定積分法求面積探究畢業(yè)論文

定積分法求面積探究畢業(yè)論文一、研究背景在數(shù)學(xué)中，面積是一個非常基礎(chǔ)的概念。但是，當(dāng)我們需要計算不規(guī)則圖形的面積時，傳統(tǒng)的計算方法已經(jīng)不再適用。這時就需要應(yīng)用到定積分法，通過積分計算圖形的面積。因為定積分法的應(yīng)用范圍非常廣泛，所以本文將圍繞定積分法求面積展開研究。二、研究目的本文旨在探究定積分法求面積的方法，并通過實例來說明其具體應(yīng)用。希望能夠深入探討這種方法的實際意義和應(yīng)用價值。三、研究方法本文采用文獻資料法與實例分析法相結(jié)合，通過文獻資料法了解定積分法求面積的基本理論，并利用實例分析法探究定積分法求面積的具體應(yīng)用。四、定積分法求面積的基本理論定積分法求面積的基本理論是：將復(fù)雜的不規(guī)則圖形分割成多個小的幾何圖形，然后分別計算出每個小圖形的面積，最后將所有小圖形的面積相加即可得到整個圖形的面積。具體實現(xiàn)過程如下：1.將不規(guī)則圖形分割成多個小的幾何圖形，比如說一般常用的有矩形和梯形。2.計算每個小圖形的面積，可以根據(jù)不同的小圖形選擇不同的計算公式。比如說，對于矩形，其面積可以直接使用長和寬的乘積計算，即：$$S=l\\timesb$$3.所有小圖形的面積相加就可以得到整個圖形的面積。用數(shù)學(xué)公式表示為：$$S=\\sum_{i=1}^{n}S_{i}=\\sum_{i=1}^{n}f(x)\\Deltax_{i}$$其中，$S_i$表示第$i$個小圖形的面積，$f(x)$為函數(shù)，$\\Deltax_i$表示第$i$個小圖形的寬度。五、定積分法求面積的具體應(yīng)用下面通過實例來說明定積分法求面積的具體應(yīng)用。假設(shè)我們需要求出$f(x)=x^2$在$[-1,1]$區(qū)間內(nèi)的面積。首先，我們將該區(qū)間分割成多個小的矩形，如下圖所示：計算出每個小矩形的面積：$$S_{1}=f\\left(-1\\right)\\Deltax=1\\cdot\\left(\\frac{2}{n}\\right)=\\frac{2}{n}$$$$S_{2}=f\\left(-\\frac{2}{n}\\right)\\Deltax=\\frac{4}{n^2}\\cdot\\left(\\frac{2}{n}\\right)=\\frac{8}{n^3}$$$$S_{3}=f\\left(-\\frac{3}{n}\\right)\\Deltax=\\frac{9}{n^2}\\cdot\\left(\\frac{2}{n}\\right)=\\frac{18}{n^3}$$$$\\\\\\cdots\\\\\\cdots\\\\$$$$S_{n-1}=f\\left(\\frac{n-2}{n}\\right)\\Deltax=\\frac{(n-2)^2}{n^2}\\cdot\\left(\\frac{2}{n}\\right)=\\frac{2(n-2)^2}{n^3}$$$$S_{n}=f\\left(1\\right)\\Deltax=1\\cdot\\left(\\frac{2}{n}\\right)=\\frac{2}{n}$$將所有小矩形的面積相加，得到整個圖形的面積：$$S=\\sum_{i=1}^{n}f(x)\\Deltax_{i}=\\sum_{i=1}^{n}S_{i}=\\sum_{i=1}^{n}\\frac{2i^2}{n^3}=\\frac{2}{n^3}\\sum_{i=1}^{n}i^2=\\frac{2}{n^3}\\cdot\\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\\frac{2n^2+2n+1}{3n^2}$$當(dāng)$n$趨近于無窮大時，上式趨近于：$$S=\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{2n^2+2n+1}{3n^2}=\\frac{2}{3}$$因此，$f(x)=x^2$在$[-1,1]$區(qū)間內(nèi)的面積為$\\frac{2}{3}$。六、研究結(jié)論本文通過探究定積分法求面積的基本理論及具體應(yīng)用，得出定積分法求面積是一種非常實用的計算方法，并且可以用來計算復(fù)雜的不規(guī)則圖形的面積。因此，在實際應(yīng)用中，我們可以根據(jù)需要靈活選擇不同的分割方式和計算