數(shù)學(xué)建模 第五章 微分方程模型M05-2010

第五章微分方程模型5.1傳染病模型5.2經(jīng)濟(jì)增長模型5.3

正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.4藥物在體內(nèi)的分布與排除5.5香煙過濾嘴的作用5.6人口預(yù)測和控制5.7煙霧的擴(kuò)散與消失5.8萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)動態(tài)模型

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程.

分析對象特征的變化規(guī)律.

預(yù)報對象特征的未來性態(tài).

研究控制對象特征的手段.根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù).微分方程建模根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè).按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程.5.1傳染病模型

描述傳染病的傳播過程.

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律.

預(yù)報傳染病高潮到來的時刻.

預(yù)防傳染病蔓延的手段.不是從醫(yī)學(xué)角度分析各種傳染病的特殊機(jī)理,而是按照傳播過程的一般規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型.背景與問題傳染病的極大危害(艾滋病、SARS、

)基本方法已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為

模型1假設(shè)若有效接觸的是病人,則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為.2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為

,且使接觸的健康人致病.建模

~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻

(日接觸率)tm

Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染.增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為

~日治愈率建模

~日接觸率1/

~感染期

~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù).mls/=模型3i0i0接觸數(shù)

=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸使健康者感染的人數(shù)不超過原有的病人數(shù)1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/

i0t

1di/dt<0>1,i0<1-1/

i(t)按S形曲線增長接觸數(shù)

(感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù))i(t)單調(diào)下降模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者.SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為.2）病人的日接觸率

,日治愈率

,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個方程.模型4SIR模型無法求出的解析解先做數(shù)值計算,再在相平面上研究解析解性質(zhì)(通常r(0)=r0很小)模型4SIR模型的數(shù)值解i(t)從初值增長到最大;t,i0.s(t)單調(diào)減;t,s0.04.設(shè)

=1,

=0.3,i0=0.02,s0=0.98,用MATLAB計算作圖i(t),s(t)及i(s)si相軌線i(s)模型4消去dtSIR模型的相軌線分析相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減

相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/

~閾值P3P4P2S0模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段

(日接觸率)衛(wèi)生水平

(日治愈率)

醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/

的估計降低s0提高r0提高閾值1/

降低

(=

/

)

,

群體免疫忽略i0模型4預(yù)防傳染病蔓延的手段降低日接觸率

提高日治愈率

提高移出比例r0以最終未感染比例s

和病人比例最大值im為度量指標(biāo).

1/

s0i0s

i

10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200

,

s0(r0

)s

,im

s

,im

模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1

i0

0,s0

1

小,s0

1提高閾值1/

s0-1/

=

降低被傳染人數(shù)比例x傳染病模型模型1模型2(SI)模型3(SIS)模型4(SIR)區(qū)分病人和健康人考慮治愈模型3,4:描述傳播過程,分析變化規(guī)律,預(yù)報高潮時刻,預(yù)防蔓延手段.模型4:數(shù)值計算與理論分析相結(jié)合.5.2經(jīng)濟(jì)增長模型增加生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟(jì)增加投資增加勞動力提高技術(shù)建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關(guān)系.研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大.調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長.1.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)值Q(t)F為待定函數(shù)資金K(t)勞動力L(t)技術(shù)f(t)=f0(常數(shù))模型假設(shè)靜態(tài)模型每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的投資z隨著y的增加而增長，但增長速度遞減yg(y)01.Douglas生產(chǎn)函數(shù)解釋含義？Douglas生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)值Q,資金K,勞動力L,技術(shù)f0

~資金在產(chǎn)值中的份額1-

~勞動力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)1.Douglas生產(chǎn)函數(shù)~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值~單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值w,r,

K/L

求資金與勞動力的分配比例K/L(每個勞動力占有的資金)，使效益S最大.資金和勞動力創(chuàng)造的效益資金來自貸款，利率r勞動力付工資w2）資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型）3)經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長的條件(動態(tài)模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增長,K(t),L(t)應(yīng)滿足的條件模型假設(shè)

投資增長率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn))

勞動力相對增長率為常數(shù)Bernoulli方程3)經(jīng)濟(jì)增長的條件產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt>03)經(jīng)濟(jì)增長的條件

~勞動力相對增長率每個勞動力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt>03)經(jīng)濟(jì)增長的條件勞動力增長率小于初始投資增長率5.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭.只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱.兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加.戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān).建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會領(lǐng)域的實際問題提供了可借鑒的示例.第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型.一般模型

每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力.

每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比.

甲乙雙方的增援率為u(t),v(t).f,g

取決于戰(zhàn)爭類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設(shè)模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型

甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=

ay,a~乙方每個士兵的殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系.平方律模型乙方勝游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)

甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=

cxy,c~乙方每個士兵的殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動面積sry~乙方射擊有效面積0游擊戰(zhàn)爭模型線性律模型0混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊乙方必須10倍于甲方的兵力!設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)5.4藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量).血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計.

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程——藥物動力學(xué).

建立房室模型——藥物動力學(xué)的基本步驟.房室——機(jī)體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移.

本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等).模型假設(shè)中心室(1)和周邊室(2),容積不變.藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率與該室血藥濃度成正比.藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外.模型建立中心室周邊室給藥排除c1(t),x1(t)V1c2(t),x2(t)V2轉(zhuǎn)移線性常系數(shù)非齊次方程對應(yīng)齊次方程通解模型建立幾種常見的給藥方式1.快速靜脈注射t=0

瞬時注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零0

t

T藥物以速率k0進(jìn)入中心室3.口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物(劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室.吸收室藥量x0(t)吸收室中心室D0參數(shù)估計各種給藥方式下的c1(t),c2(t)取決于參數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速靜脈注射D0,在ti(i=1,2,,n)測得c1(ti)由較大的用最小二乘法定A,

由較小的用最小二乘法定B,

參數(shù)估計進(jìn)入中心室的藥物全部排除建立房室模型,研究體內(nèi)血藥濃度變化過程,確定轉(zhuǎn)移速率、排除速率等參數(shù),為制訂給藥方案提供依據(jù).機(jī)理分析確定模型形式，測試分析估計模型參數(shù).藥物在體內(nèi)的分布與排除房室模型：一室模型二室模型多室模型非線性(一室)模型c1較小時近似于線性~一級排除過程如c1較大時近似于常數(shù)~零級排除過程過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系?人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中什么因素影響大，什么因素影響小?模型分析分析吸煙時毒物進(jìn)入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學(xué)模型.設(shè)想一個“機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境在整個過程中不變.問題5.5香煙過濾嘴的作用模型假設(shè)定性分析1）l1~煙草長，l2~過濾嘴長，l=l1+l2，毒物量M均勻分布，密度w0=M/l1.2）點燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a′:a,a′+a=1.3）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的(單位時間)吸收率分別是b和.4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u，v>>u.Q~吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量模型建立0t=0,x=0，點燃香煙q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)流量守恒t時刻，香煙燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)3)求w(ut,t)考察t內(nèi)毒物密度的增量(單位長度煙霧毒物被吸收部分)4)計算QQ~吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量結(jié)果分析煙草為什么有作用?1）Q與a,M成正比，aM是毒物集中在x=l處的吸入量2)~過濾嘴因素，

,l2~負(fù)指數(shù)作用是毒物集中在x=l1處的吸入量3）

(r)~煙草的吸收作用b,l1~線性作用帶過濾嘴不帶過濾嘴結(jié)果分析4)與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉.提高

-b與加長l2，效果相同.香煙過濾嘴的作用在基本合理的簡化假設(shè)下，用精確的數(shù)學(xué)工具解決一個看來不易下手的實際問題.引入兩個基本函數(shù)：流量q(x,t)和密度w(x,t)，運(yùn)用物理學(xué)的守恒定律建立微分方程，構(gòu)造動態(tài)模型.對求解結(jié)果進(jìn)行定性和定量分析，得到合乎實際的結(jié)論.背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長5.6人口預(yù)測和控制做出較準(zhǔn)確的預(yù)報建立人口數(shù)學(xué)模型指數(shù)增長模型——馬爾薩斯1798年提出常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對)增長率r是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長.