自考00020高等數(shù)學(xué)（一）密訓(xùn)高頻考點(diǎn)匯總

1第二章極限與連續(xù) 3第三章導(dǎo)數(shù)與微分 5第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 6第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 7第六章多元函數(shù)微積分 9第一章函數(shù)知識(shí)點(diǎn)名稱一元二次方程★未知量x滿足的形如ax2+bx+c=0(a干0)的方程稱為一元二次方程，Δ=b2-4ac稱為此方程2Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根x2a; 2a.時(shí)，方程有一個(gè)二重實(shí)根時(shí)，方程有一對(duì)共軛虛根x=b2a; -b+i2a,若記一元二次方程的兩個(gè)根分別為x1,x2，則有2,x1x2.理★★若記一元二次方程的兩個(gè)根分別為x1,x2，則有：aa（簡單計(jì)算題）二元一次方程組★兩個(gè)未知函數(shù)x,y滿足〈lax+2y時(shí)，方程組有唯一解，兩直線相交；時(shí)，方程組有唯一解，兩直線相交； c2時(shí)，方程組無解，兩直線平行 c2時(shí)，方程組無解，兩直線平行； c2集合★A與B的交集（AnB）A與B的并集（AUB）B在A中的余集A\B{x|xeA且xeB}{x|xeA或xeB}一些邏輯符號(hào)★設(shè)p,q是兩個(gè)判斷，若（1）p成立可斷定q也成立，則稱p能推出q或說p蘊(yùn)含q，記作p牽q；（2）p牽q成立，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件；（3）p牽q和q牽p同時(shí)成立，則稱p與q等價(jià)或互為的充分必要條件，記作p常q隱函數(shù)的定義★由變量x,y滿足的方程確定的函數(shù)y=f(x)稱為隱函數(shù).函數(shù)圖形的概念★函數(shù)y=f(x),x=D的圖形指的是xOy平面上的點(diǎn)集{(x,y)y=f(x),x=D}周期函數(shù)★設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若存在正數(shù)T>0，使得對(duì)任意的x=R都有f(x+T)=f(x)，則稱f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，T稱為函數(shù)f(x)的周期.一般說的周期指的是最小正周期.反三角★y=arcsinx是y=sinx在區(qū)間-,上的反函數(shù)，定義域?yàn)閇-1,1]，值域?yàn)?,，在定義域上單調(diào)增加；反余弦函數(shù)y=arccosx的定義域?yàn)閇-1,1]，值域?yàn)閇0,π]；反正切函數(shù)則它存在逆映射?D）→D①直接函數(shù)的單值性無法保證其反函數(shù)的單值性，但如果是單調(diào)函數(shù)那么可以保證其單值?（y）與指數(shù)函數(shù)★xyx+y,aaxaa,,aa1a.對(duì)數(shù)函數(shù)★logaaxay,log x yx-logy,logaxr=rlogax,logbxlogbaa，a，基本初等函數(shù)★常見的六類函數(shù)：常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)稱為基本初等函數(shù).常數(shù)函數(shù)y冪函數(shù)y=指數(shù)函數(shù)y對(duì)數(shù)函數(shù)y三角函數(shù)：主要有以下正弦函數(shù)y余切函數(shù)y6個(gè)：=sinx；余弦函數(shù)y=cos=cotx；正割函數(shù)y=secx；正切函數(shù)y=tanxx；余割函數(shù)y=cscx此外，還有正矢、余矢等罕用的三角函數(shù)。（6）反三角函數(shù)：主要有以下6個(gè)：反正弦函數(shù)y=arcsinx；反余弦函數(shù)y=arccosx；反正切函數(shù)y=arctanx反余切函數(shù)y=arccotx；反正割函數(shù)y=arcsecx；反余割函數(shù)y=arccscx四則運(yùn)算★★全微分的近似計(jì)算：Δz~dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy第二章極限與連續(xù)知識(shí)點(diǎn)名稱函數(shù)在一點(diǎn)的極限★★★定義1設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某個(gè)去心鄰域Nx0內(nèi)有定義，A是一個(gè)常數(shù).若對(duì)任意的ε>0，總存在δ>0，使得當(dāng)xeNx0且0<0xx0<<δf(x)一A<ε成立，則稱函數(shù)f(x)limf(x)=A在x喻x0時(shí)的極限是limf(x)=A函數(shù)在一點(diǎn)的極限與限的關(guān)系★定理1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，則fx)=Alim一f(x)=Ax喻x0，且x喻x0.數(shù)列的極限★★★設(shè){an}是一個(gè)無窮數(shù)列，當(dāng)下標(biāo)n越來越大時(shí)，其對(duì)應(yīng)的值an越來越接近一個(gè)常數(shù)A，而且可以無限接近，我們稱數(shù)列{an}的極限是A，記作limalimann喻偽存在時(shí)，稱數(shù)列{an}收斂；當(dāng)極限an不存在時(shí)，稱數(shù)列{an}發(fā)散.函數(shù)極限的性質(zhì)★1.極限值的唯一性limf(x)limf(x)=A定理1若極限x喻x0存在，則其值唯一.定理1說明，如果x喻x0f(x)=B，則A=B.2.函數(shù)在極限存在點(diǎn)附近的有界性lim定理2若極限x喻x0函數(shù)ff(x)存在，則函數(shù)f(x)在x0的一個(gè)去心鄰域內(nèi)有界.一個(gè)去心鄰域內(nèi)有界指的是：存在M>0，δ>0，使得對(duì)任意的xe(x0δ,x0)u(x0,x0+δ)都有f(x)<Mlimf(x).定理2說明：如果x喻偽存在，存在M>0，X>0使得對(duì)任意的xe(-偽,Xf(x)<M.定理2反映的是極限存在點(diǎn)附近函數(shù)的局部有界性，對(duì)數(shù)列來說，結(jié)論為：定理3若極限件.limann存在，則數(shù)列{an}有界.定理3說明，數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條3.函數(shù)極限的保號(hào)性定理4若極限ff(x)在x0的一個(gè)去心鄰域內(nèi)大于零；若在x0的一個(gè)去心鄰域內(nèi)f(x)之0，且極限f(x)存在，則f(x)之0.定理4說明，利用極限值的正、負(fù)號(hào)，可得到函數(shù)在極限點(diǎn)附近（除去極限點(diǎn)）的正、負(fù)號(hào)；另一方面說明，極限值的正、負(fù)號(hào)不能與函數(shù)極限點(diǎn)附近（除去極限點(diǎn)）的值的正負(fù)號(hào)相反.注意:當(dāng)函數(shù)f(x)滿足：在x0的一個(gè)去心鄰域內(nèi)f(x)>0，且極限f(x)存在時(shí)，結(jié)論limf(x)之0limf(x)>0仍為x喻x0，而不是x喻x0.復(fù)合函數(shù)的極限★若x喻x0，u喻u，則x喻xu喻u.limg(x)=ulimf(u)=Alimf(g若x喻x0，u喻u，則x喻xu喻u.無窮小量的概念★limf(x)=0x喻x,則稱函數(shù)f(x)在x喻x0時(shí)是一個(gè)無窮小量，記作)指的是：當(dāng)x無限趨于x0時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限趨于0.無窮大量的概念★1定義2若函數(shù)f(x)在x喻x0時(shí)是一個(gè)無窮小量，則稱函數(shù)f(x)在x喻x時(shí)是一個(gè)無窮大量，記limf(x)=偽作x喻x.當(dāng)x無限趨于x0時(shí)，若fx)>0且無限趨于0，則稱函數(shù)f(x)在x喻x0時(shí)是一個(gè)正無窮大量，記作x喻x.作x喻x.當(dāng)x無限趨于x0時(shí)，若fx)<0且無限趨于0，則稱函數(shù)f(x)在x喻x0時(shí)是一個(gè)負(fù)無窮大量，記作limf(x)=-偽.從無窮大量的定義可看出：無窮大量的倒數(shù)是同一極限過程中的無窮小量，非零無窮小的倒數(shù)是同一極限過程下的無窮大量.無窮大運(yùn)算的結(jié)論：（1）有界變量與無窮大量之和是無窮大量；（2）兩個(gè)無窮大量之積是無窮大量；（3）有限個(gè)無窮大量之積是無窮大量.及其分類★★★定義3若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù),則稱x0為f(x)的間斷點(diǎn).根據(jù)函數(shù)在間斷點(diǎn)處左、右連續(xù)的情況,可將間斷點(diǎn)分類：（1）第一類間斷點(diǎn)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的左、右極限均存在，但不連續(xù),則稱x0為f(x)的第一類間斷點(diǎn).在第一類間斷點(diǎn)中，可分為可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn).（2）第二類間斷點(diǎn)若函數(shù)f(x)在x處的左、右極限中至少有一個(gè)不存在時(shí)，則稱x0為f(x)的第二間斷點(diǎn).第三章導(dǎo)數(shù)與微分知識(shí)點(diǎn)名稱基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式★★★★★(tanx),=sec2x(cotx),=csc2x(secx),=secx.tanx(cscx),=cscx.cotx(ax),=axlnaaxlnaaxlna函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)★★★定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量Δx（x0+Δx也在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy=f(x0+Δx)一f(x0)；若Δy與Δx之比當(dāng)Δx喻0時(shí)極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f,(x)，f,(x)=limΔy=limf,(x)=limΔy=limf(x+Δ（2）若=偽(這時(shí)導(dǎo)數(shù)是不存在的),為敘述方便,我們稱f(x)在點(diǎn)x0的可導(dǎo)為無窮大.（3）若令x=x+Δx,則Δx喻0時(shí),有x喻x0,說明導(dǎo)數(shù)也可簡述為差商的極限.f,(x0)=limf(x)一f(x0)x喻xxx0，這是導(dǎo)數(shù)定義的另一種形式,（4）導(dǎo)數(shù)y,|x=x是函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率,它反應(yīng)了函數(shù)隨自變量的變化而變化的快慢程度.若函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo).對(duì)于任一xEI，都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)函數(shù)值.構(gòu)成的這個(gè)新的函數(shù)稱為原函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作y,,f,(x),,).把常用導(dǎo)數(shù)定義式中的x0換成x，得到導(dǎo)函數(shù)定義式,y=limf(x+Δx)f(x)f,(x)=f(x+一f(x)函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)與連續(xù)的★定理1若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),那么函數(shù)在該點(diǎn)處必連續(xù).定理1表明:函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件,但不是充分條件,即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定可導(dǎo);若不連續(xù)一定不可導(dǎo).函數(shù)在一點(diǎn)處的微分★定義3設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+Δx在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示為y=AΔx+o(Δx).其中A是不依賴于Δx的常數(shù),那么稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0是可微的，而AΔx叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)名稱羅爾定理★★費(fèi)馬定義了駐點(diǎn)，稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)）.羅爾定理若函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)值相等，即,那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使得f,(ξ)=0.拉格朗★★若函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f,(ξ)(b-a)成立.推論1若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù).推論2若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f,(x)與g,(x)都相等，則這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)之多相差一個(gè)常數(shù)，即f(x)=g(x)+C,xe(a,b).函數(shù)的最值及其應(yīng)用★取得最值的位置——對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)而言，其在區(qū)間[a,b]上的最值要么在區(qū)間端點(diǎn)取得，f,(x0)=0.要么在區(qū)間(af,(x0)=0.（1）求出f(x)在(a,b)內(nèi)f,(x)=0和f,(x)不存在的點(diǎn)，記為x1,x2,…,xn.（2）計(jì)算函數(shù)值f(a),f(x1),f(x2),…,f(xn),f(b).（3）函數(shù)值f(a),f(x1),f(x2),…,f(xn),f(b)中的最大者為最大值，最小者為最小值.凹凸性和拐點(diǎn)★★★【判別凹凸性的充分條件】設(shè)函數(shù)fx在I上二階可導(dǎo)。①若在I上f''x＞0，則fx在I上的圖形是凹的；②若在I上f''x＜0，則fx在I上的圖形是凸的?！径A可導(dǎo)點(diǎn)是拐點(diǎn)的必要條件】【判別拐點(diǎn)的充分條件】數(shù)存在，且在該點(diǎn)的左右鄰域內(nèi)f''x變號(hào)，則點(diǎn)（x0，fx0）為曲線上的拐點(diǎn)。漸近線★★★★水平漸近線x喻﹢∞x喻﹣∞)，則y＝y(tǒng)0為一條水平漸近線。x喻﹢∞x喻﹣∞鉛直漸近線斜漸近線x喻﹣∞的一條斜漸近線；x喻﹣∞的一條斜漸近線；x喻﹢∞x喻﹣∞x喻﹢∞x喻﹣∞x喻﹢∞x喻﹣∞供給彈性★定義3已知某商品的供給函數(shù)Q=g(p)在點(diǎn)p0處可導(dǎo),p表示價(jià)格，Q表示供應(yīng)量.Q0p0稱為該商品在p0與p0兩點(diǎn)間的供給彈性,Δp喻0Q0p00稱為該商品在p0處的供給彈性,記作ε(p)|=ε(p)=g)g,(p).一般而言,供給量Q是價(jià)格p的增函數(shù),因此ε(p0)一般是正值.拉格朗★★★若函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)一f(a)=f,(ξ)(b一a)成立（簡單計(jì)算題）洛必達(dá)法則求極限★★★? （計(jì)算題、綜合題）第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)名稱羅爾定理★★費(fèi)馬定義了駐點(diǎn)，稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)）.羅爾定理若函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b),那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使得f,(ξ)=0.拉格朗★★若函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f,(ξ)(b-a)成立.推論1若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù).推論2若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f,(x)與g,(x)都相等，則這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)之多相差一個(gè)常數(shù)，即f(x)=g(x)+C,xe(a,b).函數(shù)的最值及其應(yīng)用★取得最值的位置——對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)而言，其在區(qū)間[a,b]上的最值要么在區(qū)間端點(diǎn)取得，要么在區(qū)間(a,b)內(nèi)的點(diǎn)x0取得，這時(shí)有f,(x0)=0.（4）求出f(x)在(a,b)內(nèi)f,(x)=0和f,(x)不存在的點(diǎn)，記為x1,x2,…,xn.（5）計(jì)算函數(shù)值f(a),f(x1),f(x2),…,f(xn),f(b).（6）函數(shù)值f(a),f(x1),f(x2),…,f(xn),f(b)中的最大者為最大值，最小者為最小值.凹凸性和拐點(diǎn)★★★【判別凹凸性的充分條件】設(shè)函數(shù)fx)在I上二階可導(dǎo)。①若在I上f''x＞0，則fx在I上的圖形是凹的；②若在I上f''x＜0，則fx)在I上的圖形是凸的?！径A可導(dǎo)點(diǎn)是拐點(diǎn)的必要條件】設(shè)f''x0存在，且點(diǎn)（x0，fx0）為曲線上的拐點(diǎn)，則f''x0)=0【判別拐點(diǎn)的充分條件】數(shù)存在，且在該點(diǎn)的左右鄰域內(nèi)f''x)變號(hào)，則點(diǎn)（x0，fx0)）為曲線上的拐點(diǎn)。0x≠0，則（x0，漸近線★★★★水平漸近線x喻﹢∞x喻﹣∞y0為一條水平漸近線。x喻﹢∞x喻﹣∞鉛直漸近線斜漸近線x喻﹣∞x喻﹢∞的一條斜漸近線；x喻﹣∞x喻﹣∞的一條斜漸近線；x喻﹢∞x喻﹣∞x喻﹢∞x喻﹣∞供給彈性★定義3已知某商品的供給函數(shù)Q=g(p)在點(diǎn)p0處可導(dǎo),p表示價(jià)格，Q表示供應(yīng)量.Q0p0稱為該商品在p0與p0兩點(diǎn)間的供給彈性,Δp喻0Q0p00稱為該商品在p0處的供給彈性,記作ε(p)|=ε(p)=g)g,(p).一般而言,供給量Q是價(jià)格p的增函數(shù),因此ε(p0)一般是正值.拉格朗★★★若函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)一f(a)=f,(ξ)(b一a)成立（簡單計(jì)算題）洛必達(dá)法則求極限★★★（計(jì)算題、綜合題）第六章多元函數(shù)微積分知識(shí)點(diǎn)名稱多元函數(shù)的概念★定義1設(shè)有三個(gè)變量x,y和z，如果當(dāng)變量x,y在某一區(qū)域D內(nèi)任取一組值時(shí)，變量z按照一定的法則f都有唯一的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱f是D上的二元函數(shù)，記為z=f(x,y),x,yex,ye.其中變量x,y稱為自變量，變量z稱為因變量，x,y的取值區(qū)域稱為二元函數(shù)的定義域.對(duì)于D上任意一點(diǎn)(x0,y0)，對(duì)應(yīng)的因變量z的取值z(mì)0=f(x0,y0)稱為函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)處的函數(shù)值，函數(shù)