剛體的轉(zhuǎn)動慣量

剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量的三要素剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量，是描述剛體在繞該軸的轉(zhuǎn)動過程中轉(zhuǎn)動慣性的物理量有轉(zhuǎn)動慣量的定義式1='m?:可看出，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是與下列三個因素有關(guān)的.（1） 與剛體的質(zhì)量有關(guān).例如半徑相同的兩個圓柱體，而它們的質(zhì)量不同，顯然，對于相應(yīng)的轉(zhuǎn)軸，質(zhì)量大的轉(zhuǎn)動慣量也較大.（2） 在質(zhì)量一定的情況下，與質(zhì)量的分布有關(guān).例如質(zhì)量相同、半徑也相同的圓盤與圓環(huán)，二者的質(zhì)量分布不同，圓環(huán)的質(zhì)量集中分布在邊緣，而圓盤的質(zhì)量分布在整個圓面上，所以，圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量較大.（3） 還與給定轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，即同一剛體對于不同的轉(zhuǎn)軸，其轉(zhuǎn)動慣量的大小也是不等的.例如，同一細長桿，對通過其質(zhì)心且垂直于桿的轉(zhuǎn)軸和通過其一端且垂直于桿的轉(zhuǎn)軸，二者的轉(zhuǎn)動慣量不相同，且后者較大.這是由于轉(zhuǎn)軸的位置不同，從而也就影響了轉(zhuǎn)動慣量的大小.剛體的轉(zhuǎn)動慣量的三要素：剛體的總質(zhì)量、剛體的質(zhì)量分布情況、轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)動慣量的普遍公式（1）轉(zhuǎn)動慣量的定義式I=Zmr2 &ii可知，對于形狀規(guī)則、質(zhì)量均勻分布的連續(xù)剛體，其對特殊軸的轉(zhuǎn)動慣量的計算可借助于定積分.這是，可設(shè)想將剛體分成許多小線元、面元、體元.dm=Xdxdm=bdSdm=pdV于是I=Jr2dm=Jr2人dxI=Jr2dm=Jr2。dSI=Jr2dm=Jr2pdVV一般說來，這是個三重的體積分，但對于有一定對稱性的物體，積分的重數(shù)可以減少，甚至不需要積分.（2）剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量I=J(r2-z2)im=J(x2+y2)dm剛體對x軸的轉(zhuǎn)動慣量2-X2\m」（y2+z2）dm剛體對y軸的轉(zhuǎn)動慣量I='J(r2-y2%m=JG2+z2)dm…y 仿照剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量來定義剛體對于某點的轉(zhuǎn)動慣量:剛體中各質(zhì)點的質(zhì)量各自與其至某（參考）點的距離的平方的乘積，所得總和稱為剛體對該點的轉(zhuǎn)動慣量（3）剛體對某點的轉(zhuǎn)動慣量剛體對坐標(biāo)原點。的轉(zhuǎn)動慣量可表示為I。=』G2+y2+z2）dm:由式。、③，得（4）I=-(I+1+1)（4）O2xyzs即，質(zhì)點系（剛體）對于坐標(biāo)原點的轉(zhuǎn)動慣量（或極轉(zhuǎn)動慣量），等于它對于三個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量之和的一半.剛體的平行軸定理（許泰乃爾定理）I=I+md2 C即，剛體對于任何一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過它的質(zhì)心并與該軸平行的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.注意：平行軸定理與剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量緊密聯(lián)系在一起，應(yīng)用此定理的參考點是剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量.根據(jù)平行軸定理，可得到如下關(guān)系:（1）剛體繞通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量小于繞另一平行軸的轉(zhuǎn)動慣量，二者之差為md2.（2）設(shè)有兩條平行軸PP'與QQ'均不通過質(zhì)心。.如果PP'比QQ'靠近C，則剛體繞PP'軸的轉(zhuǎn)動慣量小于繞QQ,軸的轉(zhuǎn)動慣量（如圖所示）.(a)(b)(a)(b)平行軸定理的應(yīng)用（a）在不同圓上；（b）同一圓上（3）如果有一簇與質(zhì)心C的距離相等的平行軸，那么，剛體繞這些軸的轉(zhuǎn)動慣量均相等（如圖7.52（b）所示）.剛體的垂直軸定理（正交軸定理、薄片定理）設(shè)想剛體為平面薄片，即厚度可以略去不計，因而剛體為平面圖形(6)1廣'x+1(6)即，平面圖形對于圖形內(nèi)的兩條正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，等于這個圖形對過二軸交點且垂直??????于圖形平面的那條轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量.注意：正交軸定理對于有限厚度的板不成立.轉(zhuǎn)動慣量的疊加原理實際上，有些物體是由幾種形狀不同的剛體的組合.它對于某軸的轉(zhuǎn)動慣量，可視為各部分對于同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，因而，（7）即，由幾個部分組成的剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于各部分對同軸的轉(zhuǎn)動慣量之和.此即轉(zhuǎn)動慣量的疊加原理.????