( 線性代數(shù))線性方程組的消元解法

線性方程組的消元解法非齊次線性方程組

齊次線性方程組

線性方程組的一般形式和矩陣形式A稱為方程組的系數(shù)矩陣

b稱為方程組的常數(shù)項矩陣

x稱為n元未知量矩陣

線性方程組的一般形式和矩陣形式線性方程組的增廣矩陣

線性方程組與增廣矩陣是一一對應(yīng)的

方程組的解

x1

1

x2

3

x3

2

可以看出用消元法解線性方程組的過程

實質(zhì)上就是對該方程組的增廣矩陣施以初等行變換的過程

解線性方程組時

為了書寫簡便

只寫出方程組的增廣矩陣的變換過程即可

對方程組的增廣矩陣施以初等行變換

相當(dāng)于把原方程組變換成一個新的方程組

前后兩個方程組顯然是同解的

階梯形矩陣與簡化的階梯形矩陣如果矩陣自上而下的各行中

每一非零行的第一個非零元素的下方全是零

元素全為零的行(如果有的話)都在非零行的下邊

則稱該矩陣為階梯形矩陣

如果階梯形矩陣的每一非零行的第一個非零元素為1

且它所在列的其他元素全是0

則稱該矩陣為簡化的階梯形矩陣

階梯形矩陣與簡化的階梯形矩陣如果矩陣自上而下的各行中

每一非零行的第一個非零元素的下方全是零

元素全為零的行(如果有的話)都在非零行的下邊

則稱該矩陣為階梯形矩陣

如果階梯形矩陣的每一非零行的第一個非零元素為1

且它所在列的其他元素全是0

則稱該矩陣為簡化的階梯形矩陣

階梯形方程組與階梯形矩陣對線性方程組進(jìn)行變換相當(dāng)于對其增廣矩陣作相應(yīng)的變換

當(dāng)原方程組化成一個階梯形方程組時

其增廣矩陣同時化成了階梯形矩陣

反之當(dāng)增廣矩陣化成了階梯形矩陣時

原方程組化成一個階梯形方程組

階梯形矩陣與簡化的階梯形矩陣如果矩陣自上而下的各行中

每一非零行的第一個非零元素的下方全是零

元素全為零的行(如果有的話)都在非零行的下邊

則稱該矩陣為階梯形矩陣

如果階梯形矩陣的每一非零行的第一個非零元素為1

且它所在列的其他元素全是0

則稱該矩陣為簡化的階梯形矩陣

階梯形方程組解的情況分析

階梯形矩陣與階梯形方程組有下列對應(yīng)關(guān)系階梯形方程組解的情況分析

設(shè)原方程組已化為下列階梯形方程組

這是因為滿足前r個方程的任何一組數(shù)k1

k2

kn

都不能滿足“0

dr

1”這個方程

所以方程組無解

1

如果dr

1

0

則原方程組無解

階梯形方程組解的情況分析

設(shè)原方程組已化為下列階梯形方程組1

如果dr

1

0

則原方程組無解

在這種情況下有r(A)

r(A

b)

在這種情況下有r(A)

r(A

b)

n

2

如果dr

1

0且r

n

則原方程組有唯一解

3

如果dr

1

0且r

n

則原方程組有無窮多個解

在這種情況下有r(A)

r(A

b)

n

定理3

1(解的情況判定)

線性方程組Ax

b有解的充分必要條件是r(A)

r(A

b)

且當(dāng)r(A

b)

n時方程組有唯一解

當(dāng)r(A

b)

n時方程組有無窮多解

用消元法解線性方程組的一般步驟第一步

對增廣矩陣施以初等行變換

化成階梯形矩陣

第二步

根據(jù)定理3.1判斷方程組是否有解

第三步

如果方程組有解

則對上述階梯形矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行初等行變換

化成行簡化的階梯形矩陣

第四步

寫出方程組的解

解

對增廣矩陣施以初等行變換

化為階梯形矩陣

因為r(A

|b)

r(A)

2

4

故方程組有無窮多解

解

對增廣矩陣施以初等行變換

化為階梯形矩陣

解

對增廣矩陣施以初等行變換

化為階梯形矩陣方程組的全部解為其中c1

c2為任意常數(shù)

所以原方程組無解

r(A

|

b)

r(A)

因為r(A)

3

r(A

|

b)

4

解

對增廣矩陣施以初等行變換

化為階梯形矩陣

解

對增廣矩陣施以初等行變換

化為階梯形矩陣

(1)當(dāng)a

1時

方程組有唯一解

經(jīng)初等行變換可得方程組的解為

解

對增廣矩陣施以初等行變換

化為階梯形矩陣

(2)當(dāng)a

1

b

1時

r(A)

2

r(A|b)

3

故方程組無解

解

對增廣矩陣施以初等行變換

化為階梯形矩陣

(3)當(dāng)a

1

b

1時

r(A)

r(A|b)

2

方程組有無窮多組解

經(jīng)初等行變換可得其中c1

c2為任意常數(shù)

原方程組的全部解為齊次線性方程組

線性方程組中的常數(shù)項均為零時

這樣的線性方程組稱為齊次線性方程組

齊次線性方程組

齊次線性方程組的一般形式為

齊次線性方程組的矩陣形式為Ax

0

說明齊次線性方程組Ax

0恒有解

因為它至少有零解

定理3

2

齊次線性方程組Ax

0有非零解的充分必要條件是

r(A)

n

齊次線性方程組

齊次線性方程組的一般形式為

齊次線性方程組的矩陣形式為Ax

0

推論當(dāng)m

n時

齊次線性方程組Ax

0有非零解

定理3

2