2022-2023學(xué)年北京南梨園中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022-2023學(xué)年北京南梨園中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F2（c，0）作圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為M，延長(zhǎng)F2M交拋物線y2=﹣4cx于點(diǎn)P，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】說明M是F2P的中點(diǎn)．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F1，則F1為（﹣c，0），也是雙曲線的焦點(diǎn)．畫出圖形，連接PF1，OM，說明OM為△PF2F1的中位線．通過PF2⊥PF1，可得|PF2|=，設(shè)P（x，y），推出c﹣x=2a，利用雙曲線定義結(jié)合勾股定理得y2+4a2=4b2，然后求解離心率即可．【解答】解：如圖9，∵，∴M是F2P的中點(diǎn)．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F1，則F1為（﹣c，0），也是雙曲線的焦點(diǎn)．連接PF1，OM．∵O、M分別是F1F2和PF2的中點(diǎn)，∴OM為△PF2F1的中位線．∵OM=a，∴|PF1|=2a．∵OM⊥PF2，∴PF2⊥PF1，于是可得|PF2|=，設(shè)P（x，y），則c﹣x=2a，于是有x=c﹣2a，y2=﹣4c（c﹣2a），過點(diǎn)F2作x軸的垂線，點(diǎn)P到該垂線的距離為2a．由勾股定理得y2+4a2=4b2，即﹣4c（c﹣2a）+4a2=4（c2﹣a2），變形可得c2﹣a2=ac，兩邊同除以a2有e2﹣e﹣1=0，所以e=，負(fù)值已經(jīng)舍去．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，向量以及圓與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．2.（

）A． B． C． D．參考答案：B.故選：B

3.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．命題“若p，則q”與命題“若?q，則?p”互為逆否命題B．命題p：?x∈，ex≥1，命題q：?x∈R，x2+x+1＜0，則p∨q為真C．若p∨q為假命題，則p、q均為假命題D．“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為真命題參考答案：D【考點(diǎn)】特稱命題；四種命題．【專題】計(jì)算題．【分析】寫出A命題的逆否命題，即可判斷A的正誤；對(duì)于B，判斷兩個(gè)命題的真假即可判斷正誤；對(duì)于C直接判斷即可；對(duì)于D命題的逆命題為“若a＜b，則am2＜bm2”然后判斷即可；【解答】解：對(duì)于A：因?yàn)槊}“若p，則q”的逆否命題是命題“若?q，則?p”，所以）．命題“若p，則q”與命題“若?q，則?p”互為逆否命題；故正確．對(duì)于B：命題p：?x∈，ex≥1，為真命題，命題q：?x∈R，x2+x+1＜0，為假命題，則p∨q為真，故命題B為真命題．對(duì)于C：若p∨q為假命題，則p、q均為假命題，正確；對(duì)于D：“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為：“若a＜b，則am2＜bm2”，而當(dāng)m2=0時(shí)，由a＜b，得am2=bm2，所以“am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為假，故命題D不正確．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，訓(xùn)練了特稱命題的否定的格式，同時(shí)訓(xùn)練了復(fù)合命題真假的判斷，有時(shí)利用反例判斷．4.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)是(

)

A．-28

B．-7

C．7

D．-28參考答案：C5.若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則(A).

(B).(C).

(D).參考答案：A略6.（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長(zhǎng)的一條棱的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．4參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何．【分析】結(jié)合題意及圖形，可知幾何體為一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2的正方形且有一條長(zhǎng)為2的側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，還原幾何體，求解即可．【解答】解：由三視圖可知，此多面體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2的正方形，且有一條長(zhǎng)為2的側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，所以最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為=2．故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖視角下多面體棱長(zhǎng)的最值問題，考查了同學(xué)們的識(shí)圖能力以及由三視圖還原物體的能力．8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：D【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】根據(jù)已知中的程序框圖可得，該程序的功能是計(jì)算并輸出變量i的值，模擬程序的運(yùn)行過程，可得答案．【解答】解：第1次執(zhí)行循環(huán)后，S=2016，i=2，不滿足退出循環(huán)的條件；第2次執(zhí)行循環(huán)后，S=1008，i=3，不滿足退出循環(huán)的條件；第3次執(zhí)行循環(huán)后，S=336，i=4，不滿足退出循環(huán)的條件；第4次執(zhí)行循環(huán)后，S=84，i=5，不滿足退出循環(huán)的條件；第5次執(zhí)行循環(huán)后，S=16.8，i=6，不滿足退出循環(huán)的條件；第6次執(zhí)行循環(huán)后，S=2.8，i=7，滿足退出循環(huán)的條件；故輸出的i值為7，故選：D．9.已知函數(shù)，若存在正實(shí)數(shù)，使得方程在區(qū)間（1，+）上有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：D10.若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．10

B．20

C．30

D．120參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△中，，,則的長(zhǎng)度為________.參考答案：1或212.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，從“到”左端需增乘的代數(shù)式為

．參考答案：2（2k+1）略13.已知雙曲線C：（a＞0，b＞0），其右焦點(diǎn)為F（c，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓交曲線C于A、B兩點(diǎn)，若S四邊形OAFB＝bc，則雙曲線C的離心率e＝___________．參考答案：可設(shè)A（m，n），（m＞0，n＞0），S四邊形OAFB＝bc，由雙曲線和圓的對(duì)稱性可得，cn=bc，即n=b，將A的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，，解得:又OA⊥AF，可得，即，由b2=c2﹣a2，化為3a2﹣2ac+c2=0，可得c=a，e==．故答案為：．

14.（幾何證明選講選做題）如右圖，從圓O外一點(diǎn)P引圓O的割線PAB和PCD，PCD過圓心O，已知PA＝1，AB＝2，PO＝3，則圓O的半徑等于＿＿＿＿參考答案：試題分析：設(shè)半徑為，則,.根據(jù)割線定理可得，即，所以，所以.考點(diǎn)：切割線定理.15.記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6＝，則{an}的公比為

參考答案：-116.某學(xué)校想要調(diào)查全校同學(xué)是否知道迄今為止獲得過諾貝爾物理獎(jiǎng)的6位華人的姓名，為此出了一份考卷。該卷共有6個(gè)單選題，每題答對(duì)得20分，答錯(cuò)、不答得零分，滿分120分。閱卷完畢后，校方公布每題答對(duì)率如下：則此次調(diào)查全體同學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是

分。參考答案：略17.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，若點(diǎn)D、E都在邊BC上，且∠BAD=∠CAE=15°，則=．參考答案：【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【分析】根據(jù)條件便可由正弦定理分別得到=①=②=③=④，而sin∠BDA=sin∠ADC，sin∠BEA=sin∠AEC，從而得：的值．【解答】解：如圖，由正弦定理得，=①=②=③=④∴得：=．故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）如圖，在ABC的邊AB，BC，CA上分別取D，E，F(xiàn)．使得DE=BE，F(xiàn)E=CE，又點(diǎn)O是△ADF的外心．證明：D，E，F(xiàn)，O四點(diǎn)共圓．參考答案：∠DEF=180°-（180°-2∠B）-（180°-2∠C）=180°-2∠A．因此∠A是銳角，從而的外心與頂點(diǎn)A在DF的同側(cè)，∠DOF=2∠A=180°-∠DEF．因此D，E，F(xiàn)，O四點(diǎn)共圓．

……………10分19.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，，，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求二面角的平面角的正弦值．參考答案：（1）證明：底面，又，，故面面，故………… 4分又，是的中點(diǎn)，故從而面，故易知，故面……………… 6分（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，，從而，，…9分設(shè)為平面的法向量，則可以取

……11分又為平面的法向量，若二面角的平面角為則

……11分因此?！?2分略20.已知函數(shù)f（x）=lnx+ax﹣x2（0＜a≤1）（I）時(shí)，求f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的方程（II）設(shè)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（s，t）（s＜t），求t﹣s的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率f′（1），再計(jì)算f（1），代入點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)即可；（II）令f′（x）＞0可得2x2﹣ax﹣1＜0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及根與系數(shù)的關(guān)系可得s=0，t=，再利用函數(shù)單調(diào)性和a的范圍得出t﹣s的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，又，∴y=f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線方程為y+=﹣（x﹣1），即．（Ⅱ），令f′（x）＞0得2x2﹣ax﹣1＜0，∵△=a2+8＞0，∴2x2﹣ax﹣1=0有兩根x1，x2（x1＜x2），又，∴（s，t）=（0，x2），則，而在（0，1]上單調(diào)遞增，∴a=1時(shí)，取得最大值1，∴a=1時(shí)t﹣s取得最大值1．21.某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：.（1）

求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；（2）

以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；（3）

求這20名工人年齡的方差．參考答案：解析：（1）年齡30的的工人數(shù)為5，頻率最高，故這20名工人年齡的眾數(shù)為30，極差為最大值與最小值的差，即40-19=21.（2）莖葉圖如下:(3)這20名工人年齡的平均數(shù)為所以這20名工人年齡的方差點(diǎn)評(píng)：類似于本題的題目其實(shí)學(xué)生已經(jīng)不小，所以學(xué)生對(duì)這種題型不會(huì)有陌生感.但是我覺得學(xué)生會(huì)遇到幾個(gè)問題，一是計(jì)算容易出錯(cuò)，二是在畫莖葉圖可能不是很規(guī)范。另外關(guān)于極差，很可能大部分學(xué)生都忘記了.22.（2017?涼山州模擬）設(shè)橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，E上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)距離的最小值為1．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)（0，2）的直線交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A，B，求?的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由題意，a﹣c=1，解出a，c及b的值即可；（2）先討論當(dāng)k不存在時(shí)，的值，當(dāng)當(dāng)k存在時(shí)，可設(shè)直線方程為y=kx+2，聯(lián)立方程組，由△＞0求出k的范圍，由根與系數(shù)關(guān)系用k表示x1+x2，x1x2，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算用k表示，即可求出的取值范圍．【解答】解：（1）由題意得，即a=2c，且a﹣c=1，∴a=2，c=1，故