數(shù)學模型第八章

第八章離散模型8.1層次分析模型8.2循環(huán)比賽的名次8.3社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程8.4公平的席位分配8.5存在公正的選舉規(guī)則嗎8.6價格指數(shù)離散模型

離散模型：代數(shù)方程與差分方程（第6章）、整數(shù)規(guī)劃（第4章）、圖論、對策論、網(wǎng)絡流、…

應用較廣,是分析社會經(jīng)濟系統(tǒng)的有力工具.

只用到代數(shù)、集合及(少許)圖論的知識.8.1層次分析模型背景

日常工作、生活中的決策問題.

涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素.

作比較判斷時人的主觀選擇起相當大的作用，各因素的重要性難以量化.

Saaty于20世紀70年代提出層次分析法

AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.“選擇旅游地”思維過程的歸納

將決策問題分為3個層次：目標層O，準則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關系用相連的直線表示.

通過相互比較確定各準則對目標的權(quán)重，及各方案對每一準則的權(quán)重.

將上述兩組權(quán)重進行綜合，確定各方案對目標的權(quán)重.層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果.層次分析法的基本步驟成對比較陣和權(quán)向量

元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度

設要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地成對比較的不一致情況一致比較允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較陣和權(quán)向量不一致成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量一致陣性質(zhì)成對比較陣和權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A,建議用對應于最大特征根

的特征向量作為權(quán)向量w，即wAwl=2468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度,即aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,,…,1/9尺度13579相同稍強強明顯強絕對強aij=1,1/2,,…,1/9的重要性與上面相反

心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個.

用1~3,1~5,…,1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu).

便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權(quán)向量一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時為一致陣定義一致性指標:CI越大，不一致越嚴重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI——隨機模擬得到aij,形成A，計算CI即得RI.定義一致性比率CR=CI/RI當CR<0.1時通過一致性檢驗Saaty的結(jié)果如下“選擇旅游地”中準則層對目標的權(quán)向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根

=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗!組合權(quán)向量記第2層（準則）對第1層（目標）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根

1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第3層對第2層的計算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對目標的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…,Cn第3層P1,…,Pm第2層對第1層的權(quán)向量第3層對第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層對第1層的組合權(quán)向量第s層對第1層的組合權(quán)向量其中W(p)是第p層對第p-1層的權(quán)向量組成的矩陣.層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標—準則或指標—方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨立.2）構(gòu)造成對比較陣用成對比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣.3）計算權(quán)向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權(quán)向量.4）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù).二.層次分析法的廣泛應用

應用領域：經(jīng)濟計劃和管理、能源政策和分配、人才選拔和評價、生產(chǎn)決策、交通運輸、科研選題、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、教育、醫(yī)療、環(huán)境、軍事等.

處理問題類型：決策、評價、分析、預測等.

建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關鍵一步，要有主要決策層參與.

構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應由經(jīng)驗豐富、判斷力強的專家給出.國家綜合實力美、俄、中、日、德等大國國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿(mào)易工作選擇供選擇的崗位貢獻收入發(fā)展聲譽關系位置例1

國家實力分析例2

工作選擇廣泛應用過河的效益

A經(jīng)濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3橋梁D1隧道D2渡船D3節(jié)省時間C1收入C2岸間商業(yè)C3當?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇廣泛應用過河的代價

A經(jīng)濟代價

B1環(huán)境代價B3社會代價B2橋梁D1隧道D2渡船D3投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9（2）過河代價層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇廣泛應用待評價的科技成果直接經(jīng)濟效益

C11間接經(jīng)濟效益

C12社會效益

C13學識水平

C21學術創(chuàng)新

C22技術水平

C23技術創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價廣泛應用三.層次分析法的若干問題

正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接近一致陣的程度？

怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？

為什么用特征向量作為權(quán)向量？

當層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？1.

正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理1

正矩陣A的最大特征根

是正單根，對應正特征向量w，且定理2n階正互反陣A的最大特征根

≥n,

=n是A為一致陣的充要條件.正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量.一致性指標定義合理2.

正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算

精確計算復雜且不必要.

簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應近似特征向量，可取其某種意義下的平均.和法——取列向量的算術平均列向量歸一化算術平均精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,

=3.010根法——取列向量的幾何平均冪法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，設置精度

2)計算3）歸一化5)計算簡化計算4）若，停止；否則，k:=k+1,轉(zhuǎn)23.為什么特征向量作為權(quán)向量問題一致陣A,權(quán)向量w=(w1,…,wn)T,aij=wi/wjA不一致,應選權(quán)向量w使wi/wj與

aij相差盡量?。▽λ衖,j)用擬合方法確定w非線性最小二乘線性化——對數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同

按不同準則確定的權(quán)向量不同，

選特征向量為權(quán)向量的優(yōu)點：成對比較Ci:Cj(直接比較）aij~1步比較的強度aisasj~Ci通過Cs與Cj的比較aij(2)

~2步比較的強度更能反映Ci對Cj的強度多步累積效應定理1特征向量體現(xiàn)多步累積效應當k足夠大,Ak第i行元素反映Ci的權(quán)重求Ak的行和～k步比較強度，反映多步比較效應4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)設已知第2層對第1層權(quán)向量w(2)

=(w1(2),w2(2))T及第3層對第2層權(quán)向量w1(3)

=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)

=(0,0,w23(3),w24(3)T討論由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))計算第3層對第1層權(quán)向量w(3）的方法.貢獻O教學C1科研C2P2

P1P3P4例:評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學,P4只作科研,P3兼作教學、科研.C1,C2支配元素的數(shù)目不等

不考慮支配元素數(shù)目不等的影響

仍用計算

支配元素越多權(quán)重越大用支配元素數(shù)目n1,n2對w(2)加權(quán)修正公正的評價應為：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1

再用計算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T

支配元素越多權(quán)重越小教學、科研任務由上級安排教學、科研靠個人積極性考察一個特例：C1,C2重要性相同P1~P4能力相同w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)Tw(2)=(1/2,1/2)T5.

殘缺成對比較陣的處理mi~A第i行中

的個數(shù)輔助矩陣

為殘缺元素例úúú?ùêêê?é=12/1212/121qqAúúú?ùêêê?é=12/1/212/1/211331wwwwC6.

更復雜的層次結(jié)構(gòu)

遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨立，無相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán).

更復雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán).制動底盤車輪方向盤發(fā)動機減震裝置剎車轉(zhuǎn)向運行加速性能汽車行駛性能汽車1汽車2汽車n……例

層次分析法的優(yōu)點

系統(tǒng)性——將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策——系統(tǒng)分析（與機理分析、測試分析并列）；

實用性——定性與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題；

簡潔性——計算簡便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握.層次分析法的局限

囿舊——只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案；

粗略——定性化為定量，結(jié)果粗糙；

主觀——主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人.8.2循環(huán)比賽的名次

n支球隊循環(huán)賽，每場比賽只計勝負，沒有平局.

根據(jù)比賽結(jié)果排出各隊名次.方法1.尋找按箭頭方向通過全部頂點的路徑.123456312456146325方法2.計算得分：無法排名2,3隊,4,5隊無法排名!6支球隊比賽結(jié)果……32，45排名132456合理嗎?1隊勝4場，2,3隊各勝3場，4,5隊各勝2場，6隊勝1場.123(1)123(2)1234(1)1234(2)1234(3)1234(4)循環(huán)比賽的結(jié)果——競賽圖3個頂點的競賽圖名次{1，2，3}{(1,2,3)}并列{1,2,3,4}{2,(1,3,4)}{(1,3,4),2}4個頂點的競賽圖名次{(1,2),(3,4)}{1,2,3,4}?競賽圖~每對頂點間都有邊相連的有向圖123412341234(1)(2)(3)1234(4)競賽圖的3種形式

具有唯一的完全路徑，如(1)；

雙向連通圖——任一對頂點存在兩條有向路徑相互連通，如(4)；

其他，如(2)，(3).競賽圖的性質(zhì)

必存在完全路徑；

若存在唯一的完全路徑，則由它確定的頂點順序與按得分排列的順序一致，如(1).4個頂點的競賽圖1234(4)雙向連通競賽圖G=(V,E)的名次排序鄰接矩陣得分向量雙向連通競賽圖的名次排序

對于n(>3)個頂點的雙向連通競賽圖，存在正整數(shù)r，使鄰接矩陣A滿足Ar

>0，A稱素陣.排名為{1，2，4，3}用s排名1234(4){1,2,3,4}?

素陣A的最大特征根為正單

根

，對應正特征向量s，且seAkkk=￥?llim1234566支球隊比賽結(jié)果排名次序為{1，3，2，5，4，6}32,45排名132456?1:4分;2,3:3分;4,5:2分;6:1分.v1—能源利用量,v2—能源價格,v3—能源生產(chǎn)率,v4—環(huán)境質(zhì)量,v5—工業(yè)產(chǎn)值,v6—就業(yè)機會,v7—人口總數(shù).8.3社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程系統(tǒng)的元素——圖的頂點元素間的直接影響——有方向的弧正面影響——弧旁的+號；負面影響——弧旁的–號帶符號的有向圖符號＋、－～客觀規(guī)律；方針政策例能源利用系統(tǒng)的預測+-+-++++--+v2v1v3v4v6v7v5帶符號有向圖G1=(V,E)的鄰接矩陣AV~頂點集

,E~弧集定性模型-vivj+某時段vi

增加導致下時段vj

增加(減少)帶符號的有向圖G1+-+-++++--+v2v1v3v4v6v7v5加權(quán)有向圖G2及其鄰接矩陣W定量模型某時段vi

增加1單位導致下時段vj

增加wij單位v70.311.511.51.20.8-2-2-0.7-0.5v1v2v3v4v5v6加權(quán)有向圖G2沖量過程（PulseProcess)研究由某元素vi變化引起的系統(tǒng)的演變過程vi(t)~vi在時段t的值；pi(t)~vi在時段t的改變量(沖量)沖量過程模型或能源利用系統(tǒng)的預測簡單沖量過程——初始沖量p(0)中某個分量為1，其余為0的沖量過程.若開始時能源利用量有突然增加，預測系統(tǒng)的演變.設能源利用系統(tǒng)的p(t)和v(t)-110-11-100011-100000100000010000000231-10010-12-21-110-11-11-10103-32-211-1簡單沖量過程S的穩(wěn)定性

任意時段S的各元素的值和沖量是否為有限(穩(wěn)定)?

S不穩(wěn)定時如何改變可以控制的關系使之變?yōu)榉€(wěn)定?

S沖量穩(wěn)定~對任意i,t,|pi(t)|有界

S值穩(wěn)定~對任意i,t,|vi(t)|有界值穩(wěn)定沖量穩(wěn)定S的穩(wěn)定性取決于W的特征根記W的非零特征根為

S沖量穩(wěn)定

|

|1

S沖量穩(wěn)定

|

|1且均為單根

S值穩(wěn)定

S沖量穩(wěn)定且

不等于1對于能源利用系統(tǒng)的鄰接矩陣A特征多項式能源利用系統(tǒng)存在沖量不穩(wěn)定的簡單沖量過程簡單沖量過程S的穩(wěn)定性簡單沖量過程的穩(wěn)定性改進的玫瑰形圖S*

~帶符號的有向圖雙向連通，且存在一個位于所有回路上的中心頂點.回路長度~構(gòu)成回路的邊數(shù).回路符號~構(gòu)成回路的各有向邊符號+1或-1之乘積.ak~長度為k的回路符號和r~使ak不等于0的最大整數(shù)

S*沖量穩(wěn)定

若S*沖量穩(wěn)定，則S*值穩(wěn)定

+-+-++++--+v2v1v3v4v6v7v5簡單沖量過程S*的穩(wěn)定性a1=0,

a2=(-1)v1v2

(-1)v2v1=1a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=1,a4=0,a5=1,r=5S*沖量穩(wěn)定

(-1)v1v2

(+1)v1v2(由鼓勵利用變?yōu)橄拗评?

a2

=-1+S*沖量不穩(wěn)定A的特征多項式S*沖量穩(wěn)定

S*沖量穩(wěn)定

|

|1且均為單根v1~利用量,v2~價格v7+-+-++++--+v2v1v3v4v6v5

若S*沖量穩(wěn)定，則S*值穩(wěn)定

S*沖量穩(wěn)定

v3—能源生產(chǎn)率v5—工業(yè)產(chǎn)值(-1)v3v5違反客觀規(guī)律S*值不穩(wěn)定S*值穩(wěn)定(+1)v3v5

(-1)v3v5能源利用系統(tǒng)的值不應穩(wěn)定？-+-+++++--+v2v1v3v4v6v7v5+簡單沖量過程S*的穩(wěn)定性社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程

定性與定量相結(jié)合的系統(tǒng)分析方法,適合社會經(jīng)濟領域中復雜大系統(tǒng)的宏觀研究.

解決問題的關鍵是確定研究的對象及其范圍(系統(tǒng)的邊界),以及各因素間的相互關系.

以能源系統(tǒng)為例介紹有向圖和沖量過程的建模方法.

沖量過程模型及預測是簡單的,但是穩(wěn)定性判斷及其改進比較復雜.8.4公平的席位分配每10年，美國聯(lián)邦政府進行一次全國人口普查,各州在聯(lián)邦眾議院的代表名額也據(jù)此重新確定.公平的席位分配問題（apportionment）2000年人口普查后，猶他州向聯(lián)邦政府提出控訴，說分配給北卡羅萊納州的名額應該是他們的.問題的數(shù)學本質(zhì)是什么？事實上，過去200年來，美國國會在名額分配上打過多起法律官司，曾有過長期爭論并使用過4種分配方案.一個簡單例子系別學生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5

乙6331.5

丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問題三個系學生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10,6,4席.因?qū)W生轉(zhuǎn)系,三系人數(shù)為103,63,34,如何分配20席?若代表會議增加1席，如何分配21席?比例加慣例對丙系公平嗎？系別學生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3

乙6331.56.3

丙3417.03.4總和200100.020.020系別學生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310

乙6331.56.36

丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021模型已知:m方人數(shù)分別為

p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N.

各方先分配qi的整數(shù)部分[qi],總余額為

記ri

=qi-[qi],則第i方的分配名額ni為要求已知份額向量q=(q1,…,qm)>0,找一個非負整數(shù)分配向量n=(n1,…,nm),使n與q最接近.比例加慣例法記qi=Npi/P,稱為第i方的份額(i=1,2,…,m)背景Hamilton(比例加慣例)方法A.Hamilton提出的這種辦法1792年被美國國會否決

1850-1900年被美國國會采用(稱為Vinton法)

又稱為最大剩余法（GR:GreatestRemainders）或最大分數(shù)法（LF:LargestFractions），等等

席位悖論—總席位增加反而可能導致某州席位減少

1880年Alabama州曾遇到，又稱Alabama悖論

該方法的另一個重大缺陷：（下頁給例子）

人口悖論—某州人口增加較多反而可能該州席位減少

Hamilton方法的不公平性1.p1,p2,…,

pm不變,N的增加會使某個ni減少(上例).2.N不變,pi比pj的增長率大,會使ni減少nj增加(下例).pinii=110311i=2637i=3343和20021pi1146434212ni116421pini1031063634420020pi114(+10.6%)6338(+11.8%)215ni116320“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當p1/n1=p2/n2

時，分配公平

p1/n1–p2/n2~對A的絕對不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對不公平度相同若p1/n1>p2/n2

，對不公平A

p1/n1–p2/n2=5公平分配方案應使rA

,rB

盡量小設A,B已分別有n1,n2席,若增加1席,問應分給A,還是B?不妨設分配開始時p1/n1>p2/n2

，即對A不公平.~對A的相對不公平度將絕對度量改為相對度量類似地定義rB(n1,n2)

將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2

，定義1）若p1/(n1+1)>p2/n2

，則這席應給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2

，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應計算rB(n1+1,n2)應計算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應給應討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應給B當rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B

定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方相等比例法,即EP法(Huntington,1921)計算，三系用EP方法重新分配21個席位一席一席地將前19席分配完畢后的結(jié)果甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3與Hamilton法結(jié)果相同第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席,乙系6席,丙系4席EP方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系20世紀20年代哈佛大學E.V.Huntington做了系統(tǒng)研究.EP法每增加1席地計算，不會出現(xiàn)席位悖論和人口悖論.

有沒有其他的不公平度衡量指標？

當總席位為s時第i方分配的席位記作fi(p,s),fi(p,0)=0除數(shù)法（Huntington，1921）

對于非負整數(shù)n定義一個非負單調(diào)增函數(shù)d(n)

讓s每次1席地遞增至N，按照以下準則分配:

記ni=fi(p,s)，若則令fk(p,s+1)=nk+1,fi(p,s+1)=ni(i≠k)５種除數(shù)法Huntington除數(shù)法除數(shù)d(n)不公平度的度量指標（設pi/ni≥pj/nj）以人名命名的稱謂最大除數(shù)法（GD：Greatestdivisors)n+1njpi/pj-niJefferson;Seaton;d?Hondt主要分數(shù)法（MF：Majorfraction)n+1/2nj/pj-ni/piWebster相等比例法（EP：Equalproportions)njpi/nipj-1Hill調(diào)和平均法（HM：Harmonicmean)2n(n+1)/

(2n+1)pi/ni-pj/njDean最小除數(shù)法（SD：Smallestdivisors)nnj-nipj/piAdamsEP(幾何平均)MF(算術平均)HM(調(diào)和平均)5種除數(shù)法：一個數(shù)值例子

piqiGDMFEPHMSDA90619.061109999B71797.17978777C52595.25955655D33193.31933343E11821.18211112總和26000262626262626一般情況下，偏向程度也按照表中的順序：

GD偏向人數(shù)pi較大的一方

SD偏向人數(shù)較小的一方公平的席位分配：優(yōu)化模型MF法：

最大剩余法(GR)實際上解決了以下優(yōu)化問題：你能證明這些結(jié)論嗎？任意lt范數(shù)(t≥1),如：1,2,∞范數(shù)EP法：模型的公理化研究關鍵性質(zhì)1)

~份額性2)fi

(p,s)

fi

(p,s+1)

~席位單調(diào)性~人口單調(diào)性3)若pi'

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