數(shù)，然后比較兩種情況的數(shù)值即可.【詳解】由題意可知，甲方案中增長(zhǎng)利率是定值，所以每年利潤(rùn)數(shù)是以1為首項(xiàng)，以1.3為公比的等比數(shù)列，所以甲方案10年獲利潤(rùn)是每年利潤(rùn)數(shù)組成的數(shù)列的前10項(xiàng)的和:（萬(wàn)元）.到期時(shí)銀行的本息和為（萬(wàn)元）.所以甲方案扣除本息后的凈獲利為（萬(wàn)元）.乙方案中每年增長(zhǎng)的利潤(rùn)是一定值，所以每年利潤(rùn)數(shù)是以1為首項(xiàng)，以0.5為公差的等差數(shù)列.前10年共獲利：（萬(wàn)元）.貸款的本利和為:（萬(wàn)元）.所以乙方案扣除本息后的凈獲利為（萬(wàn)元）.所以甲方案的獲利較多.21．已知圓S：，點(diǎn)P是圓S上的動(dòng)點(diǎn)，T是拋物線的焦點(diǎn)，Q為PT的中點(diǎn)，過(guò)Q作交PS于G，設(shè)點(diǎn)G的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過(guò)的直線l交曲線C于點(diǎn)M，N，若在曲線C上存在點(diǎn)A，使得四邊形OMAN為平行四邊形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系得到，結(jié)合橢圓定義即可求解方程；（2）設(shè)并聯(lián)立方程組，進(jìn)而易得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上代入方程即可求解.【詳解】（1）圓S：，即，由題意得，，，是的中垂線，所以，所以，所以點(diǎn)G的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為，焦距為，則，得，所以曲線C的方程為.

（2）由題意知，直線l的斜率不為0，設(shè)，，，設(shè)與交于點(diǎn).聯(lián)立，得，當(dāng)時(shí)，，則，所以