醫(yī)學統(tǒng)計學正態(tài)分布及其應用

正態(tài)分布及其應用Normaldistributionanditsapplications

易洪剛DepartmentofEpidemiology&Biostatistics,SchoolofPublicHealthNanjingMedicalUniversity1

正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛

德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面.正態(tài)分布2正態(tài)分布德國數(shù)學家Gauss發(fā)現(xiàn)最早用于物理學、天文學Gaussiandistribution1889年是高爾頓(FrancisGalton,1822-1911)創(chuàng)先把該曲線稱作正態(tài)曲線。3不知你們是否知道街頭的一種賭博活動?用一個釘板作賭具。4

也許很多人不相信，玩這種賭博游戲十有八九是要輸?shù)舻模簧偃丝傁肱雠鲞\氣，然而中大獎的概率實在是太低了。

街頭賭博下面我們來模擬這個游戲：5

平時，我們很少有人會去關(guān)心小球下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信它是有規(guī)律的。一旦試驗次數(shù)增多并且注意觀察的話，你就會發(fā)現(xiàn)，最后得出的竟是一條優(yōu)美的曲線。

高爾頓釘板試驗6高爾頓釘板試驗這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線。其一，醫(yī)學研究中的某些觀察指標服從或近似服從正態(tài)分布；其二，很多統(tǒng)計方法是建立在正態(tài)分布的基礎(chǔ)之上的；其三，很多其他分布的極限為正態(tài)分布。正態(tài)分布8身高的分布(a)(b)(d)(c)9正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

如果隨機變量X的概率密度函數(shù)

則稱X服從正態(tài)分布,記作X～N(

,

2),其中，

為分布的均數(shù)，

為分布的標準差。

(e表示常數(shù)2.71828

，-∞＜X

＜+∞)

10正態(tài)分布圖示x0.1.2.3.4f(x)11方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示

3

1

212均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示

2

1

313不同均數(shù)、方差正態(tài)分布圖示14正態(tài)分布的特征正態(tài)分布有兩個參數(shù)(parameter)，即位置參數(shù)(均數(shù))和變異度參數(shù)(標準差)。高峰在均數(shù)處；均數(shù)兩側(cè)完全對稱。正態(tài)曲線下的面積分布有一定的規(guī)律。昆明癲癇病專科醫(yī)院/昆明治療癲癇病/昆明癲癇病?？漆t(yī)院/昆明癲癇病醫(yī)院/15正態(tài)曲線下的面積規(guī)律X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1。對稱區(qū)域面積相等。S(-,-X)S(X,

)＝S(-,-X)

16正態(tài)曲線下的面積規(guī)律對稱區(qū)域面積相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

17正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

)=0.5S(-,

+3

)=0.9987S(-,

+2

)=0.9772S(-,

+1

)=0.6587S(-,)=118正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

1-S(

-3

,+3)=0.00261-S(

-2

,+2)=0.04561-S(

-

,+)=0.317419正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

)=0.5S(-,

+3

)=0.9987S(-,

+2

)=0.9772S(-,

+1

)=0.6587S(-,)=120正態(tài)曲線下的面積規(guī)律-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

-0

)=0.5S(

-3

,

-2

)=0.0215S(

-2

,

-1

)=0.1359S(

-1

,

)=0.3413

-4-3-2-10123421正態(tài)曲線下的面積規(guī)律-3-++3

-2+2

S(

-3

,

-2

)=0.0215S(

-2

,

-1

)=0.1359S(

-1

,

)=0.3413S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

-0

)=0.522正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-1.96

+1.96

2.5%2.5%95%23正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-1.64

+1.64

5%5%90%24

正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-2.58

+2.58

0.5%0.5%99%25正態(tài)曲線下的面積規(guī)律正態(tài)曲線下面積總和為1；正態(tài)曲線關(guān)于均數(shù)對稱；對稱的區(qū)域內(nèi)面積相等；對任意正態(tài)曲線，按標準差為單位，對應的面積相等；

-1.64

～+1.64

內(nèi)面積為90%；

-1.96

～+1.96

內(nèi)面積為95%；

-2.58

～+2.58

內(nèi)面積為99%。26標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布(standardnormaldistribution)是均數(shù)為0，標準差為1的正態(tài)分布。記為N(0,1)。標準正態(tài)分布是一條曲線。概率密度函數(shù)：

(-∞＜u

＜+∞)

27正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布若

X～N(

,

2)，作變換：則u服從標準正態(tài)分布。u稱為標準正態(tài)離差(standardnormaldeviate)28

實際應用中，經(jīng)u變換后，就可把求解任意一個正態(tài)分布曲線下面積的問題，轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)分布曲線下相應的面積問題。正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布29標準正態(tài)分布曲線下面積

(u)

u 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010-2.5 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049-2.0 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188-1.9 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239-1.6 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465-1.0 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401-0.5 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.28100 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.46810u30總結(jié)正態(tài)分布是描述個體變異的重要分布之一，也是統(tǒng)計學理論中的重要分布之一；正態(tài)分布是一簇分布，由兩個參數(shù)決定：均數(shù)和標準差；正態(tài)分布曲線下的面積是有規(guī)律的，且與標準正態(tài)分布曲線下的面積對應(以標準正態(tài)離差為單位)。31正態(tài)分布的應用估計頻數(shù)分布質(zhì)量控制確定臨床參考值范圍32☆正態(tài)變量x轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)變量u，（公式

）再用u值查表，得所求區(qū)間面積占總面積的比例。估計頻數(shù)分布33某項目研究嬰兒的出生體重服從正態(tài)分布，其均數(shù)為3150g，標準差為350g。若以2500g作為低體重兒，試估計低體重兒的比例。首先計算標準離差：查標準正態(tài)分布表:

(-1.86)=0.0314結(jié)果：估計低體重兒的比例為3.14%.34例已知某市120名歲男童身高均數(shù)為=142.67cm，標準差為s=6.00cm。設該資料服從正態(tài)分布，試求①該地12歲男童身高在132cm以下者占該地12歲男童總數(shù)的比例，②分別求±1s、±1.96s和±2.58s范圍內(nèi)12歲男童