2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出z，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先找出總事件共種，其中滿足條件的羅列出來(lái)共5種，代入求解.【詳解】先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，共有種情況，點(diǎn)數(shù)和為6的有共5種情況，所以概率為，故選：B.3．已知，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，與所成的角相等，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】D【分析】利用線面垂直的性質(zhì)定理，線面角的定義，面面平行的判定定理，即可逐個(gè)選項(xiàng)判斷.【詳解】若，，則或，A錯(cuò)；若，與所成的角相等，則或與相交或異面，B錯(cuò)；若，，則與平行或相交，C錯(cuò)；若，，所以，又，則，D正確.故選：D4．有一組樣本數(shù)據(jù)，，其平均數(shù)為，中位數(shù)為b，方差為c，極差為d.由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，…，，其中，則新樣本數(shù)據(jù)的（

）A．樣本平均數(shù)為2a B．樣本中位數(shù)為2bC．樣本方差為4c D．樣本極差為【答案】C【分析】A選項(xiàng)，由平均數(shù)的定義得到；B選項(xiàng)，的大小排列順序與變化后的的大小順序一致，故的中位數(shù)為；C選項(xiàng)，由方差得定義計(jì)算出的方差；D選項(xiàng)，由得到，D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，則，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由于，故的大小排列順序與變化后的的大小排列順序一致，由于的中位數(shù)為，故的中位數(shù)為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由題意得，所以，C正確；D選項(xiàng)，由于，故中最大值和最小值，經(jīng)過(guò)變化后仍然為中的最大值和最小值，即，則，D錯(cuò)誤.故選：C5．已知向量，的夾角為，若，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得，根據(jù)投影向量的定義求解.【詳解】由得，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)和差公式，輔助角公式得到，再利用誘導(dǎo)公式，倍角公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即，故?故選：C7．如圖，一種工業(yè)部件是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐所制成的.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為和，且圓臺(tái)的母線與底面所成的角為，圓錐的底面是圓臺(tái)的上底面，頂點(diǎn)在圓臺(tái)的下底面上，則該工業(yè)部件的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知該圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，進(jìn)而得，圓臺(tái)，圓錐的高均為，再計(jì)算體積即可.【詳解】解：根據(jù)題意，該圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，如圖，

所以即為圓臺(tái)母線與底面所成角，即，分別過(guò)點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)、，因?yàn)?，則四邊形為矩形，且，因?yàn)椋?，，所以，，所以，，且，因?yàn)?，則，所以，圓臺(tái)，圓錐的高均為，所以，該工業(yè)部件的體積為.故選：B.8．在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由正弦定理邊化角得到，由銳角三角形求出，然后將的取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得?即，所以，即，又，所以.因?yàn)殇J角三角形ABC，所以，即，解得..令，因?yàn)?，所以，則在單調(diào)遞減，所以.故選：C.二、多選題9．設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若是純虛數(shù)，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【分析】對(duì)于A代入即可判斷正誤，對(duì)于B取特殊值驗(yàn)證即可，對(duì)于C設(shè)，求得即可判斷正誤，對(duì)于D設(shè)代入驗(yàn)證即可求得.【詳解】A.，則，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，但得不出，故B錯(cuò)誤；C.設(shè)，則，，所以，C正確；D.設(shè)則得，又，，故成立，D正確.故選：ACD.10．有個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字、、、，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取個(gè)球，表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（

）A．、相互獨(dú)立 B．、相互獨(dú)立C．、相互獨(dú)立 D．、相互獨(dú)立【答案】BC【分析】利用古典概型的概率公式結(jié)合獨(dú)立事件的定義逐項(xiàng)判斷可出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，從上述四個(gè)球中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取個(gè)球，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共種，其中事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、，共種，對(duì)于A選項(xiàng)，，，事件包含的基本事件有：、、、，共種，則，故、不相互獨(dú)立，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，事件包含的基本事件有：、，共種，則，又因?yàn)椋瑒t，共、相互獨(dú)立，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，事件包含的基本事件有：、，共種，則，則，故、相互獨(dú)立，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，故、不相互獨(dú)立，D錯(cuò).故選：BC.11．如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，設(shè)點(diǎn)，，，是線段BC的五等分點(diǎn)，則（

）

A．B．C．D．的最小值為【答案】BCD【分析】對(duì)于A：根據(jù)平面向量基本定理直接用表示；對(duì)于B：用表示后計(jì)算驗(yàn)證即可；對(duì)于C：設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)向量加法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為即可；對(duì)于D：設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值解決.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：同上可得因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛BC中，，所以，所以，，所以，故B正確；對(duì)于C：設(shè)的中點(diǎn)為，則所以，故C正確；

對(duì)于D：設(shè)的中點(diǎn)為，為線段上一點(diǎn)，設(shè)，則，

則，，所以，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則四邊形為邊長(zhǎng)為1的正方形，故，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D正確.故選：BCD.12．如圖，在矩形ABCD中，，M為邊BC的中點(diǎn)，將沿直線AM翻折成，連接，N為線段的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，（

）

A．異面直線CN與所成的角為定值B．存在某個(gè)位置使得C．點(diǎn)C始終在三棱錐外接球的外部D．當(dāng)二面角為60°時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為【答案】AC【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，找到或的補(bǔ)角為異面直線CN與所成的角，利用余弦定理求出，異面直線CN與所成的角的余弦值為定值；B選項(xiàng)，假如可證出，與矛盾；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到即為三棱錐外接球的半徑，由于，所以，可得到C正確；D選項(xiàng)，作出輔助線，找到即為二面角為平面角，即，求出各邊長(zhǎng)，再找到球心，利用半徑相等列出方程，求出外接球半徑和表面積.【詳解】A選項(xiàng)，矩形ABCD中，，M為邊BC的中點(diǎn)，所以為等腰直角三角形，故，，翻折過(guò)程中，，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镹為線段的中點(diǎn)，所以，則或的補(bǔ)角為異面直線CN與所成的角，因?yàn)镸為邊BC的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，其中，由余弦定理得，故，故，所以異面直線CN與所成的角的余弦值為，A正確；

B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故⊥，假如，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，這與矛盾，故假設(shè)不成立，所以不存在某個(gè)位置使得，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由于⊥，故外接圓的圓心為，設(shè)三棱錐外接球球心為，則⊥平面，連接，則即為三棱錐外接球的半徑，由于，所以，所以點(diǎn)C始終在三棱錐外接球的外部，C正確；

D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以⊥，且，所以⊥，所以即為二面角為平面角，即，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，，因?yàn)椤?，⊥，，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，由C選項(xiàng)可知，三棱錐外接球球心為，則⊥平面，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，若球心在平面的上方時(shí)，如圖，此時(shí)，

由勾股定理得，，故，解得，不合要求，舍去；若球心在平面的下方時(shí)，如圖，此時(shí)，

由勾股定理得，，故，解得，滿足要求，代入上式可得外接球半徑為，三棱錐的外接球的表面積為.故當(dāng)二面角為60°時(shí)，三棱錐的外接球表面積為，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑三、填空題13．已知一組數(shù)據(jù)：24，30，40，44，48，52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為.【答案】36【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義得到第30百分位和第50百分位，即可求解．【詳解】因?yàn)?，故這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為30，因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為，故答案為：36．14．已知，，則的值為.【答案】/1.5【分析】先利用正切的和角公式打開(kāi)，得到,再根據(jù)和差角的正余弦公式化簡(jiǎn)，弦切互換代入即可求解.【詳解】由，代入，解得，.故答案為：.15．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，與的平分線交于點(diǎn)，則的值為.【答案】【分析】利用正弦定理結(jié)合余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得的值.【詳解】由，可得，由正弦定理可得，即，整理可得，由余弦定理可得，因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)榕c的平分線交于點(diǎn)，所以，.故答案為：.四、雙空題16．在正四棱柱中，已知，，則點(diǎn)到平面的距離為；以A為球心，2為半徑的球面與該棱柱表面的交線的總長(zhǎng)度為.【答案】【分析】空1：利用等體積法球點(diǎn)到面的距離；空2：由題意可知：球A僅與平面、平面、平面和平面相交，分別分析球A與各面交線的形狀，運(yùn)算求解即可.【詳解】空1：由題意可得：，因?yàn)槠矫?，平面，可得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d,因?yàn)?，則，解得，即點(diǎn)到平面的距離為；空2：由題意可知：球A僅與平面、平面、平面和平面相交，因?yàn)?，此時(shí)球A與平面的交線為半徑為2的圓的，則交線的長(zhǎng)度為；設(shè)球A與棱的交點(diǎn)為，即，可得，則，且為銳角，則，即，所以球A與平面的交線為半徑為2的圓的，則交線的長(zhǎng)度為；同理可得：球A與平面的交線的長(zhǎng)度；可知，所以球A與平面的交線為半徑為的圓的，則交線的長(zhǎng)度為；所以球面與該棱柱表面的交線的總長(zhǎng)度為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問(wèn)題的求解方法（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解．（2）利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．五、解答題17．已知向量，.(1)若∥，求；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由∥，可得，則可求出，再利用正切的二倍角公式可求得結(jié)果；（2）對(duì)兩邊平方化簡(jiǎn)可得，則得，求出，對(duì)利用二倍角公式化簡(jiǎn)即可得答案.【詳解】（1）因?yàn)椤?，向量，所以，?dāng)時(shí)，不成立，則，從而，所以（2）因?yàn)?，所以，即，故，因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，不成立，則，故，所以.18．如圖，四棱錐的底面為梯形，，，底面，平面平面，點(diǎn)在棱上，且.

(1)證明：平面；(2)證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)作交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的判定定理證明即可.（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理，面面垂直的性質(zhì)定理證明即可.【詳解】（1）在平面中，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所?又，所以.又，所以，所以四邊形為平行四邊形.所以，又平面，平面，所以平面.

（2）因?yàn)榈酌妫矫?，所?在平面中，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面平面，所以平面，又平面，所?又平面，平面，，所以平面.又平面，所以.19．近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛(ài)，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行營(yíng)銷形式.某直播平臺(tái)有800個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖①所示.為了更好地服務(wù)買賣雙方，該直播平臺(tái)打算用分層抽樣的方式抽取60個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢交流.

(1)應(yīng)抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？(2)在問(wèn)詢了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的60個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率直方圖如圖②所示.（i）估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)（求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)的數(shù)值為代表）；（ii）若將平均日利潤(rùn)超過(guò)470元的商家稱為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)質(zhì)商家”的個(gè)數(shù).【答案】(1)小吃類21家，生鮮類9家.(2)（i）中位數(shù)為元，平均數(shù)為440元；（ii）256.【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的定義計(jì)算即可；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計(jì)算即可；（ii）根據(jù)樣本中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)來(lái)估計(jì)總體中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)即可.【詳解】（1）根據(jù)分層抽樣知：應(yīng)抽取小吃類家，生鮮類家，所以應(yīng)抽取小吃類21家，生鮮類9家.（2）（i）根據(jù)題意可得，解得，設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)?，，所以，解得，所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)為元.平均數(shù)為,所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的平均數(shù)為440元.（ii），所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為256.20．每年的月日為國(guó)際數(shù)學(xué)日，為慶祝該節(jié)日，某中學(xué)舉辦了數(shù)學(xué)文化節(jié)，其中一項(xiàng)活動(dòng)是“數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽”，競(jìng)賽共分為兩輪，每位參賽學(xué)生均須參加兩輪比賽，若其在兩輪競(jìng)賽中均勝出，則視為優(yōu)秀，已知在第一輪競(jìng)賽中，學(xué)生甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪競(jìng)賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每輪競(jìng)賽中是否勝出互不影響.(1)若，求甲恰好勝出一輪的概率；(2)若甲、乙各勝出一輪的概率為，甲、乙都獲得優(yōu)秀的概率為會(huì).（i）求，，的值；（ii）求甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率.【答案】(1)(2)（i），；（ii）【分析】（1）利用互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式求解即可.（2）（i）利用對(duì)立事件和獨(dú)立事件的概率公式表示出和，即可求解；（ii）利用對(duì)立事件和獨(dú)立事件的概率公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)“甲在第一輪競(jìng)賽中勝出”為事件，“甲在第二輪競(jìng)賽中勝出”為事件，“乙在第一輪競(jìng)賽中勝出”為事件，“乙在第二輪競(jìng)賽中勝出”為事件，則，，，相互獨(dú)立，且，，，.設(shè)“甲恰好勝出一輪”為事件，則，，互斥.當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)，甲恰好勝出一輪的概率為.（2）由（1）知，（i）記事件為“甲、乙各勝出一輪”，事件為“甲、乙都獲得優(yōu)秀”，所以，.因?yàn)榧住⒁覂扇嗽诿枯喐?jìng)賽中是否勝出互不影響，所以，，則，解得或（舍去）.綜上，，.（ii）設(shè)事件為“甲獲得優(yōu)秀”，事件為“乙獲得優(yōu)秀”，于是“兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀”，且，，所以，，所以.故甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率為.21．在①，②，③的面積這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知______.(1)求角；(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）選①：由余弦定理結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)可得出，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；選②：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選③：由三角形的面積公式、切化弦以及三角恒等變換化簡(jiǎn)可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得