微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)經(jīng)典需求理論(上)資料課件

第3章經(jīng)典需求理論（上）10/8/20231第3章經(jīng)典需求理論（上）10/7/20231目錄一、偏好關(guān)系的基本性質(zhì)二、偏好和效用三、效用最大化問題四、支出最小化問題10/8/20232目錄一、偏好關(guān)系的基本性質(zhì)10/7/20232偏好關(guān)系的基本性質(zhì)經(jīng)典需求理論中，消費(fèi)者行為分析始于在消費(fèi)集XRL+中的消費(fèi)束上明確消費(fèi)者的偏好。10/8/20233偏好關(guān)系的基本性質(zhì)經(jīng)典需求理論中，消費(fèi)者行為分析始于在消費(fèi)集偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)）定義3.B.1（定義1.B.1）若偏好關(guān)系≥滿足下面兩個性質(zhì)，則稱該偏好關(guān)系是理性的：1.完備性。對于任意x,y∈X，或者x≥y，或者y≥x，或者兩者同時成立。2.傳遞性。對于任意x,y,z∈X，若有x≥y，且y≥z，則有x≥z。10/8/20234偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)）定義3.B.1（定義1.B.1）偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)二）除了滿足理性偏好的條件外，在經(jīng)典需求理論中分析的偏好還需要滿足合意性假設(shè)與凸性假設(shè)。合意性假設(shè)是對“什么合乎意愿”的假設(shè)。比如說，假定“商品數(shù)量多優(yōu)于數(shù)量少”通常是合理的，這就是一種合意性假設(shè)。因此有定義3.B.210/8/20235偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)二）除了滿足理性偏好的條件外，在經(jīng)典需偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)三）定義3.B.2若x∈X及y?x意味著y＞x，則稱X上的偏好關(guān)系≥是單調(diào)的。如果y≥x和y≠x意味著y＞x，則它就是強(qiáng)單調(diào)（或嚴(yán)格單調(diào)）的。該定義意味著，如果偏好滿足合意性，則如果消費(fèi)的商品增多，消費(fèi)者的感覺會更好。10/8/20236偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)三）定義3.B.2若x∈X及y?x偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)四）滿足單調(diào)的偏好意味著消費(fèi)者在增加某一部分商品消費(fèi)時，可能感覺不到與之前的差異；而嚴(yán)格單調(diào)意味著，只要消費(fèi)者在保持其他商品消費(fèi)不變的情況下增加某種商品消費(fèi)，就會使自身的感覺變好。10/8/20237偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)四）滿足單調(diào)的偏好意味著消費(fèi)者在增加某偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)五）對于某些有害品，也可以將其換成抵消其負(fù)面影響的商品或服務(wù)，（例如將垃圾換成環(huán)衛(wèi)工人的服務(wù)）使之滿足合意性假設(shè)。定義3.B.3若對于每一個x∈X和每一個ε＞0，存在y∈X，使得║y-x║≤ε，且y＞x，則稱X上的偏好關(guān)系是局部非飽和的。10/8/20238偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)五）對于某些有害品，也可以將其換成抵消偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)六）局部非飽和性偏好的含義是，對于任何一個消費(fèi)束x∈RL+和任意一個距x任意小的距離ε＞0，在這一距離內(nèi)均存在優(yōu)于x的另一個消費(fèi)束y∈RL+。因此，在局部非飽和假設(shè)的情況下，一個人的偏好可以在X中不斷地改善。圖3.B.1中，圓心是x，圓半徑是ε。只要y位于圓周之內(nèi)，就有║y-x║≤ε。10/8/20239偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)六）局部非飽和性偏好的含義是，對于任何圖3.B.1局部非飽和性偏好的檢驗(yàn)

10/8/202310圖3.B.1局部非飽和性偏好的檢驗(yàn)10/7/202310偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)七）對于圖3.B.1，需要說明兩點(diǎn)：第一，該圖只表明上述圓中存在著優(yōu)于x的y，并不是說小圓中的任意一個消費(fèi)束都優(yōu)于x。例如，如果圖中所有商品都是goods，則按照“商品數(shù)量多優(yōu)于數(shù)量少”的合意性假設(shè)與嚴(yán)格單調(diào)，小圓中位于x右上方的各消費(fèi)束是優(yōu)于x的，而圖中位于x左下方的y是劣于x的。10/8/202311偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)七）對于圖3.B.1，需要說明兩點(diǎn)：偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)八）第二，教材59頁上提到，局部非飽和性排除了所有商品都是bads的極端情況，否則無任何消費(fèi)的0點(diǎn)將是飽和點(diǎn)。但教材58頁提到，優(yōu)于x的y中，所有種類的商品可能都比x中的少，如教材59頁圖3.B.1所示。這意味著消費(fèi)束中可能有某些種類的商品是bads，這才會導(dǎo)致消費(fèi)者更偏好消費(fèi)束中g(shù)oods和bads的數(shù)量都少于x的y。10/8/202312偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)八）第二，教材59頁上提到，局部非飽和偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)九）換句話說，局部非飽和性偏好不以“商品數(shù)量多優(yōu)于數(shù)量少”為條件，因而也就不必將bads換成抵消其負(fù)面影響的商品或服務(wù)，就可以應(yīng)用。所以，局部非飽和性是比單調(diào)性更弱的合意性假設(shè)。10/8/202313偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)九）換句話說，局部非飽和性偏好不以“商偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十）給定偏好關(guān)系≥和一個消費(fèi)束x，可以定義三個相關(guān)的消費(fèi)束集合。包含點(diǎn)x的無差異集是所有與x無差異的消費(fèi)束的集合：{y∈X:y～x}。消費(fèi)束x的上等值集是所有至少與x一樣好的消費(fèi)束的集合：{y∈X:y≥x}。x的下等值集則是所有x至少與之一樣好的消費(fèi)束的集合：{y∈X:x≥y}。10/8/202314偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十）給定偏好關(guān)系≥和一個消費(fèi)束x，可以圖3.B.2(b)一般的無差異曲線

10/8/202315圖3.B.2(b)一般的無差異曲線10/7/202315偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十一）凸曲線即碗形曲線。形象說法，從上往下看，凸就是凸，凹就是凹。定義3.B.4若對于每個x∈X，上等值集：{y∈X:y≥x}是凸的；也就是說，若y≥x，z≥x，就有對于任意a∈[0,1]（即0≤a≤1），有ay+(1-a)z≥x，則稱X上的偏好關(guān)系≥是凸的。10/8/202316偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十一）凸曲線即碗形曲線。形象說法，從上無差異曲線與凸性偏好

10/8/202317無差異曲線與凸性偏好10/7/202317偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十二）對定義3.B.4可用上圖說明。圖中，y,z位于同一條無差異曲線上。如果無差異曲線是凸的，則ay+(1-a)z必然位于該線及該線右上方，而符合y≥x，z≥x的x必然位于該線及該線左下方，因而必然有ay+(1-a)z≥x。凸偏好關(guān)系意味著人們傾向于選擇多元化的產(chǎn)品組合。10/8/202318偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十二）對定義3.B.4可用上圖說明。圖偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十三）定義3.B.5若對于每個x，均有：y≥x，z≥x，及y≠z，則對任意a∈(0,1)（即0＜a＜1），有ay+(1-a)z＞x，稱為X上的偏好關(guān)系≥是嚴(yán)格凸的。凸性偏好并不否認(rèn)無差異曲線有可能是一條直線，至少某一段是直線，如教材62頁圖3.B.4所示。但此圖雖不違反凸性偏好假設(shè)，但違反嚴(yán)格凸性偏好假設(shè)。10/8/202319偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十三）定義3.B.5若對于每個x，偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十四）嚴(yán)格凸性假設(shè)是邊際替代率遞減假設(shè)的一般化。邊際替代率是指在維持效用水平不變的條件下，為多得到一單位某種產(chǎn)品而愿意放棄的另一產(chǎn)品的數(shù)量。邊際替代率遞減，意味著隨著某種產(chǎn)品消費(fèi)量的增加，消費(fèi)者為多得到一單位該產(chǎn)品而愿意放棄的另一產(chǎn)品的數(shù)量越來越少。10/8/202320偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十四）嚴(yán)格凸性假設(shè)是邊際替代率遞減假設(shè)偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十五）微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)用序數(shù)來表示偏好和效用。按照這種表示，不同的人之間，偏好和效用是無法比較的。這一方面從理論上排除了收入再分配，另一方面卻給偏好和效用的加總和全社會范圍內(nèi)的使用造成障礙。10/8/202321偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十五）微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)用序數(shù)來表示偏好和效用偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十六）為解決這個問題，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)只能使用以觀察現(xiàn)實(shí)為基礎(chǔ)的方法二即選擇法，在不同消費(fèi)者偏好“顯示出”的基礎(chǔ)上，關(guān)注那些可以從單個無差異集推廣出消費(fèi)者整體偏好關(guān)系的偏好。除了不同的人無差異集/無差異曲線重合或近似重合的情況外，其它兩類這樣的例子分別是位似偏好和擬線性偏好。10/8/202322偏好關(guān)系的基本性質(zhì)（續(xù)十六）為解決這個問題，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)只能使偏好和效用教材第一章B節(jié)已經(jīng)介紹過效用函數(shù)。但命題1.B.2說的是“只有理性偏好關(guān)系才可以用一個效用函數(shù)來代表”，并沒有說“所有的理性偏好關(guān)系都可以用一個效用函數(shù)來代表”。因而如教材63頁所說，“理性偏好關(guān)系并不總是可以用一個效用函數(shù)來代表”。10/8/202323偏好和效用教材第一章B節(jié)已經(jīng)介紹過效用函數(shù)。但命題1.B.2偏好和效用（續(xù)）以詞典式偏好關(guān)系為例。其特點(diǎn)是：假定X∈R2+，若“x1＞y1”，或“x1=y1，且x2＞y2”，則定義x≥y。該特點(diǎn)表明，就象詞典在排序時，單詞的第一個字母具有最高優(yōu)先權(quán)一樣，在決定偏好順序時，商品1具有最高優(yōu)先權(quán)。若x1＞y1，即使x2＜y2，仍然定義定x≥y。10/8/202324偏好和效用（續(xù)）以詞典式偏好關(guān)系為例。其特點(diǎn)是：假定X∈R2偏好和效用（續(xù)二）只有當(dāng)兩個商品束中第一種商品的數(shù)量一樣時，才根據(jù)這兩個商品束中第二種商品數(shù)量的多少來決定消費(fèi)者的偏好。按照這種偏好順序，沒有兩個不相同的消費(fèi)束是無差異的。無差異集是單元素集。這種“見官大一級”式的偏好無法用效用函數(shù)來表示。10/8/202325偏好和效用（續(xù)二）只有當(dāng)兩個商品束中第一種商品的數(shù)量一樣時，偏好和效用（續(xù)三）為確保效用函數(shù)存在，除了理性偏好關(guān)系必然滿足的完備性（包括本教材認(rèn)為包括在其中的自反性）和傳遞性，以及包含在合意性假設(shè)中的強(qiáng)單調(diào)性外，還需要假定偏好關(guān)系是連續(xù)的。10/8/202326偏好和效用（續(xù)三）為確保效用函數(shù)存在，除了理性偏好關(guān)系必然滿偏好和效用（續(xù)四）定義3.C.1若X上的偏好關(guān)系≥在極限下是被保持的，也就是說，對于任何一個成對序列，xn≥yn對所有的n均成立，且x=limn→∞xn，y=limn→∞yn，有x≥y，則稱該偏好關(guān)系≥是連續(xù)的。10/8/202327偏好和效用（續(xù)四）定義3.C.1若X上的偏好關(guān)系≥在極限偏好和效用（續(xù)五）一種等價的表述連續(xù)性概念的方法是：對于所有的x，上等值集{y∈X:y≥x}和下等值集{y∈X:x≥y}均為閉集；也就是說，它們包括了它們的邊界。命題3.C.1假定X上的理性偏好關(guān)系≥是連續(xù)的，則存在一個代表≥的連續(xù)效用函數(shù)。10/8/202328偏好和效用（續(xù)五）一種等價的表述連續(xù)性概念的方法是：對于所有偏好和效用（續(xù)六）以下我們假定消費(fèi)者的偏好關(guān)系是連續(xù)的，因而可以用一個連續(xù)的效用函數(shù)來代表。注意：第一，如第一章教材11頁所述，代表偏好關(guān)系≥的效用函數(shù)不是惟一的。對于任何嚴(yán)格遞增的函數(shù)，v(x)=f(u(x))都是一個新的代表和u(x)一樣偏好的效用函數(shù)。10/8/202329偏好和效用（續(xù)六）以下我們假定消費(fèi)者的偏好關(guān)系是連續(xù)的，因而偏好和效用（續(xù)七）第二，命題3.C.1只告訴我們，若X上的理性偏好關(guān)系≥是連續(xù)的，則存在某一代表≥的連續(xù)效用函數(shù)；它并非意味著所有代表≥的效用函數(shù)都是連續(xù)的。下面討論效用函數(shù)的可微性。10/8/202330偏好和效用（續(xù)七）第二，命題3.C.1只告訴我們，若X上的理圖3.C.3里昂惕夫偏好

10/8/202331圖3.C.3里昂惕夫偏好10/7/202331偏好和效用（續(xù)八）連續(xù)偏好有可能不能用一個可微的效用函數(shù)來代表。例如圖3.C.3所舉的里昂惕夫偏好的情形，此時u(x1,x2)=min{x1,x2}。里昂惕夫偏好不可微起因于x1=x2時無差異曲線上的彎折。10/8/202332偏好和效用（續(xù)八）連續(xù)偏好有可能不能用一個可微的效用函數(shù)來代偏好和效用（續(xù)九）但就技術(shù)處理而言，可微的效用函數(shù)更為方便，因此，在經(jīng)典需求理論中一般假設(shè)效用函數(shù)是二階可微的。直觀地說，二階可微所要求的條件，是無差異集是擬合得很好的光滑曲面，使得商品之間的替代率可微地依賴于消費(fèi)水平。10/8/202333偏好和效用（續(xù)九）但就技術(shù)處理而言，可微的效用函數(shù)更為方便，偏好和效用（續(xù)十）對偏好的限制將轉(zhuǎn)化為對效用函數(shù)性質(zhì)的限制。例如，單調(diào)性意味著效用函數(shù)是遞增的：若x?y，則u(x)＞u(y)。又如，偏好的凸性意味著u(·)是擬凹的，偏好的嚴(yán)格凸性意味著u(·)是嚴(yán)格擬凹的。

10/8/202334偏好和效用（續(xù)十）對偏好的限制將轉(zhuǎn)化為對效用函數(shù)性質(zhì)的限制。我的觀點(diǎn)從第一章到現(xiàn)在，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中給出的假設(shè)越來越多。每增加一個假設(shè)，就增加了一些經(jīng)濟(jì)學(xué)或數(shù)學(xué)的分析工具；同時，每增加一個假設(shè)，就排除了一些實(shí)際情況。

10/8/202335我的觀點(diǎn)從第一章到現(xiàn)在，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中給出的假設(shè)越來越多。每增我的觀點(diǎn)（續(xù)）在開始學(xué)習(xí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)時，只有這樣做，才能給出微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本情景或范式，并在此基礎(chǔ)上展開分析。但在掌握了對基本情景的分析后，就需要一步步放松假設(shè)，逼近現(xiàn)實(shí)，同時考慮當(dāng)某些經(jīng)濟(jì)學(xué)或數(shù)學(xué)分析工具因缺少假設(shè)而不能使用時，應(yīng)該用什么分析工具作為替代。10/8/202336我的觀點(diǎn)（續(xù)）在開始學(xué)習(xí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)時，只有這樣做，才能給出微我的觀點(diǎn)（續(xù)二）在研究經(jīng)濟(jì)學(xué)問題時，則要考慮哪些假設(shè)對該問題是適用的，哪些是不適用的。認(rèn)為只有使用經(jīng)典的假設(shè)和分析工具的研究，才是高水平的經(jīng)濟(jì)學(xué)研究；把無法使用經(jīng)典的假設(shè)和分析工具的研究排除在高水平研究乃至經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的范圍之外，造成對現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問題的研究畸輕畸重，這是我最擔(dān)心的。10/8/202337我的觀點(diǎn)（續(xù)二）在研究經(jīng)濟(jì)學(xué)問題時，則要考慮哪些假設(shè)對該問題效用最大化問題從本部分往下，我們開始研究消費(fèi)者決策問題。研究的隱含前提是完全競爭市場下的價格接受者假設(shè)。即：假定市場上有L種商品；對單個消費(fèi)者來說，這些商品的價格是不變的和獨(dú)立于消費(fèi)者個人行動的。10/8/202338效用最大化問題從本部分往下，我們開始研究消費(fèi)者決策問題。研究效用最大化問題（續(xù)）在給定價格p?0和財(cái)富w＞0的條件下，消費(fèi)者選擇其最偏好的消費(fèi)束。這被稱為效用最大化問題（UMP），表述如下：

u(x)s.t.p·x≤w

在效用最大化問題中，消費(fèi)者在瓦爾拉斯預(yù)算集Bp,w={x∈RL+:p·x≤w}中選擇一個消費(fèi)束，以最大化其效用水平。10/8/202339效用最大化問題（續(xù)）在給定價格p?0和財(cái)富w＞0的條件下，消效用最大化問題（續(xù)二）命題3.D.1若p?0，且u(·)是連續(xù)的，則效用最大化問題只有一個解。證明：若p?0，則瓦爾拉斯預(yù)算集Bp,w={x∈RL+:p·x≤w}是一個緊集，因?yàn)樗怯薪绲模ㄈ谓ol=1，…，L，有：對于所有的x∈Bp,w，xl≤w/pl）和閉的。連續(xù)函數(shù)在任何緊集上總有一個最大值。10/8/202340效用最大化問題（續(xù)二）命題3.D.1若p?0，且u(·)效用最大化問題（續(xù)三）第二章提到，在給定的一組價格p和財(cái)富w下，消費(fèi)者會相應(yīng)選擇一個或多個消費(fèi)束x。x(p,w)被稱為瓦爾拉斯需求對應(yīng)。在討論效用最大化問題時，教材71頁又提到瓦爾拉斯需求對應(yīng)，并指出：第一，每一價格-財(cái)富狀況(p,w)?0；第二，x(p,w)∈RL+；第三，瓦爾拉斯需求對應(yīng)亦稱為序數(shù)需求對應(yīng)或市場需求對應(yīng)。10/8/202341效用最大化問題（續(xù)三）第二章提到，在給定的一組價格p和財(cái)富w圖3.D.1(a)效用最大化問題的單一解

10/8/202342圖3.D.1(a)效用最大化問題的單一解10/7/20效用最大化問題（續(xù)四）圖3.D.1(a)顯示的是當(dāng)L=2時，效用最大化問題的單一解。該圖是初級經(jīng)濟(jì)學(xué)和中級微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的、用無差異曲線和預(yù)算線來表示的消費(fèi)者均衡圖。圖中，點(diǎn)x(p,w)位于無差異集u(y)=u(x(p,w))中，該無差異集的效用水平是瓦爾拉斯預(yù)算集Bp,w中所有點(diǎn)可能達(dá)到的最高效用水平。10/8/202343效用最大化問題（續(xù)四）圖3.D.1(a)顯示的是當(dāng)L=2時，效用最大化問題（續(xù)五）注意：如前面所說，如果效用函數(shù)是凸性的但并非嚴(yán)格凸性的，對于給定的(p,w)?0，最優(yōu)集x(p,w)可能有多于一個的元素，如教材70頁圖3.D.1(b)所示。若x(p,w)對于所有(p,w)都是單值，那就象第二章所說的，稱之為瓦爾拉斯需求函數(shù)，亦稱為序數(shù)需求函數(shù)或市場需求函數(shù)。10/8/202344效用最大化問題（續(xù)五）注意：如前面所說，如果效用函數(shù)是凸性的效用最大化問題（續(xù)六）命題3.D.2假定u(·)是一個連續(xù)效用函數(shù)，它代表了定義在消費(fèi)集X=RL+上的局部非飽和的偏好關(guān)系≥，則瓦爾拉斯需求對應(yīng)x(p,w)具有下述性質(zhì)：1.在(p,w)上具有零次齊次性：任給p,w和標(biāo)量a＞0，有x(ap,aw)=x(p,w)。2.瓦爾拉斯定律：任給x∈x(p,w)，有p·x=w

10/8/202345效用最大化問題（續(xù)六）命題3.D.2假定u(·)是一個連效用最大化問題（續(xù)七）3.凸性/惟一性：如果偏好關(guān)系≥是凸的，從而u(·)是擬凹的，則x(p,w)是一個凸集；如果偏好關(guān)系≥是嚴(yán)格凸的，從而u(·)是嚴(yán)格擬凹的，則x(p,w)只包含單一的元素。其中最后一點(diǎn)，介紹定義3.B.4時我講過。我的觀點(diǎn)與教材60-61頁有關(guān)邊際替代率遞減成立條件的說法不同，但與這里命題3.D.2的說法一致。10/8/202346效用最大化問題（續(xù)七）3.凸性/惟一性：如果偏好關(guān)系≥是凸的效用最大化問題（續(xù)八）如果u(·)是連續(xù)可微的，則最優(yōu)消費(fèi)束x*∈x(p,w)可以通過一階條件來刻劃。其庫恩-塔克必要條件是指：如果x*∈x(p,w)是效用最大化問題的一個解，則存在一個拉格朗日乘子λ≥0，使得對于所有的l=1，…，L，有：若x*l＞0，則該式成立(3.D.1)10/8/202347效用最大化問題（續(xù)八）如果u(·)是連續(xù)可微的，則最優(yōu)消費(fèi)束效用最大化問題（續(xù)九）等價地，令▽u(x)=[?u(x)/?x1,…,?u(x)/?xL]代表u(·)在x的梯度向量，則可將不等式3.D.1寫成如下矩陣形式：▽u(x*)≤λp(3.D.2)以及x*·[▽u(x*)-λp]=0(3.D.3)因此，若有內(nèi)點(diǎn)解（即如果x*?0），則必然有▽u(x*)=λp(3.D.4)10/8/202348效用最大化問題（續(xù)九）等價地，令▽u(x)=[?u(x)/圖3.D.4(a)內(nèi)點(diǎn)解

10/8/202349圖3.D.4(a)內(nèi)點(diǎn)解10/7/202349效用最大化問題（續(xù)十）圖3.D.4(a)描述的是當(dāng)L=2且有內(nèi)點(diǎn)解時的一階條件。該圖與圖3.D.1(a)一樣，也是用無差異曲線和預(yù)算線來表示的消費(fèi)者均衡圖。根據(jù)3.D.4式，消費(fèi)者效用函數(shù)的梯度向量▽u(x*)必須與價格向量p成比例。若▽u(x*)?0，則這等價于以下等式，即對任何兩種商品l和k，有10/8/202350效用最大化問題（續(xù)十）圖3.D.4(a)描述的是當(dāng)L=2且有效用最大化問題（續(xù)十一）(3.D.5)3.D.5式的左邊是x*點(diǎn)上商品l對商品k的邊際替代率MRSlk(x*)，即消費(fèi)者為多得到一單位商品l而愿意放棄的商品k的數(shù)量。當(dāng)L=2時，消費(fèi)者的無差異集在x*點(diǎn)的斜率恰好為-MRS12(x*)。10/8/202351效用最大化問題（續(xù)十一）10/7/202351效用最大化問題（續(xù)十二）這意味著在內(nèi)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)上，任何兩種商品的邊際替代率都必須等于它們的價格比。如果不是這樣，消費(fèi)者可以通過改變消費(fèi)結(jié)構(gòu)來提高效用水平。例如，如果[?u(x*)/?xl]/[?u(x*)/?xk]＞(pl/pk)，則將對商品l的消費(fèi)量增加dxl，同時將對商品k的消費(fèi)量減少(pl/pk)dxl，則消費(fèi)者的效用變化為[?u(x*)/?xl]dxl-[?u(x*)/?xk](pl/pk)dxl＞0。10/8/202352效用最大化問題（續(xù)十二）這意味著在內(nèi)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)上，任何兩種商品圖3.D.4(b)邊角解

10/8/202353圖3.D.4(b)邊角解10/7/202353效用最大化問題（續(xù)十三）圖3.D.4(b)描述的是當(dāng)L=2且有邊角解時的一階條件。此時x*2=0。邊角解時，消費(fèi)者效用函數(shù)的梯度向量▽u(x*)不必與價格向量p成比例。該圖中，MRS12(x*)＞p1/p2。10/8/202354效用最大化問題（續(xù)十三）圖3.D.4(b)描述的是當(dāng)L=2且效用最大化問題（續(xù)十四）與內(nèi)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)不同的是，邊角最優(yōu)點(diǎn)上，能夠出現(xiàn)邊際替代率和價格比率的不相等，因?yàn)橄M(fèi)者此時不可能在消費(fèi)量已經(jīng)為0的條件下，進(jìn)一步減少對商品2的消費(fèi)。10/8/202355效用最大化問題（續(xù)十四）與內(nèi)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)不同的是，邊角最優(yōu)點(diǎn)上，效用最大化問題（續(xù)十五）此時的一階條件告訴我們，滿足庫恩-塔克必要條件意味著：對于那些x*l=0的l，?ul(x*)/?xl≤λpl，即不等式3.D.2適用；對于那些x*l＞0的l，?ul(x*)/?xl=λpl，即3.D.3式適用。10/8/202356效用最大化問題（續(xù)十五）此時的一階條件告訴我們，滿足庫恩-塔效用最大化問題（續(xù)十六）不等式3.D.2與3.D.3式中的拉格朗日乘子λ等于在x*點(diǎn)上消費(fèi)者財(cái)富邊際增加所引起的效用變化——即消費(fèi)者財(cái)富的邊際效用，或稱財(cái)富的影子價格。盡管是花錢買邊際效用，但消費(fèi)者對邊際效用會有自己的估價，即多花100元買的商品的效用值多少元，這個“值多少元”就是所花100元的影子價格——它完全可以高于100元。10/8/202357效用最大化問題（續(xù)十六）不等式3.D.2與3.D.3式中的拉效用最大化問題（續(xù)十七）效用函數(shù)本來反映的是消費(fèi)束x與效用u之間的關(guān)系。但由于xl=w/pl，因而也可以用p和w代替x作為自變量來構(gòu)建效用函數(shù)。由此構(gòu)建出來的效用函數(shù)v(p,w)被稱為間接效用函數(shù)，u(x)則被稱為直接效用函數(shù)。間接效用函數(shù)具有以下基本性質(zhì)。10/8/202358效用最大化問題（續(xù)十七）效用函數(shù)本來反映的是消費(fèi)束x與效用u效用最大化問題（續(xù)十八）命題3.D.3假定u(·)是一個連續(xù)效用函數(shù)，它代表了定義在消費(fèi)集X=RL+上的局部非飽和的偏好關(guān)系≥，則間接效用函數(shù)v(p,w)是：1.零次齊次的。2.在w上是嚴(yán)格遞增的，并且對于任意l，它在pl上都是非遞增的。10/8/202359效用最大化問題（續(xù)十八）命題3.D.3假定u(·)是一個效用最大化問題（續(xù)十九）3.擬凸的；也就是說，對于任意，集合{(p,w):v(p,w)≤}都是凸的。4.在p和w上是連續(xù)的。10/8/202360效用最大化問題（續(xù)十九）3.擬凸的；也就是說，對于任意支出最小化問題研究支出最小化問題的前提是：p?0和u＞u(0)。支出最小化問題(EMP)，表述如下：p·x

s.t.u(x)≥u

10/8/202361支出最小化問題研究支出最小化問題的前提是：p?0和u＞u(0支出最小化問題（續(xù)）效用最大化問題是在給定財(cái)富w的條件下，使消費(fèi)者的效用達(dá)到最大水平。支出最小化問題則是在給定效用水平u的條件下，使消費(fèi)者所需支付的財(cái)富達(dá)到最低水平。兩者目標(biāo)相同，形式上相似，一個問題的目標(biāo)函數(shù)是另外一個問題的約束條件，因而這兩個問題是對偶問題。

10/8/202362支出最小化問題（續(xù)）效用最大化問題是在給定財(cái)富w的條件下，使圖3.E.1支出最小化問題10/8/202363圖3.E.1支出最小化問題10/7/202363支出最小化問題（續(xù)二）圖3.E.1中，最優(yōu)消費(fèi)束x*是允許消費(fèi)者達(dá)到效用水平u的最小花費(fèi)消費(fèi)束。從幾何上說，x*是集合{x∈RL+:u(x)≥u}中的一個點(diǎn)，該點(diǎn)所在的預(yù)算線是所有與集合RL+的邊界相交或相切的預(yù)算線中位置最低的。10/8/202364支出最小化問題（續(xù)二）圖3.E.1中，最優(yōu)消費(fèi)束x*是允許消支出最小化問題（續(xù)三）命題3.E.1描述了支出最小化問題與效用最大化問題之間的關(guān)系。命題3.E.1假定u(·)是一個連續(xù)效用函數(shù)，它代表了定義在消費(fèi)集X=RL+上的局部非飽和的偏好關(guān)系≥，而且價格向量為p?0，則有10/8/202365支出最小化問題（續(xù)三）命題3.E.1描述了支出最小化問題與效支出最小化問題（續(xù)四）1.如果當(dāng)財(cái)富為w＞0時，x*在效用最大化問題中是最優(yōu)的，那么當(dāng)要求達(dá)到的效用水平為u(x*)時，x*在支出最小化問題中就是最優(yōu)的。而且這一支出最小化問題中的最小支出水平正好就是w。10/8/202366支出最小化問題（續(xù)四）1.如果當(dāng)財(cái)富為w＞0時，x*在效用最支出最小化問題（續(xù)五）2.如果當(dāng)要求達(dá)到的效用水平是u＞u(0)時，x*在支出最小化問題中是最優(yōu)的。那么當(dāng)財(cái)富為p·x*時，x*在效用最大化問題中就是最優(yōu)的。而且這一在效用最大化問題中的最大效用水平就是u。10/8/202367支出最小化問題（續(xù)五）2.如果當(dāng)要求達(dá)到的效用水平是u＞u(支出最小化問題（續(xù)六）當(dāng)p?0時，支出最小化問題的解在非常一般的條件下存在。對約束集，僅僅要求是非空的，即u＞u(0)。從現(xiàn)在起，我們假定這一要求得到了滿足。10/8/202368支出最小化問題（續(xù)六）當(dāng)p?0時，支出最小化問題的解在非常一支出最小化問題（續(xù)七）給定價格p?0及要求達(dá)到的效用水平u＞u(0)，支出最小化問題解的值表示為e(p,u)。函數(shù)e(p,u)被稱為支出函數(shù)。對于任意的(p,u)，它的值即為p·x*，其中x*為支出最小化問題的任意一個解。支出函數(shù)的基本性質(zhì)見命題3.E.2。它類似于命題3.D.3所描述的效用最大化問題中間接效用函數(shù)的性質(zhì)。10/8/202369支出最小化問題（續(xù)七）給定價格p?0及要求達(dá)到的效用水平u＞支出最小化問題（續(xù)八）命題3.E.2假定u(·)是一個連續(xù)效用函數(shù)，它代表了定義在消費(fèi)集X=RL+上的局部非飽和的偏好關(guān)系≥，則支出函數(shù)e(p,u)是：1.在p上一次齊次的。2.在u上是嚴(yán)格遞增的，并且對于任意l，它在pl上都是非遞減的。3.在p上是凹的。4.在p和u上是連續(xù)的。10/8/202370支出最小化問題（續(xù)八）命題3.E.2假定u(·)是一個連支出最小化問題（續(xù)九）命題3.E.1使我們可以在支出函數(shù)與間接效用函數(shù)之間建立聯(lián)系。特別是對于任意的p?0，w＞0，以及u＞u(0)，有：e(p,v(p,w))=w和v(p,e(p,u))=u(3.E.1)這些條件意味著，對于給定的價格向量，e(,·)和v(,·)是互逆的。10/8/202371支出最小化問題（續(xù)九）命題3.E.1使我們可以在支出函數(shù)與間支出最小化問題（續(xù)十）支出最小化問題中的最優(yōu)商品向量集表示為h(p,u)RL+，它被稱為希克斯或補(bǔ)償需求對應(yīng)，如果是單值，則被稱為?？怂够蜓a(bǔ)償需求函數(shù)。10/8/202372支出最小化問題（續(xù)十）支出最小化問題中的最優(yōu)商品向量集表示為圖3.E.3?？怂剐枨蠛瘮?shù)

10/8/202373圖3.E.3希克斯需求函數(shù)10/7/202373支出最小化問題（續(xù)十一）什么是“財(cái)富或收入保持不變”，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)有不同的解釋。在介紹斯拉茨基財(cái)富補(bǔ)償時，我們討論了其中的一種情況。在討論?？怂剐枨蠛瘮?shù)時，我們遇到了另外一種情況，即價格變化前后，在不同的相對價格條件下，消費(fèi)者消費(fèi)的最優(yōu)商品向量集保持在同一條無差異曲線上。10/8/202374支出最小化問題（續(xù)十一）什么是“財(cái)富或收入保持不變”，微觀經(jīng)支出最小化問題（續(xù)十二）希克斯需求對應(yīng)的基本性質(zhì)見命題3.E.3。它類似于命題3.D.2所描述的瓦爾拉斯需求對應(yīng)的性質(zhì)。命題3.E.3假定u(·)是一個連續(xù)效用函數(shù)，它代表了定義在消費(fèi)集X=RL+上的局部非飽和的偏好關(guān)系≥，則對于任意p?0，?？怂剐枨髮?yīng)h(p,u)具有下述性質(zhì)：10/8/202375支出最小化問題（續(xù)十二）希克斯需求對應(yīng)的基本性質(zhì)見命題3.E支出最小化問題（續(xù)十三）1.在p上是零次齊次的：對于任意p,u和a＞0，均有h(ap,u)=h(p,u)。2.沒有超額效用：任給x∈h(p,u)，有u(x)=u。3.凸性/惟一性：如果偏好關(guān)系≥是凸的，從而u(·)是擬凹的，則h(p,u)是一個凸集；如果偏好關(guān)系≥是嚴(yán)格凸的，從而u(·)是嚴(yán)格擬凹的，則h(p,u)有惟一的一個元素。10/8/202376支出最小化問題（續(xù)十三）1.在p上是零次齊次的：對于任意p,支出最小化問題（續(xù)十四）通過前面對命題3.E.1的介紹，我們在支出函數(shù)與間接效用函數(shù)之間建立了如3.E.1所描述的聯(lián)系。利用命題3.E.1，我們同樣可以把?？怂剐枨髮?yīng)與瓦爾拉斯需求對應(yīng)之間的關(guān)系寫成：h(p,u)=x(p,e(p,u))和x(p,w)=h(p,v(p,w))(3.E.4)10/8/202377支出最小化問題（續(xù)十四）通過前面對命題3.E.1的介紹，我們支出最小化問題（續(xù)十五）3.E.4式的兩個關(guān)系中，h(p,u)=x(p,e(p,u))解釋了為何用補(bǔ)償需求對應(yīng)來描述h(p,u)。當(dāng)價格