第一章-集合與常用邏輯用語

這是一個(gè)刷題的時(shí)代，老師刷題，以為從此天下無題不解；學(xué)生刷題，以為是提高解題能力的速成寶典。于是刷題風(fēng)起，把刷題當(dāng)作學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的魔方，把題海捧為成就學(xué)霸的金丹！大海茫?？繜羲?，題海茫茫憑典例，著名高考命題專家葛軍說過：“一道題做‘透’了，要遠(yuǎn)勝過做一百道題”。刷百題不如解透一題，多做題固然必不可少，但多反思更難能可貴。所以在平時(shí)的做題訓(xùn)練中，我們要多注重以下幾方面的總結(jié)領(lǐng)悟：1．審題上——審清題意，挖掘隱含要求全面、深刻、準(zhǔn)確地理解題意，分清條件和結(jié)論，深挖隱含在題中的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，找出關(guān)鍵字句，從中選擇解題的突破口?！翱吹迷酵笍?，解法越快捷！”要注意捕捉“題眼”，若能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，抓住問題的關(guān)鍵，則可望速戰(zhàn)速?zèng)Q。2．破題上——探求解法，注意化歸解題的本質(zhì)就是通過命題轉(zhuǎn)換，設(shè)法消除條件與結(jié)論之間的差異，化條件為結(jié)論，或設(shè)法由已知條件求未知結(jié)論。這里“命題轉(zhuǎn)換”就是轉(zhuǎn)化化歸，即瞄準(zhǔn)解題的目標(biāo)，展開大跨度、粗線條的聯(lián)想、類比、歸納、轉(zhuǎn)化與合情推理，力爭(zhēng)迅速敏銳地抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并且靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基本思想方法，最終找出條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，擬出合理的解題計(jì)劃。3．總結(jié)上——追根溯源，歸類建檔每做完一道題，要通過反思，領(lǐng)悟題目精髓，提煉解題技巧，獲得解題方法。做到精學(xué)一題、妙解一類，追根溯源、登高望遠(yuǎn)，歸類建檔、內(nèi)化于心。茫茫題海，尋根悟法方是岸。第一講解題的先決條件——信息獲取我們常把數(shù)學(xué)習(xí)題的結(jié)構(gòu)分為條件(已知部分)和結(jié)論(未知部分)．如果針對(duì)問題的組成結(jié)構(gòu)而言，這種認(rèn)識(shí)是無可挑剔的．但是，數(shù)學(xué)習(xí)題的解決是習(xí)題與人的思維活動(dòng)相互作用的結(jié)果，人在認(rèn)識(shí)和解決一道數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，是關(guān)注習(xí)題的條件還是結(jié)論呢？事實(shí)上，同一道習(xí)題可以用多種形式表達(dá)，習(xí)題的條件和結(jié)論的表述不盡相同，弄清習(xí)題的條件和結(jié)論，只是對(duì)習(xí)題最初步、最基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)，真正與習(xí)題解答直接相關(guān)的是習(xí)題蘊(yùn)藏的信息，它才是激發(fā)解題思維之源、產(chǎn)生解題方案之源．下面結(jié)合實(shí)例，教你如何正確關(guān)注題目的條件和結(jié)論，準(zhǔn)確獲取解題信息，從而正確迅速解題．一、習(xí)題條件蘊(yùn)藏的信息對(duì)解答習(xí)題存在重要作用習(xí)題的條件部分，既是結(jié)論成立的條件，也是習(xí)題解答的條件．如何直接利用條件或最大限度地挖掘條件隱藏的信息對(duì)問題的解決非常重要．無論是幾何問題還是代數(shù)問題，不僅要發(fā)現(xiàn)條件直接呈現(xiàn)的信息，還需要發(fā)現(xiàn)與條件相關(guān)的潛在信息，一個(gè)優(yōu)秀的解題高手必須具備這一素質(zhì)．[例1]如圖，體積為V的大球內(nèi)有4個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn)．V1為小球相交部分(圖中格子部分)的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中陰影部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是()A．V1＝eq\f(V,2) B．V2＝eq\f(V,2)C．V1>V2 D．V1＜V2[解析]這個(gè)習(xí)題直接呈現(xiàn)的信息就是圖形，我們從圖形中可以挖掘出以下3項(xiàng)潛在信息：①大球半徑是小球半徑的2倍；②4個(gè)小球中每個(gè)小球與相鄰的兩個(gè)小球相交；③V1為小球相交部分(圖中格子部分)的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中陰影部分的體積．從結(jié)論中我們只能得到信息：比較V，V1，V2的大?。梢钥闯觯簣D形中隱藏的3條信息直接關(guān)系到問題的解答，如果給定大球的半徑，甚至可以求出V，V1，V2的大?。牵Y(jié)論信息不要求算出V，V1，V2的大小，只要求尋找三者的大小關(guān)系．為了便于表述，我們可以假設(shè)小球的半徑為r(也可以假設(shè)小球的半徑為單位1)．于是有V＝eq\f(4,3)π(2r)3＝eq\f(32,3)πr3，V小球＝eq\f(4,3)πr3.因?yàn)閂2＝V－4V小球＋V1.所以V2－V1＝V－4V小球＝eq\f(16,3)πr3>0，可知C錯(cuò)誤，D正確．所以V＝V2－V1＋4V小球>4V小球>2V1，可知A錯(cuò)誤．所以V2＝V－4V小球＋V1>V－4V小球＝eq\f(16,3)πr3＝eq\f(V,2)，可知B錯(cuò)誤．[答案]D[反思領(lǐng)悟]從此題的解答來看，圖形中不僅反映了大、小球之間的位置關(guān)系，也隱藏著V，V1，V2，V小球四者的大小關(guān)系，即V2＝V－4V小球＋V1，而且題設(shè)條件中隱藏的這條信息對(duì)習(xí)題的解答具有重要作用．于是我們可以得到一點(diǎn)解題經(jīng)驗(yàn)：對(duì)于含有圖形、表格的習(xí)題，仔細(xì)挖掘圖形中隱藏的信息，如點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，角之間的大小關(guān)系，線段之間的長(zhǎng)度關(guān)系，表格中數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和大小關(guān)系，是尋找解題思路的有效途徑．二、習(xí)題結(jié)論隱藏的信息對(duì)習(xí)題解答產(chǎn)生的作用不可忽視在解題過程中，通常重視問題的條件信息，忽視問題的結(jié)論信息，認(rèn)為條件才是問題解決的基礎(chǔ)材料，結(jié)論是問題解決所追求的終極目標(biāo)．其實(shí)，這是一種片面的認(rèn)識(shí)，結(jié)論所隱藏的信息又何嘗不是問題解決的基礎(chǔ)，也存在著重要作用．要善于從結(jié)論中捕捉解題信息，善于對(duì)結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之逐步靠近條件，從而發(fā)現(xiàn)和確定解題方向．[例2]若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求證：eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5)≤4eq\r(3).[證明]這個(gè)習(xí)題呈現(xiàn)的信息有3項(xiàng)：①a，b，c∈(0，＋∞)；②a＋b＋c＝1；③eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5)≤4eq\r(3).可以看出：條件信息①②只是說明a，b，c的范圍及關(guān)系，沒有體現(xiàn)與結(jié)論“eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5)≤4eq\r(3)”的聯(lián)系，對(duì)解題思路缺乏直接指導(dǎo)作用，相反，結(jié)論信息“eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5)≤4eq\r(3)，左邊為三個(gè)根式的和，右邊為常數(shù)”，這為尋找解題方案做出了暗示．我們只要回想自己的解題經(jīng)驗(yàn)，就可以想到“去掉根號(hào)化為整式，有利于進(jìn)一步化簡(jiǎn)和推理”，這究竟能否成功解決問題呢？這只是問題解決的假設(shè)方案．如何才能去掉根號(hào)呢？想到利用“基本不等式”可以實(shí)現(xiàn)這一條解題方案，但是，我們馬上發(fā)現(xiàn)，直接利用基本不等式并不能解決該問題，難道是我們的方案不對(duì)？仔細(xì)分析分析“基本不等式”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)“eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)”以及利用基本不等式求最值的條件“一正、二定、三相等”，想到要使該不等式成立，應(yīng)有“a＝b＝c＝eq\f(1,3)”，從而應(yīng)有a＋5＝b＋5＝c＋5＝eq\f(16,3)成立．故應(yīng)拼湊eq\r(\f(16,3))，巧妙升次，促成“等”與“不等”的轉(zhuǎn)化，于是就有了如下解決方案：因?yàn)?eq\r(\f(16,3))eq\r(a＋5)≤eq\f(16,3)＋(a＋5)，2eq\r(\f(16,3))eq\r(b＋5)≤eq\f(16,3)＋(b＋5)，2eq\r(\f(16,3))eq\r(c＋5)≤eq\f(16,3)＋(c＋5)，所以2eq\r(\f(16,3))(eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5))≤16＋(a＋5)＋(b＋5)＋(c＋5)＝31＋(a＋b＋c)＝32.所以eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5)≤4eq\r(3).[反思領(lǐng)悟]從該題的解答過程來看，條件信息只能保證根式有意義和代數(shù)式eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5)＝4eq\r(3)成立而已，對(duì)探求解題思路的作用不大；而結(jié)論信息為解題提供了明確的暗示——去根號(hào)．就提供解題策略而言，條件作用小，結(jié)論作用大，于是我們可以得到一點(diǎn)解題經(jīng)驗(yàn)：對(duì)于題設(shè)簡(jiǎn)單、結(jié)論復(fù)雜的數(shù)學(xué)習(xí)題，挖掘問題結(jié)論所隱藏的信息，是尋找解題思路的一條途徑．三、習(xí)題結(jié)論是“終極目標(biāo)”不一定是“關(guān)鍵目標(biāo)”[例1]的結(jié)論是判斷正誤，沒有明確指出比較V，V1，V2中哪兩個(gè)的大小關(guān)系．問題的結(jié)論只是一組信息，也是我們解題時(shí)所追求的終極目標(biāo)；但是，有時(shí)也許是一組模糊的信息，并不一定是解題過程中追求的關(guān)鍵目標(biāo)．關(guān)鍵目標(biāo)有可能是問題結(jié)論的反面，或者是一個(gè)矛盾，或者是與結(jié)論相關(guān)的、等價(jià)的另一問題……，解答[例1]的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)V，V1，V2，V小球四者的大小關(guān)系，即V2＝V－4V小球＋V1.解題時(shí)只有對(duì)習(xí)題的所有信息進(jìn)行綜合加工處理，關(guān)鍵目標(biāo)才能浮現(xiàn)出來．[例3]設(shè)函數(shù)f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)>1.[解](1)f′(x)＝aexeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))＋eq\f(bex－1x－1,x2)(x>0)，由于直線y＝e(x－1)＋2的斜率為e，圖象過點(diǎn)(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝2，,f′1＝e，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,ae＝e，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))(2)證明：由(1)知f(x)＝exlnx＋eq\f(2ex－1,x)(x>0)，從而f(x)>1等價(jià)于xlnx>xe－x－eq\f(2,e).構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xlnx，則g′(x)＝1＋lnx，所以當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))時(shí)，g′(x)＜0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))時(shí)，g′(x)>0，故g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，＋∞)上的最小值為geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－eq\f(1,e).構(gòu)造函數(shù)h(x)＝xe－x－eq\f(2,e)，則h′(x)＝e－x(1－x)．所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)＜0；故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，＋∞)上的最大值為h(1)＝－eq\f(1,e).綜上，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>h(x)，即f(x)>1.[反思領(lǐng)悟]本題的終極目標(biāo)是證明f(x)>1成立．若按照常規(guī)思路，直接構(gòu)造函數(shù)h(x)＝exlnx＋eq\f(2ex－1,x)－1，求導(dǎo)后不易分析，因此不宜對(duì)其整體進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，而是將不等式“exlnx＋eq\f(2ex－1,x)>1”合理拆分為“xlnx>xe－x－eq\f(2,e)”，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xlnx，h(x)＝xe－x－eq\f(2,e)，此時(shí)，問題解決的關(guān)鍵目標(biāo)是證明g(x)>h(x)成立．從上述論述來看，問題解決最重要的環(huán)節(jié)是解題思路的探求，在解題思路的探求過程中，題設(shè)條件并非解題的唯一條件，結(jié)論也不是一成不變的結(jié)論．將問題的條件信息和結(jié)論信息聯(lián)系起來整體地思考和探究，結(jié)合大腦中儲(chǔ)備的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行綜合加工，才有利于發(fā)現(xiàn)問題解決的關(guān)鍵目標(biāo)，探求到合理而有效的解題方案．四、習(xí)題信息的轉(zhuǎn)化是實(shí)現(xiàn)信息“化暗為明”的必備能力數(shù)學(xué)習(xí)題呈現(xiàn)的信息具有多樣性．有圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系信息，也有代數(shù)問題中的數(shù)量大小關(guān)系信息、代數(shù)式的特征信息，還有圖、表中的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系信息．為了深入理解習(xí)題的信息，常根據(jù)其表現(xiàn)形式分為以下三類：1．形象信息數(shù)學(xué)問題中以圖形、表格等直觀形象的形式表達(dá)出來的信息，稱為形象信息，如幾何圖形、函數(shù)圖象、坐標(biāo)系、分布列、頻率分布直方圖、莖葉圖等，呈現(xiàn)給我們的是直觀形象的材料．2．符號(hào)信息符號(hào)信息是用字母、數(shù)字、數(shù)學(xué)式子等形式表達(dá)的信息，呈現(xiàn)給我們的是抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，通常稱為數(shù)的信息．3．語言信息語言信息就是用有意義的語言來表達(dá)的信息，也就是用漢語、數(shù)學(xué)語言來表達(dá)的數(shù)量關(guān)系、概念和數(shù)學(xué)習(xí)題中的解釋、說明等信息．這三類信息既有區(qū)別又有聯(lián)系．雖然在表達(dá)形式上不同，但在解題過程中是可以互相轉(zhuǎn)化的．只有熟練地轉(zhuǎn)化解題信息，才能化隱性信息為顯性信息、化新情景問題為已學(xué)知識(shí)．熟練地轉(zhuǎn)化各類信息的表述形式與成功解答習(xí)題存在正相關(guān)，一個(gè)優(yōu)秀的解題高手，必須是一個(gè)信息處理和信息轉(zhuǎn)化方面的能手．[例4]函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n(n≥2)個(gè)不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)，則n的取值范圍是()A．{3,4} B．{2,3,4}C．{3,4,5} D．{2,3}[解析]令Pn(xn，f(xn))，eq\f(fxn,xn)＝eq\f(fxn－0,xn－0)＝kOPn，由eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)?kOP1＝kOP2＝…＝kOPn，即過點(diǎn)O的射線與函數(shù)圖象有n個(gè)不同的交點(diǎn)．于是過點(diǎn)O作射線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)可能有2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)，所以選B.[答案]B[反思領(lǐng)悟]此題的解答過程中，先將符號(hào)信息(數(shù)的信息)eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)轉(zhuǎn)化為另一形式的數(shù)的信息kOP1＝kOP2＝…＝kOPn，再將數(shù)的信息kOP1＝kOP2＝…＝kOPn轉(zhuǎn)化為語言信息“OP1，OP2，…，OPn的斜率相等”，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為語言信息“過點(diǎn)O的射線與函數(shù)圖象有n個(gè)不同的交點(diǎn)”．顯然，此題的解答過程就是一系列的信息轉(zhuǎn)化過程．[例5]已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．5eq\r(2)－4 B.eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D.eq\r(17)[解析]首先將圓C1，C2和|PM|＋|PN|符號(hào)信息轉(zhuǎn)化為形象信息，如圖(1)所示，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為語言信息“求線段和|PM|＋|PN|的最小值”，將圓C1關(guān)于x軸對(duì)稱得到圓C3，得到形象信息圖(2)，將問題轉(zhuǎn)化為“求圖(2)中|PM|＋|PN|的最小值”．于是|PM|＋|PN|≥|C2C3|－(R1＋R2)＝5eq\r(2)－4.[答案]A[反思領(lǐng)悟]在解答平面幾何和解析幾何問題時(shí)，我們常常根據(jù)題意作出草圖，這就是把語言信息或符號(hào)信息轉(zhuǎn)化為形象信息．又如，用解析法解答平面幾何問題時(shí)，又把形象信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)信息和語言信息．總之，三類信息是密切相關(guān)的，解題者常常根據(jù)自己的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思維習(xí)慣將三類信息相互轉(zhuǎn)化．第二講解題的指導(dǎo)思想——化歸尋舊在數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過程中，除了第一講中對(duì)信息加工的實(shí)踐操作活動(dòng)外，更重要的是大腦加工信息的思維活動(dòng)，它的規(guī)律就是化歸尋舊思想．“尋”即“尋找”“聯(lián)系”之意；“舊”指現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)．也就是說信息加工的思維活動(dòng)規(guī)律就是尋找問題的信息與現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，為加工信息的實(shí)踐操作活動(dòng)指明方向，即為化歸活動(dòng)確定方向．常見的化歸尋舊方法有以下幾種：一、求同求異，尋舊之規(guī)律(一)求同尋舊求同尋舊就是習(xí)題解答過程中人的思維活動(dòng)總是表現(xiàn)為尋找習(xí)題信息與已知的某項(xiàng)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的共性．特別是尋找問題信息與已知的某個(gè)公式、某個(gè)定理或某個(gè)曾經(jīng)解決過的問題等在表達(dá)形式上或內(nèi)容上的共同點(diǎn)．解題者在感知問題的信息時(shí)，眼睛如照相機(jī)一樣將習(xí)題所呈現(xiàn)的信息符號(hào)拍攝下來，這些符號(hào)通過視覺神經(jīng)傳輸?shù)酱竽X，大腦對(duì)信息符號(hào)進(jìn)行識(shí)別、分類，然后尋找信息符號(hào)在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，聯(lián)絡(luò)點(diǎn)一經(jīng)找到，就說明習(xí)題信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某項(xiàng)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)存在一定的聯(lián)系．[例1]已知eq\f(sinθ,a2－1)＝eq\f(cosθ,2asin2φ)＝eq\f(1,1＋2acos2φ＋a2)，求證：sinθ＝eq\f(a2－1,a2＋1).[求同尋舊]由于條件和結(jié)論都是三角等式，而結(jié)論信息是不含角2φ的三角等式，根據(jù)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)“條件中含有2φ的三角函數(shù)，而結(jié)論是不含2φ的三角函數(shù)，說明應(yīng)當(dāng)對(duì)條件信息進(jìn)行加工處理，消去2φ”．為了消去2φ的三角函數(shù)，聯(lián)系到熟悉結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)sin22φ＋cos22φ＝1，就會(huì)產(chǎn)生“先解出sin2φ，cos2φ，然后平方消去參數(shù)2φ”這一化歸方案．[證明]因?yàn)閑q\f(sinθ,a2－1)＝eq\f(cosθ,2asin2φ)，所以2asin2φ＝eq\f(a2－1cosθ,sinθ).①因?yàn)閑q\f(sinθ,a2－1)＝eq\f(1,1＋2acos2φ＋a2)，所以2acos2φ＝eq\f(a2－1,sinθ)－(1＋a2)．②由①2＋②2再化簡(jiǎn)得2(a2＋1)(a2－1)sinθ＝2(a2－1)2.因?yàn)閍2－1≠0，所以sinθ＝eq\f(a2－1,a2＋1).[反思?xì)w納]此題通過求同尋舊提出了消去角2φ的解題思路，顯然，解題的假設(shè)方案和化歸方案都是尋舊思想對(duì)大腦作用的產(chǎn)物．(二)求異尋舊求異尋舊就是習(xí)題解答過程中人的思維活動(dòng)總是表現(xiàn)為尋找問題信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某項(xiàng)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的特征差異，以便化異為同，促使習(xí)題信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“網(wǎng)點(diǎn)”順利“鏈接”．求同尋舊與求異尋舊在解題過程中總是結(jié)伴而行．一般來說，兩個(gè)事物總是存在著區(qū)別和聯(lián)系，相同之外有不同，不同之中有相同，沒有完全相同和完全不同的兩件事物．尋舊就是尋找習(xí)題信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系和區(qū)別，特別要善于在不同之中找到一點(diǎn)共性，在相似之間發(fā)現(xiàn)其中的差異．求同尋舊旨在尋找聯(lián)系，從而為處理信息或問題解決提出假設(shè)方案；求異尋舊旨在發(fā)現(xiàn)差異，從而為信息加工指明方向，所以求同求異是不可分的．[例2]如果方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝k，,log3x2＋log3y2＝2))只有一組解，則實(shí)數(shù)k的值為________．[求同尋舊]由于我們認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有這樣一項(xiàng)經(jīng)驗(yàn)——一元二次方程根的存在及判定，而這個(gè)問題不是一元二次方程，它是求方程組的一組解．二者存在的共性都是與求解相關(guān)的問題．[求異尋舊]認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)是“一元二次方程”，而此問題是“二元二次對(duì)數(shù)方程組”，二者在元的個(gè)數(shù)和方程的個(gè)數(shù)上存在著差異，這就要求我們對(duì)原方程組進(jìn)行“消元”處理，化異為同，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝k，,log3x2＋log3y2＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x＋log3y＝log3k，,log3x2＋log3y2＝2))?2(log3x)2－2log3klog3x＋(log3k)2－2＝0.①[求異尋舊]認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中的熟悉結(jié)構(gòu)是“一元二次方程”，而方程①是“對(duì)數(shù)方程”，二者在方程形式上存在著差異，這就要求我們對(duì)方程①進(jìn)行“換元”處理，化異為同．[解析]因?yàn)閘og3x∈R，設(shè)log3x＝t(t∈R)，方程①化為2t2－2tlog3k＋(log3k)2－2＝0.②要使原方程組只有一組解，只需方程②只有一個(gè)根即可．所以Δ＝4(log3k)2－8(log3k)2＋16＝0?k＝9或k＝eq\f(1,9).[答案]9或eq\f(1,9)[反思領(lǐng)悟]此題通過求異尋舊找到了“二元二次對(duì)數(shù)方程組只有一組解”與“一元二次方程只有一個(gè)根”的差異，提出了“消元”的解題思路，得到了①.又通過求異尋舊找到了“對(duì)數(shù)方程”與“一元二次方程”的差異，提出了“換元”的解題思路，得到了熟悉的方程②.顯然，解題的假設(shè)方案和化歸方案都是尋舊思想對(duì)大腦作用的產(chǎn)物．二、上游下游，尋舊之方向?qū)τ趦身?xiàng)信息A，B，如果A是B的充分條件，我們稱A是B的上游信息，B是A的下游信息．我們稱從上游信息向下游信息聯(lián)想的思維活動(dòng)為順推尋舊，從下游信息向上游信息聯(lián)想的思維活動(dòng)為逆推尋舊．(一)下游順推信息法就是針對(duì)一項(xiàng)信息A，沿著熟悉結(jié)構(gòu)中的某條線進(jìn)行順推，順推得到的新信息是上一步信息的必要條件(或充要條件)，我們稱這種尋舊為下游順推信息法，如圖所示．eq\x(信息A)→eq\x(信息A1)→eq\x(信息A2)→eq\x(信息A3)[例3]已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x，若存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x＋t)≤x－1對(duì)任意的x∈[1，m](m>1)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]這個(gè)習(xí)題呈現(xiàn)的信息有2項(xiàng)：①存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x＋t)≤x－1對(duì)任意的x∈[1，m](m>1)恒成立；②求實(shí)數(shù)m的取值范圍．此題信息②很清晰，而信息①雖然是一個(gè)不等式恒成立問題，但不等式的結(jié)構(gòu)是隱性的，不直觀、不清晰，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(yàn)(即尋舊)，首先對(duì)信息①進(jìn)行加工處理，使信息①清晰，這樣便于尋找與熟悉結(jié)構(gòu)的聯(lián)系．將信息①進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為①1：“存在實(shí)數(shù)t，使不等式(x＋t＋1)2≤x對(duì)任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①的充要條件；將信息①1進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為①2：“存在實(shí)數(shù)t，使不等式|x＋t＋1|≤eq\r(x)對(duì)任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①1的充要條件；將信息①2進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為①3：“存在實(shí)數(shù)t，使不等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(x)＋1≤－t，,x＋\r(x)＋1≥－t))對(duì)任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①2的充要條件；將信息①3進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為①4：“存在實(shí)數(shù)t，使不等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－\r(m)＋1≤－t，,1＋\r(1)＋1≥－t))成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①3的充要條件；將信息①4進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為①5：“不等式m－eq\r(m)＋1≤3”，即轉(zhuǎn)化為信息①4的必要條件；將信息①5進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為①6：“1＜m≤4”，即轉(zhuǎn)化為信息①5由此可見，此題的解答過程就是信息①的下游順推轉(zhuǎn)化過程，一次次將信息①向下游轉(zhuǎn)化為它的充要條件，建立一條從信息①到信息②的解題通道．[例4]已知a>0，b>0，a＋eq\r(b2＋8)＝4，求eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)的最小值．[解]這個(gè)習(xí)題呈現(xiàn)的信息有3項(xiàng)：①a>0，b>0；②a，b之間的關(guān)系式為a＋eq\r(b2＋8)＝4；③求eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)的最小值．此題兩個(gè)變量之間存在聯(lián)系，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(yàn)(即尋舊)，一個(gè)自變量的問題是函數(shù)問題，求函數(shù)最小值有導(dǎo)數(shù)這個(gè)通法．此題如果能消去一個(gè)自變量，就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問題．于是可以采取以下兩種消元處理信息的方法．轉(zhuǎn)化為信息②的充要條件；將信息③轉(zhuǎn)化為求eq\f(3,4－\r(b2＋8))＋eq\f(1,b)的最小值，這也是下游順推信息法，即轉(zhuǎn)化為信息③的充要條件；此時(shí)，問題結(jié)論信息轉(zhuǎn)化為“已知0＜b＜2eq\r(2)，求F(b)＝eq\f(3,4－\r(b2＋8))＋eq\f(1,b)的最小值”，這也是下游順推信息法，即轉(zhuǎn)化為結(jié)論信息的充要條件．由題意知a＝4－eq\r(b2＋8)(0＜b＜2eq\r(2))，令F(b)＝eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(3,4－\r(b2＋8))＋eq\f(1,b).因?yàn)镕′(b)＝eq\f(3b,\r(b2＋8)4－\r(b2＋8)2)－eq\f(1,b2)＝eq\f(1,b\r(b2＋8)4－\r(b2＋8)2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3b2－4－\r(b2＋8)2\r(1＋\f(8,b2)))).顯然，f(b)＝4－eq\r(b2＋8)和g(b)＝eq\r(1＋\f(8,b2))在(0,2eq\r(2))上單調(diào)遞減且恒正．所以u(píng)(b)＝3b2－(4－eq\r(b2＋8))2eq\r(1＋\f(8,b2))在(0,2eq\r(2))上單調(diào)遞增．列表如下：b(0,1)1(1,2eq\r(2))u(b)－0＋F′(b)－0＋所以F(b)min＝F(1)＝4，即eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)的最小值為4.(二)上游逆推信息法就是針對(duì)一項(xiàng)信息A，沿著熟悉結(jié)構(gòu)的某條線進(jìn)行逆推，即要得到信息A，只需要信息B.逆推得到的新信息都是上一步信息的充分條件(或充要條件)，我們稱這種尋舊為上游逆推信息法，如圖所示．eq\x(信息A3)→eq\x(信息A2)→eq\x(信息A1)→eq\x(信息A)[例5]已知an＝2n－1，求證：eq\f(a1,a2)＋eq\f(a2,a3)＋…＋eq\f(an,an＋1)>eq\f(n,2)－eq\f(1,3).[證明]這個(gè)習(xí)題呈現(xiàn)的信息有2項(xiàng)：①an＝2n－1；②求證eq\f(a1,a2)＋eq\f(a2,a3)＋…＋eq\f(an,an＋1)>eq\f(n,2)－eq\f(1,3).信息②是一個(gè)不等式，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(yàn)(即尋舊)，由于兩邊都是關(guān)于n的代數(shù)式，兩邊都是遞增的，容易想到放縮法．于是可以采取以下信息處理法．由eq\f(an,an＋1)＝eq\f(2n－1,2n＋1－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2n＋2－2)，將信息②進(jìn)行下游順推轉(zhuǎn)化為信息②1：求證eq\i\su(k＝1,n,)eq\f(1,2k＋2－2)＜eq\f(1,3)，即轉(zhuǎn)化為信息②的充要條件；聯(lián)想一個(gè)公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，即eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))＜eq\f(1,3)，將信息②1進(jìn)行上游逆推轉(zhuǎn)化為②2：求證eq\i\su(k＝1,n,)eq\f(1,2k＋2－2)≤eq\i\su(k＝1,n,)eq\f(1,3·2k)，即轉(zhuǎn)化為信息②1的充分條件；將信息②2進(jìn)行上游逆推轉(zhuǎn)化為②3：求證eq\f(1,2n＋2－2)≤eq\f(1,3·2n)，即轉(zhuǎn)化為信息②2的充分條件；將信息②3向下順推轉(zhuǎn)化為②4：求證2n≥2(顯然成立)，即轉(zhuǎn)化為信息②3的充要條件．[反思領(lǐng)悟]顯然，此題的解答過程就是對(duì)信息②進(jìn)行下游順推信息和上游逆推信息相結(jié)合的過程，特別是將信息②1向上逆推轉(zhuǎn)化為②2是解答此題的關(guān)鍵，這就是常說的“加強(qiáng)命題證明不等式”．?dāng)?shù)學(xué)習(xí)題解答過程的思維規(guī)律是尋舊，究竟如何尋舊？就是尋找問題信息和熟悉結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系．就是將問題的某項(xiàng)信息進(jìn)行下游順推或上游逆推，以此尋找新信息．顯然，下游順推信息法和上游逆推信息法既是尋舊思維活動(dòng)的兩種方向，也是數(shù)學(xué)習(xí)題解答的基本方法．值得一提的是：對(duì)問題的某些信息進(jìn)行尋舊時(shí)，不是一次或幾次進(jìn)行下游順推信息或上游逆推信息，可能是下游順推信息和上游逆推信息多次交互結(jié)合進(jìn)行．一次次得到的新信息可能就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)中某一條線上的知識(shí)點(diǎn)，特別是難度較大的數(shù)學(xué)習(xí)題，也可能是多條線上的公共知識(shí)點(diǎn)．第三講解題的化歸目標(biāo)——形變題變上一講提到解題的指導(dǎo)思想是“化歸尋舊”，但怎樣對(duì)題目進(jìn)行化歸，化歸到什么形式？這就是本講所要解決的兩個(gè)重點(diǎn)問題——形變化歸與題變化歸．一、形變化歸在數(shù)學(xué)問題的解答過程中，把問題的某一項(xiàng)信息或一組信息進(jìn)行形式上的加工處理，使這項(xiàng)信息或這組信息與我們認(rèn)知結(jié)構(gòu)中(尤其是熟悉結(jié)構(gòu))的某項(xiàng)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)在形式上相近或相同，讓問題由陌生變得熟悉，便于解題者思考和聯(lián)想，為解題者擬訂解題計(jì)劃奠基鋪路．這種處理信息的操作規(guī)律我們稱為形變化歸．如恒等變形、因式分解、配方、裂項(xiàng)、添項(xiàng)、換元、分類、移圖、補(bǔ)形、數(shù)學(xué)語言化等解題方法都是形變化歸在解題實(shí)踐中的具體體現(xiàn)．從根本上說，這些解題手段沒有改變問題信息的實(shí)質(zhì)和內(nèi)容，只是使信息的表述形式發(fā)生了變化．[例1]在數(shù)列{an}中，已知a2＝15，an＋1＝2an＋3n(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[解]當(dāng)n＝1時(shí)，由已知，得a2＝2a1＋3，即15＝2a1＋3，解得a由an＋1＝2an＋3n，①兩邊同時(shí)除以3n＋1，得eq\f(an＋1,3n＋1)＝2×eq\f(an,3n＋1)＋eq\f(1,3)，即eq\f(an＋1,3n＋1)＝eq\f(2,3)×eq\f(an,3n)＋eq\f(1,3).②設(shè)bn＝eq\f(an,3n)，則②式變?yōu)閎n＋1＝eq\f(2,3)bn＋eq\f(1,3).③設(shè)bn＋1＋m＝eq\f(2,3)(bn＋m)，即bn＋1＝eq\f(2,3)bn－eq\f(m,3)，令－eq\f(m,3)＝eq\f(1,3)，解得m＝－1.則bn＋1－1＝eq\f(2,3)(bn－1)，④所以數(shù)列{bn－1}是一個(gè)首項(xiàng)為b1－1＝eq\f(a1,3)－1＝eq\f(6,3)－1＝1，公比為q＝eq\f(2,3)的等比數(shù)列，故bn－1＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，即bn＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1.由bn＝eq\f(an,3n)，得an＝3nbn＝3neq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1))＝3n＋3·2n－1(n∈N*)．⑤[反思領(lǐng)悟]此題解答中從①到②等式兩邊同除以3n＋1，從②到③是換元；從③到④是待定系數(shù)法；從④到⑤又是換元，這些恒等變形手段沒有改變問題信息的實(shí)質(zhì)，只是改變了信息的表述形式，但是，這種變形化歸手段使信息清晰化、簡(jiǎn)單化，將一個(gè)復(fù)雜的遞推數(shù)列{an}轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的等比數(shù)列{bn－1}．[例2]已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求證：eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)≥36.①[證明]eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)＋\f(9,z)))(x＋y＋z)＝14＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(4x,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z,x)＋\f(9x,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4z,y)＋\f(9y,z)))②≥14＋4＋6＋12＝36.[反思領(lǐng)悟]此題是一個(gè)條件極值問題，信息①：x，y，z∈R＋；信息②：x＋y＋z＝1；信息③：關(guān)于x，y，z的不等關(guān)系eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)≥36.通過添項(xiàng)和并項(xiàng)手段將式①變?yōu)槭舰?，問題在表述形式上發(fā)生了變化，雖然仍是一個(gè)條件極值問題，但解題思路已豁然開朗，這就是形變化歸的效果．二、題變化歸在數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過程中，把數(shù)學(xué)問題的某一項(xiàng)信息或一組信息進(jìn)行加工處理，使問題信息的形式得以更新，信息的內(nèi)涵得到挖掘和拓展，使這項(xiàng)信息或這組信息與我們熟知的某項(xiàng)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)在內(nèi)容上相近或相同，讓問題由陌生變得熟悉，便于解題者思考和聯(lián)想，為解題者擬訂解題計(jì)劃奠基鋪路．這種加工處理信息的操作規(guī)律我們稱為題變化歸，如構(gòu)造法、待定系數(shù)法、三角變換法、數(shù)形結(jié)合法、命題等價(jià)轉(zhuǎn)化等都是題變化歸．從本質(zhì)上說，這些解題手段不僅改變了問題信息的表述形式，而且改變了問題信息的實(shí)質(zhì)，使問題以新的形式和新的內(nèi)容呈現(xiàn)出來．[例3]已知x2＋y2＝1，則eq\r(2＋x＋\r(3)y)＋2eq\r(2＋x－\r(3)y)的最大值為________．[解析]此題的信息有兩項(xiàng)，信息①：實(shí)數(shù)x,y的關(guān)系式為x2+y2=1；信息②：求eq\r(2＋x＋\r(3)y)＋2eq\r(2＋x－\r(3)y)的最大值.eq\r(2＋x＋\r(3)y)＋2eq\r(2＋x－\r(3)y)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(3),2)))2)＋2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2).(ⅰ)令P(x，y)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，原問題轉(zhuǎn)化為：點(diǎn)P是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，A，B為單位圓上的定點(diǎn)，求|PA|＋2|PB|的最大值．(ⅱ)作出示意圖如圖所示，易知∠APB＝eq\f(1,2)∠AOB＝60°，由正弦定理將信息②進(jìn)行形變化歸：eq\f(|PA|,sin120°－A)＝eq\f(|PB|,sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)?|PA|＝2sin(120°－A)，|PB|＝2sinA，則|PA|＋2|PB|＝2sin(120°－A)＋4sinA＝5sinA＋eq\r(3)cosA＝2eq\r(7)sin(A＋φ)≤2eq\r(7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(\r(3),5)))，(ⅲ)所以|PA|＋2|PB|的最大值為2eq\r(7).[答案]2eq\r(7)[反思領(lǐng)悟]此題解答過程中首先利用信息①把信息②形變化歸為(ⅰ)，然后再將信息①和(ⅰ)結(jié)合，進(jìn)行題變化歸得到(ⅱ)，將“求最值的代數(shù)問題”轉(zhuǎn)化為“求單位圓中的線段和的最值問題”；將(ⅱ)轉(zhuǎn)化為(ⅲ)也是題變化歸，將“求單位圓中的線段和問題”轉(zhuǎn)化為“一個(gè)三角函數(shù)最值問題”．此題進(jìn)行一系列題變化歸，使解題策略由茫然到朦朧，由朦朧到清晰，最后豁然開朗．[例4]已知實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)根，求使得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥ka2恒成立的實(shí)數(shù)k的最大值．[解]此題的信息有兩項(xiàng)，信息①：實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)根;信息②:求使得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥ka2恒成立的實(shí)數(shù)k的最大值.令原方程的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).(ⅰ)k≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)－\f(c,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)－1))2＝(1＋x1＋x2)2＋(x1＋x2＋x1x2)2＋(x1x2－1)2＝2(xeq\o\al(2,1)＋x1＋1)(xeq\o\al(2,2)＋x2＋1)(ⅱ)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,2)))2＋\f(3,4)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))2＋\f(3,4)))≥eq\f(9,8).(ⅲ)故實(shí)數(shù)k的最大值為eq\f(9,8).[反思領(lǐng)悟]該解法將信息①化為(ⅰ)是形變化歸，信息②化為(ⅱ)既是形變化歸，也是題變化歸，將原問題轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)二次函數(shù)的最值問題”；從(ⅱ)到(ⅲ)是形變化歸．顯然，該解法的過程，既是一系列形變化歸的過程，也是題變化歸的過程．而且形變化歸是題變化歸的基礎(chǔ)，題變化歸是形變化歸的目的和歸宿．綜上所述，我們可以看出：(1)形變化歸和題變化歸在解題過程中并非流星一閃，而是多次反復(fù)出現(xiàn)在解題過程中．(2)形變化歸和題變化歸不是孤立地表現(xiàn)在解題的過程中，而是常常結(jié)伴而行．(3)形變化歸和題變化歸聯(lián)系緊密，形變化歸是基礎(chǔ)，題變化歸是結(jié)果，題變化歸離不開形變化歸．(4)形變化歸是題變化歸的基礎(chǔ)，也是化歸思想的基礎(chǔ)，更是問題解決的基礎(chǔ)．第四講解題的化歸原則——清晰熟悉一、清晰原則，淘盡泥沙見真金問題是呈現(xiàn)給解題者的感性材料，可能是一種粗糙的、模糊的信息材料，這些材料在表達(dá)上具有非直觀形象化、非數(shù)學(xué)語言化，在內(nèi)容上具有隱蔽性、復(fù)雜性的特點(diǎn)，容易給解題者感知和思維活動(dòng)造成障礙．解題者面對(duì)這些粗糙的、模糊的信息材料，需要利用自己的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)對(duì)信息的表現(xiàn)形式和內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使信息呈現(xiàn)出清晰的感性材料，這種加工處理信息的原則我們稱為清晰原則．信息材料通過清晰后，更適合解題者認(rèn)知活動(dòng)的心理需求，可以加速神經(jīng)系統(tǒng)的傳導(dǎo)，有利于新信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的鏈接．常見的清晰手段有：①數(shù)學(xué)語言化：將問題信息用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)，便于運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來解決；②數(shù)形結(jié)合：將問題的信息用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行描述，使信息表述得更詳盡、更直觀；③形變化歸：將復(fù)雜的信息進(jìn)行形變化歸，使復(fù)雜信息的內(nèi)涵得到徹底挖掘和展示．[例1]調(diào)查某個(gè)高中畢業(yè)班學(xué)生的升學(xué)報(bào)考志愿情況，得到如下結(jié)果：(1)報(bào)考A大學(xué)的學(xué)生不報(bào)考B大學(xué)；(2)報(bào)考B大學(xué)的學(xué)生也報(bào)考D大學(xué)；(3)報(bào)考C大學(xué)的學(xué)生不報(bào)考D大學(xué)；(4)不報(bào)考C大學(xué)的學(xué)生報(bào)考B大學(xué)．根據(jù)上述結(jié)果，某人得出下述結(jié)論：①報(bào)考D大學(xué)的學(xué)生也報(bào)考A大學(xué)．②沒有既報(bào)考B大學(xué)又報(bào)考C大學(xué)的學(xué)生．③有既報(bào)考C大學(xué)又報(bào)考D大學(xué)的學(xué)生．④報(bào)考B大學(xué)的學(xué)生數(shù)和報(bào)考D大學(xué)的學(xué)生數(shù)相同．⑤報(bào)考A大學(xué)的學(xué)生也報(bào)考C大學(xué)．這些結(jié)論中正確的是()A．①②③ B．②④⑤C．①②④ D．③④⑤[解析]此題信息繁多，讓人感到有點(diǎn)云里霧里，雖然每項(xiàng)信息的含義簡(jiǎn)單明白，毫不隱蔽，人人都會(huì)用邏輯推理的方法去探求解答方案，但推理過程容易混亂且不便于表述，對(duì)問題產(chǎn)生排斥心理．對(duì)此，我們先將各項(xiàng)信息進(jìn)行數(shù)學(xué)語言易化處理，使問題的信息清晰直白，以觀其變．用x表示高中畢業(yè)班學(xué)生，“∈”表示報(bào)考，“?”表示不報(bào)考．此時(shí)調(diào)查結(jié)果可以改寫為：(1)x∈A?x?B，再由原命題與逆否命題等價(jià)可知x∈B?x?A.(2)x∈B?x∈D等價(jià)轉(zhuǎn)化為x?D?x?B.(3)x∈C?x?D等價(jià)轉(zhuǎn)化為x∈D?x?C.(4)x?C?x∈B等價(jià)轉(zhuǎn)化為x?B?x∈C.這樣處理后，問題的各項(xiàng)信息已經(jīng)簡(jiǎn)潔明了．我們對(duì)問題新信息感到親切、熟悉．下面對(duì)5條結(jié)論信息也進(jìn)行數(shù)學(xué)語言化處理，再結(jié)合條件信息進(jìn)行推理：考查①：x∈D?x?C?x∈B?x?A，則①不正確．考查②：x∈B?x∈D?x?C，則②正確．考查③：x∈C?x?D，則③不正確．考查④：x∈B?x∈D，x∈D?x?C?x∈B，則④正確．考查⑤：x∈A?x?B?x∈C，則⑤正確．所以，答案B正確．[答案]B[反思領(lǐng)悟]從此題的解答過程可以看出，對(duì)信息的數(shù)學(xué)語言化處理，使信息清晰明了，是成功解答此題的關(guān)鍵．[例2]設(shè)0＜b＜1＋a，若關(guān)于x的不等式(x－b)2>(ax)2的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，求a的取值范圍．[解]此題中的(x－b)2>(ax)2是一個(gè)熟悉的二次不等式，但這個(gè)不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)的條件是什么含義？我們首先對(duì)這一信息進(jìn)行清晰化——形變化歸．因?yàn)?x－b)2>(ax)2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(b,a＋1)))[(a－1)x＋b]＜0.①當(dāng)a≤1時(shí)，不等式的解集中有無窮多個(gè)整數(shù)，不合題意．②當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解為eq\f(b,1－a)＜x＜eq\f(b,a＋1).因?yàn)?＜b＜1＋a，所以0＜eq\f(b,a＋1)＜1.要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則－3≤eq\f(b,1－a)＜－2?3(a－1)≥b>2(a－1)．通過信息清晰后，問題轉(zhuǎn)化為已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜b＜1＋a，,2a－1＜b≤3a－1，,a>1，))求a的取值范圍．如圖，作出不等式組表示的可行域，容易得到1＜a＜3.綜上，a的取值范圍為(1,3)．[反思領(lǐng)悟]此題本是一個(gè)二次不等式問題，很多學(xué)生都考慮用不等式放縮法進(jìn)行解答，又擔(dān)心擴(kuò)大了a的范圍，即使得到1＜a＜3，也不敢堅(jiān)信一定正確．我們對(duì)“(x－b)2>(ax)2的解集中恰有3個(gè)整數(shù)”這一信息進(jìn)行清晰，得到新信息“a>1且3(a－1)≥b>2(a－1)”，不僅順利地將原問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，而且還可以堅(jiān)信答案是正確的．二、熟悉原則，尋找曾經(jīng)走過的路在加工處理信息的過程中，利用我們的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)對(duì)問題信息的表述形式或內(nèi)容進(jìn)行處理，轉(zhuǎn)化為我們認(rèn)知結(jié)構(gòu)中熟悉的信息材料，這種處理信息的原則就是熟悉原則．熟悉原則可分為兩種：第一種是熟悉知識(shí)原則，就是把不熟悉的知識(shí)和問題轉(zhuǎn)化為教材上或大家熟知的知識(shí)和問題．第二種是熟悉經(jīng)驗(yàn)原則，就是把不熟悉的知識(shí)和問題轉(zhuǎn)化為解題者曾經(jīng)解答過的問題．[例3]設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2，若對(duì)任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥eq\f(1,4)f(x＋1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]由于f(x)是定義在R上的函數(shù)，現(xiàn)在只知道x≥0時(shí)的函數(shù)表達(dá)式．首先對(duì)問題信息進(jìn)行清晰，利用奇函數(shù)求出x＜0時(shí)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)一步得到f(x)在R上的函數(shù)表達(dá)式f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x＜0，))利用數(shù)形結(jié)合再對(duì)函數(shù)進(jìn)行信息清晰，可以發(fā)現(xiàn)f(x)在R上單調(diào)遞增，如圖所示．我們知道當(dāng)f(x)在R上單調(diào)遞增，f(m)≥f(n)的充分必要條件是m≥n.現(xiàn)在問題信息f(x＋a)≥eq\f(1,4)f(x＋1)與認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)f(m)≥f(n)在形式上存在差異，如果能把eq\f(1,4)去掉，將不等式f(x＋a)≥eq\f(1,4)f(x＋1)化為f(m)≥f(n)的形式，問題有可能得到解決，這是熟悉經(jīng)驗(yàn)原則．觀察f(x)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，容易發(fā)現(xiàn)eq\f(1,4)f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))，于是原問題可以轉(zhuǎn)化為：已知f(x)在R上單調(diào)遞增，對(duì)任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)))恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．于是可得對(duì)任意x∈[a，a＋2]，不等式x＋a≥eq\f(x＋1,2)恒成立．即對(duì)x∈[a，a＋2]，不等式x≥1－2a所以a≥1－2a，所以a≥eq\f(1,3).即實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).[反思領(lǐng)悟]上述解答最關(guān)鍵的一步是熟悉經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用，將f(x＋a)≥eq\f(1,4)f(x＋1)化為f(x＋a)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)))，進(jìn)一步化為“對(duì)x∈[a，a＋2]，不等式x≥1－2a恒成立”，使問題化難為易，化陌生為熟悉，就可以順利地用熟悉性知識(shí)解答．[例4]在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5sinα＋12cosβ，,y＝5cosα＋12sinβ，))α，β∈R))，點(diǎn)P是點(diǎn)集M內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)A(－2，1)，B(8，－9)，則|PA|2＋|PB|2的最小值為________．[解析]由于問題中點(diǎn)集M的元素是坐標(biāo)形式，而結(jié)論信息不是坐標(biāo)形式，我們將結(jié)論信息用坐標(biāo)表示，這樣，條件和結(jié)論信息的表達(dá)形式保持一致，這就是熟悉知識(shí)原則的應(yīng)用．令P(x，y)，可得|PA|2＋|PB|2＝2x2＋2y2＋16y－12x＋150.①式①類似我們熟悉的圓方程的左邊，運(yùn)用熟悉知識(shí)原則，可以將上述式子進(jìn)行配方，可得|PA|2＋|PB|2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x－32＋y＋42)))2＋100.②觀察式②的結(jié)構(gòu)，用熟悉知識(shí)原則，eq\r(x－32＋y＋42)表示點(diǎn)P到N(3，－4)的距離．所以，問題可以轉(zhuǎn)化為求|PN|的最小值．再用熟悉經(jīng)驗(yàn)原則，要求|PN|的最小值，只需求出點(diǎn)集M表示的幾何圖形，然后利用數(shù)形結(jié)合就可以順利解答．又用熟悉經(jīng)驗(yàn)原則，要求點(diǎn)集M表示的幾何圖形，只需消去參數(shù)即可．于是：x2＋y2＝169＋120sin(α＋β)?49≤x2＋y2≤289.所以，點(diǎn)集M表示的幾何圖形是以O(shè)為圓心，半徑由7變到17的一個(gè)圓環(huán)，如圖所示．因?yàn)閨PN|min＝7－eq\r(32＋42)＝2，所以|PA|2＋|PB|2＝2|PN|2＋100≥108.所以|PA|2＋|PB|2的最小值為108.[答案]108第五講解題的必備積淀——把根留住許多考生雖然做了大量的習(xí)題，但遇到類似的題目仍不知所措，“這道題我好像做過，但還是做不出來”是學(xué)生普遍反映的現(xiàn)象；“這道題，我上課講過的，學(xué)生怎么還是不會(huì)”，這是一線教師的口頭禪；學(xué)生平時(shí)解題也知道要進(jìn)行化歸，但總找不到歸根何處．這就是平時(shí)只顧埋頭做題，不注重歸納領(lǐng)悟而造成的高耗低能現(xiàn)象．為什么會(huì)有這樣的偏差？什么是數(shù)學(xué)的“根”？如何把“根”留??？高考數(shù)學(xué)題既考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握程度，又考查對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平．如果學(xué)習(xí)中僅就題論題，對(duì)問題的理解只停留在知識(shí)、方法表象層次上，而沒有體會(huì)到問題背后的“根”，那么做再多的習(xí)題，也只是事倍功半.它應(yīng)該是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西，是數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉、數(shù)學(xué)核心價(jià)值的理解、數(shù)學(xué)理性精神(依靠思維能力對(duì)感性材料進(jìn)行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理)的體驗(yàn)等.可通過研究問題的變式，留住知識(shí)之“根”；通過優(yōu)化問題的解法，留住方法之“根”．只有這樣，高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)才能強(qiáng)“根”固本，枝繁葉茂.一、研究問題的變式，留住知識(shí)之“根”一題多變，總結(jié)規(guī)律．可培養(yǎng)思維的探索性和深刻性，通過對(duì)變式問題的研究，可以解決一類問題，遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”，開拓解題思路．在分析解決問題的過程中，既構(gòu)建知識(shí)橫向聯(lián)系，又養(yǎng)成多角度思考問題的習(xí)慣．[例1]在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若點(diǎn)P為線段BC的中點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.[解析]因?yàn)辄c(diǎn)P為線段BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，又因?yàn)閑q\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))2)＝eq\f(1,2)(52－32)＝8.[答案]8[變式1]在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若點(diǎn)P為△ABC的外心，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.[解析]取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，則eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→)))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→)).因?yàn)辄c(diǎn)P為△ABC的外心，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，所以eq\o(DP,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，則eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0.于是eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))2)＝8.[答案]8[變式2]在△ABC中，AB＝m，AC＝n，D為BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)P為線段BC垂直平分線上的任意一點(diǎn)，求證：eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(n2－m2)．[證明]由題意，可得eq\o(DP,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，所以eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，從而eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→)))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→)).又因?yàn)閑q\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))2)＝eq\f(1,2)(n2－m2)．[反思領(lǐng)悟]以平面幾何圖形作為命題背景的向量數(shù)量積問題是高考命題的常見題型．平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，有兩種體系，一是數(shù)量積的幾何運(yùn)算，二是向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．對(duì)于三角形中相關(guān)線段構(gòu)成的向量數(shù)量積計(jì)算問題，其中三角形中線的向量表示、向量加減法的三角形法則是求解這類問題的突破口．二、優(yōu)化問題的解法，留住方法之“根”一題多解，觸類旁通．培養(yǎng)發(fā)散思維能力，培養(yǎng)思維的靈活性．一題多解的實(shí)質(zhì)是以不同的論證方式，反映條件和結(jié)論的必然本質(zhì)聯(lián)系．從各種途徑，用多種方法思考問題，可開拓解題思路，掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并從多種解法的對(duì)比中選出最佳解法，總結(jié)解題規(guī)律，使分析問題、解決問題的能力提高．[例2]已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，則()A．c≤3 B．3＜c≤6C．6＜c≤9 D．c>9[解析]法一：由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，,－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－7＋3a－b＝0，,19－5a＋b＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝11.))則f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，而0＜f(－1)≤3，故0＜－6＋c≤3，所以6＜c≤9，故選C.法二：設(shè)f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝k，則0＜k≤3.設(shè)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋k，則c＝k＋6，所以6＜c≤9，故選C.法三：由題意，f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋c－6，得0＜c－6≤3，所以6＜c≤9，故選C.法四：取f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝3，則c＝9，故選C.[答案]C[反思領(lǐng)悟]法一直接利用已知條件求出系數(shù)a，b，代入后求解不等式，為常規(guī)解法，運(yùn)算量較大；法四為特殊值法，有一定的偶然性，較之法一簡(jiǎn)潔，是一種行之有效的解決選擇題的方法，此處也可取f(－1)＝1等值；法二、三則蘊(yùn)含了函數(shù)的零點(diǎn)與解析式之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，是問題解決的基本方法，并可將問題結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為類似的更高次數(shù)的函數(shù)問題．?dāng)?shù)學(xué)是一門工具性學(xué)科，它研究的是空間形式與數(shù)量的關(guān)系，數(shù)學(xué)的本性是“智慧”，是“人的思維”．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維過程的引導(dǎo)、啟發(fā)．因此，做數(shù)學(xué)題要從根本處抓起，通過研究問題的變式，優(yōu)化解題的方法等方式，跳出無邊無際的“書山題海”，通過對(duì)解題過程的“反芻”，留住知識(shí)之“根”、方法之“根”．只有從“根”處澆灌知識(shí)之營(yíng)養(yǎng)，數(shù)學(xué)之“花”才能燦爛綻放．第一章集合與常用邏輯用語全國(guó)卷eq\a\vs4\al(5)年考情圖解高考命題規(guī)律把握說明：“Ⅰ1”指全國(guó)Ⅰ卷第1題，“Ⅱ1”指全國(guó)Ⅱ卷第1題，“Ⅲ1”指全國(guó)Ⅲ卷第1題.1.本章在高考中一般考查1或2個(gè)小題，主要以選擇題為主，很少以填空題的形式出現(xiàn)．2.從考查內(nèi)容來看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特征；二是集合間的關(guān)系；三是集合的運(yùn)算，包含集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算；常用邏輯用語主要從四個(gè)方面考查：分別為命題及其關(guān)系、充分必要條件的判斷、邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”以及全稱量詞與存在量詞．3.本章一般不涉及解答題，在知識(shí)的交匯上集合往往以函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集，曲線的點(diǎn)集為載體進(jìn)行考查；常用邏輯用語以函數(shù)方程、不等式、復(fù)數(shù)、三角、向量、點(diǎn)線面的位置關(guān)系為載體，主要考查命題真假判斷、充要條件及特(全)稱命題，難度不大且考查頻率較低.第一節(jié)集__合1．集合的相關(guān)概念(1)集合元素的三個(gè)特性：確定性、無序性、互異性?.(2)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為∈；不屬于，記為?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．(4)五個(gè)特定的集合：集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N＋ZQR2．集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號(hào)語言記法基本關(guān)系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A?x∈Beq\o(A?B或B?A,\s\do4(?))真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于AA?B，且?x0∈B，x0?AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A?B，B?AA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集?x，x??，??A，?B(B≠?)eq\o(\a\vs4\al(?),\s\do4(?))3．集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA?圖形表示意義{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}元素互異性，即集合中不可能出現(xiàn)相同的元素．此性質(zhì)常用于題目中對(duì)參數(shù)的取舍．任何集合是其自身的子集．(1)注意?，{0}和{?}的區(qū)別：?是集合，不含任何元素；{0}含有一個(gè)元素0；{?}含有一個(gè)元素?，且?∈{?}和??{?}都正確．(2)在涉及集合之間的關(guān)系時(shí)，若未指明集合非空，則要考慮空集的可能性，如若A?B，則要考慮A＝?和A≠?兩種可能.(1)求集合A的補(bǔ)集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實(shí)是給定的條件．從全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素構(gòu)成的集合即為?UA.(2)補(bǔ)集?UA是針對(duì)給定的集合A和U(A?U)相對(duì)而言的一個(gè)概念，一個(gè)確定的集合A，對(duì)于不同的集合U，它的補(bǔ)集不同.[熟記常用結(jié)論]1．A?B，B?C?A?C；AB，BC?AC.2．含有n個(gè)元素的集合A＝{a1，a2，…，an}有2n個(gè)子集，有2n－1個(gè)真子集，有2n－2個(gè)非空真子集．3．A∪?＝A，A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A?(A∪B)，B?(A∪B)．4．A∩?＝?，A∩A＝A，A∩B＝B∩A，A∩B?A，A∩B?B.5．A∩B＝A∪B?A＝B.6．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?(?UA)?(?UB)?A∩(?UB)＝?.7．(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．8．A∪?UA＝U，A∩?UA＝?，?U(?UA)＝A，?AA＝?，?A?＝A.[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集．()(4)若A∩B＝A∩C，則B＝C.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×二、選填題1．設(shè)集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z為整數(shù)集，則集合A∩Z中元素的個(gè)數(shù)是()A．3B．4C．5D．6解析：選CA中包含的整數(shù)元素有－2，－1,0,1,2，共5個(gè)，所以A∩Z中的元素個(gè)數(shù)為5.2．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是()A．－3∈A B．3?BC．A∩B＝B D．A∪B＝B解析：選C由題意知A＝{y|y≥－1}，B＝{x|x≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}＝B.3．設(shè)全集U＝{1,2,3,4}，集合S＝{1,3}，T＝{4}，則(?US)∪T＝()A．{2,4} B．{4}C．? D．{1,3,4}解析：選A由補(bǔ)集的定義，得?US＝{2,4}，從而(?US)∪T＝{2,4}，故選A.4．集合{－1,0,1}共有________個(gè)子集．解析：因?yàn)榧嫌?個(gè)元素，所以集合共有23＝8個(gè)子集．答案：85．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則解析：由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－eq\f(3,2).當(dāng)m＝1時(shí)，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合元素的互異性可知不滿足題意；當(dāng)m＝－eq\f(3,2)時(shí)，m＋2＝eq\f(1,2)，而2m2＋m＝3，故m＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)考點(diǎn)一[基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)]集合的含義及表示[題組練透]1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為()A．9 B．8C．5 D．4解析：選A法一：將滿足x2＋y2≤3的整數(shù)x，y全部列舉出來，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9個(gè)．故選A.法二：根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個(gè)整點(diǎn)，即為集合A的元素個(gè)數(shù)，故選A.2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝()A.eq\f(9,2) B.eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)解析：選D當(dāng)a＝0時(shí)，顯然成立；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝eq\f(9,8).3．設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則b－a＝()A．1 B．－1C．2 D．－2解析：選C因?yàn)閧1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，則eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.4．已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，若集合A中至少有3個(gè)元素，則k的取值范圍為()A．(8，＋∞) B．[8，＋∞)C．(16，＋∞) D．[16，＋∞)解析：選C因?yàn)榧螦中至少有3個(gè)元素，所以log2k>4，所以k>24＝16，故選C.[名師微點(diǎn)]與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合．(2)集合元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題的影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性．考點(diǎn)二[師生共研過關(guān)]集合的基本關(guān)系[典例精析](1)設(shè)P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，則()A．P?Q B．Q?PC．?RP?Q D．Q??RP(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m[解析](1)因?yàn)镻＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以?RP＝{y|y>1}，所以?RP?Q，故選C.(2)∵B?A，∴①若B＝?，則2m－1＜m＋1，此時(shí)m②若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②可得，符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，3]．[答案](1)C(2)(－∞，3]eq\a\vs4\al([變式發(fā)散])1．(變條件)在本例(2)中，若“B?A”變?yōu)椤癇A”，其他條件不變，如何求解？解：∵BA，∴①若B＝?，成立，此時(shí)m＜2.②若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1＜5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1>－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②可得m的取值范圍為(－∞，3]．2．(變條件)在本例(2)中，若“B?A”變?yōu)椤癆?B”，其他條件不變，如何求解？解：若A?B，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤－3，,m≥3.))所以m的取值范圍為?.[解題技法]1．集合間基本關(guān)系的2種判定方法和1個(gè)關(guān)鍵兩種方法(1)化簡(jiǎn)集合，從表達(dá)式中尋找兩集合的關(guān)系；(2)用列舉法(或圖示法等)表示各個(gè)集合，從元素(或圖形)中尋找關(guān)系一個(gè)關(guān)鍵關(guān)鍵是看它們是否具有包含關(guān)系，若有包含關(guān)系就是子集關(guān)系，包括相等和真子集兩種關(guān)系2．根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對(duì)子集是否為空集進(jìn)行分類討論，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程(組)求解，此時(shí)注意集合中元素的互異性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式(組)求解，此時(shí)需注意端點(diǎn)值能否取到．[過關(guān)訓(xùn)練]1．設(shè)M為非空的數(shù)集，M?{1,2,3}，且M中至少含有一個(gè)奇數(shù)元素，則這樣的集合M共有()A．6個(gè) B．5個(gè)C．4個(gè) D．3個(gè)解析：選A由題意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．解析：①若B＝?，則Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.②若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時(shí)B＝{1}，符合題意；③若2∈B，則22＋2m解得m＝－eq\f(5,2)，此時(shí)B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－2,2)．答案：[－2,2)考點(diǎn)三[師生共研過關(guān)]集合的基本運(yùn)算[典例精析](1)(2018·天津高考)設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0，2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}