2022年湖南省常德市新興中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

2022年湖南省常德市新興中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項和為，則A.

B.

C. 4

D.2參考答案：A略2.設(shè)角屬于第二象限，且，則角屬于（

）A.第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限參考答案：C略3.若f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在區(qū)間（﹣∞，4）上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜﹣3 B．a(chǎn)＞﹣3 C．a(chǎn)≤﹣3 D．a(chǎn)≥﹣3參考答案：C【考點】3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】先由f（x）=x2+2（a﹣1）x+2得到其對稱，再由f（x）在區(qū)間（﹣∞，4）上是減函數(shù)，則對稱軸在區(qū)間的右側(cè)，所以有1﹣a≥4，計算得到結(jié)果．【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的對稱軸為x=1﹣a，∵f（x）在區(qū)間（﹣∞，4）上是減函數(shù)，開口向上，則只需1﹣a≥4，即a≤﹣3．故選：C．4.設(shè)函數(shù)定義在實數(shù)集R上，，且當(dāng)時=，則有 A． B． C． D．參考答案：C由可知函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以，且當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，即選C.5.關(guān)于x的方程至少有一個正的實根,則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≥0

B．－1≤a＜0

C．a(chǎn)≥－1

D．a(chǎn)＞0或－1＜a＜0

參考答案：C略6.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.已知不平行于坐標(biāo)軸的直線l與以原點O為中心的雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的兩及其兩條漸近線從左到右依次交于A，B，C，D不同的四點，則下列一定成立的是（）A．|AD|=2|BC| B．|AB|=|BC|=|CD| C．+=+ D．?=?參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)l的方程為y=kx+m，分別設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），B（x3，y3），C（x4，y4），分別根據(jù)韋達(dá)定理求出并得到x1+x2=x3+x4，同理得到y(tǒng)1+y2=y3+y4，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到=+，故結(jié)論一定成立的選項即得到【解答】解：如圖所示：設(shè)l的方程為y=kx+m，代入雙曲線方程并整理得：（b2﹣a2k2）x2﹣2a2kmx﹣a2（m2+b2）=0，設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），則x1+x2=再將y=kx+m代入雙曲線漸近線方程b2x2﹣a2y2=0并整理得（b2﹣a2k2）x2﹣2a2kmx﹣a2m2=0．設(shè)B（x3，y3），C（x4，y4），則x3+x4=∴x1+x2=x3+x4，同理可得y1+y2=y3+y4，∵=（x1，y1），=（x3，y3），=（x4，y4），=（x2，y2），∴=（x1+x2，y1+y2），+=（x3+x4，y3+y4）∴=+故選：C【點評】本題考查了直線和雙曲線的關(guān)系，以及韋達(dá)定理，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題8.如圖所示，四面體ABCD的四個頂點是長方體的四個頂點（長方體是虛擬圖形，起輔助作用），則四面體ABCD的正視圖，左視圖，俯視圖依次是（用①②③④⑤⑥代表圖形）（

）A．①②⑥

B．①②③ C．④⑤⑥

D．③④⑤參考答案：【知識點】簡單空間圖形的三視圖．G2B

解析：由已知中四面體ABCD的四個頂點是長方體的四個頂點，可得：四面體ABCD的正視圖為①，四面體ABCD的左視圖為③，四面體ABCD的俯視圖為②，故四面體ABCD的三視圖是①②③，故選：B【思路點撥】由已知中的四面體ABCD的直觀圖，分析出四面體ABCD的三視圖的形狀，可得答案．9.設(shè)某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為 A． B． C． D．參考答案：A10.已知A、B兩點分別在兩條互相垂直的直線和上，且線段的中點為P，則線段AB的長為（

） A．11 B．10 C．9 D．8參考答案：B直線的斜率為2，的斜率為。因為兩直線垂直，所以，所以。所以直線方程，中點。則，在直角三角形中斜邊的長度，所以線段AB的長為10，選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列{an}中，如果存在ak，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），則稱ak為{an}的一個峰值．若an=﹣6n2+22n，且{an}的峰值為ak，則正整數(shù)k的值為．參考答案：2略12.如圖，正四棱柱中，，則異面直線與所成角為

。參考答案：13.高三（2）班現(xiàn)有64名學(xué)生，隨機(jī)編號為0，1，2，…，63，依編號順序平均分成8組，組號依次為1，2，3，…，8．現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為8的樣本，若在第一組中隨機(jī)抽取的號碼為5，則在第6組中抽取的號碼為

．參考答案：45【考點】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】先求出分組間隔為，再由在第一組中隨機(jī)抽取的號碼為5，能求出在第6組中抽取的號碼．【解答】解：高三（2）班現(xiàn)有64名學(xué)生，隨機(jī)編號為0，1，2，…，63，依編號順序平均分成8組，組號依次為1，2，3，…，8．分組間隔為，∵在第一組中隨機(jī)抽取的號碼為5，∴在第6組中抽取的號碼為：5+5×8=45．故答案為：45．【點評】本題考查樣本號碼的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)的合理運(yùn)用．14.設(shè)函數(shù)f（x）=，若函數(shù)g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三個零點x1，x2，x3，則x1x2+x2x3+x1x3=．參考答案：3﹣a4【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】設(shè)f（x）=t，根據(jù)f（x）的函數(shù)圖象得出方程f（x）=t的根的個數(shù)，從而得出f（x）=1，故而可求出f（x）=1的三個解，得出答案．【解答】解：不妨設(shè)a＞1（或0＜a＜1），作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：設(shè)f（x）=t，由圖象可知：當(dāng)t=1時，方程f（x）=t有3解，當(dāng)t≠1時，方程f（x）=t有2解，∵函數(shù)g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三個零點，∴關(guān)于t的方程t2+bt+c=0有且只有一解t=1，∴f（x）=1，∴x1，x2，x3是f（x）=1的三個解，不妨設(shè)x1＜x2＜x3，則x2=1，令loga|x﹣1|﹣1=1得x=1±a2，∴x1=1﹣a2，x3=1+a2．∴x1x2+x2x3+x1x3=1+a2+1﹣a2+1﹣a4=3﹣a4．故答案為：3﹣a4．15.已知極坐標(biāo)方程為q=(r∈R)的直線與參數(shù)方程為(q為參數(shù)，q∈R)的曲線的交點為P，則點P的直角坐標(biāo)為____________.參考答案：或16.已知函數(shù)有零點，則實數(shù)的取值范圍是

參考答案：17.已知函數(shù)f（x）=，若存在實數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=f（x）﹣b有兩個不同的零點，則a的取值范圍是．參考答案：2＜a＜4【考點】52：函數(shù)零點的判定定理．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有兩個零點可得f（x）=b有兩個零點，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個交點，則函數(shù)在定義域內(nèi)不能是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可求a的范圍．【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有兩個零點，∴f（x）=b有兩個零點，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個交點，由于y=x2在[0，a）遞增，y=2x在[a，+∞）遞增，要使函數(shù)f（x）在[0，+∞）不單調(diào)，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．故答案為：2＜a＜4．【點評】本題考查函數(shù)的零點問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）設(shè)橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)F(c，0)，由，即，可得a2－c2=3c2，又a2－c2=b2=3，所以c2=1，因此a2=4.所以，橢圓的方程為.（Ⅱ）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得.解得，或，由題意得，從而.由（Ⅰ）知，，設(shè)，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為.設(shè)，由方程組消去，解得.在中，，即，化簡得，即，解得或.所以，直線的斜率的取值范圍為.19.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）若對任意恒成立，求實數(shù)m的最大值．參考答案：【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題．B11B12

【答案解析】（1）函數(shù)在上遞增，在上遞減，最小值為（2）4

解析：（1），。有，函數(shù)在上遞增

…..3分有，函數(shù)在上遞減

…..5分在處取得最小值，最小值為

…..6分（2）∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3，即mx≤2x?lnx+x2+3，又x＞0，∴，令，令h'（x）=0，解得x=1或x=﹣3（舍）當(dāng)x∈（0，1）時，h'（x）＜0，函數(shù)h（x）在（0，1）上遞減當(dāng)x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，函數(shù)h（x）在（1，+∞）上遞增，∴h（x）max=h（1）=4．即m的最大值為4．【思路點撥】（l）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）利用不等式恒成立，進(jìn)行參數(shù)分離，利用導(dǎo)數(shù)即可求出實數(shù)m的最大值．20.（14分）

已知數(shù)列

（1）求a3的取值范圍；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；

（3）若參考答案：解析：（1）

（2）證明：①在（1）的過程中可知②假設(shè)在綜合①②可知：

………………9分

（3）由變形為：

21.（本小題滿分15分）已知函數(shù)的定義域為I，導(dǎo)數(shù)滿足且，常數(shù)為方程的實數(shù)根，常數(shù)為方程的實數(shù)根．（1）若對任意，存在，使等式

成立．求證：方程不存在異于的實數(shù)根；（2）求證：當(dāng)時，總有成立；（3）對任意，若滿足，求證：．參考答案：證明：（1）假設(shè)方程有異于的實根m，即，

則有成立．

因為，所以必有，這與矛盾，因此方程不存在異于的實數(shù)根．……4分

（2）令，

∴函數(shù)為減函數(shù)．又，∴當(dāng)時，，即成立．…8分

（3）不妨設(shè)，

為增函數(shù)，即．

又，∴函數(shù)為減函數(shù)，即．

．

即．

，

．………………15分22.某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求頻率分布圖中a的值；（2）估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；（3）從評分在[40，60]的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評分都在[40，50]的概率．參考答案：【考點】頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（1）利用頻率分布直方圖中的信息，所有矩形的面積和為1，得到a；（2）對該部門評分不低于80的即為90和100，的求出頻率，估計概率；（3）求出評分在[40，60]的受訪職工和評分都在[40，50]的人數(shù)，隨機(jī)抽取2人，列舉法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因為（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的頻率分布直方圖可知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為（0.022+0.018）×10=0.4，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4；（3）受訪職工中評分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），記為A1，A2，