初中數(shù)學(xué)（全國一等獎(jiǎng)）

知識(shí)梳理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾股定理在Rt△ABC中，∠C=900，則有a2+b2=c2cabS1=c2S3=a2S2=b2S1=S2+S3勾股定理的推導(dǎo)方法1從圖形的面積上考慮cba∵∴∴abc勾股定理的推導(dǎo)方法2勾股定理的推導(dǎo)方法31881年，伽菲爾德就任美國第20任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)證法”。ABCDEabcabc

求出下列直角三角形中未知邊的長度x68解：由勾股定理得：x2=36+64x2=100x2=62+82∴x=10∵x>0x513∵x2+52=132∴x2=132-52x2=169-25x2=144∴x=12∵x>0勾股定理的基本應(yīng)用1.記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如勾股數(shù)：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，252.用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)勾股定理計(jì)算時(shí)常用的勾股數(shù)

典例解析勾股定理的實(shí)際應(yīng)用例1.一個(gè)長方形零件（如圖）,根據(jù)所給的尺寸(單位mm),求兩孔中心A、B之間的距離.AB901604040C解：過A作鉛垂線，過B作水平線，兩線交于點(diǎn)C，則∠ACB=90°，AC=90-40=50（mm）BC=160-40=120（mm)由勾股定理有：AB2=AC2+BC2=502+1202=16900（mm2)∵AB＞0,∴AB=130(mm)答：兩孔中心A，B的距離為130mm.例2.如圖，將長為10米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為6米。CABA1C1

(1)求梯子上端A到墻的底端B的距離AB。(2)若梯子下部C向后移動(dòng)2米到C1點(diǎn)，那么梯子上部A向下移動(dòng)了多少米？解（1）∵AC2=AB2+BC2∴AB2=AC2-BC2=102-62=64∴AB=8（2）BC1=6+2=8,A1C1=10∵A1C12=A1B2+BC12∴A1B2=A1C2-BC12=102-82=36∴A1B=6∴A1A=8-6=2思考：是否梯子下部向后移動(dòng)的距離，等于梯子上部向下移動(dòng)的距離呢？拓展提高勾股定理的綜合應(yīng)用例1：已知：如圖，等邊△ABC的邊長是6cm。⑴求等邊△ABC的高。⑵求S△ABCABDC解(1)作AD⊥BC.AD2=AB2-BD2=62-32=27AD=3√3⑵求S△ABC=6×3√3÷2=9√3勾股定理與方程的綜合應(yīng)用例1.已知直角三角形的周長為12，一條直角邊長為4，則這個(gè)三角形的面積

解：設(shè)另一條直角邊長為x,根據(jù)勾股定理得x2+42=(12-4-x)2X=3x2+42=(8-x)2x2+42=64-16x+x2例2.已知直角三角形的周長為30cm,斜邊長為13cm，求這個(gè)三角形的面積。解：設(shè)兩直角邊分別為a,b,則a+b=30