多項式插值的震蕩現(xiàn)象

./數(shù)值分析課程設(shè)計多項式插值的震蕩現(xiàn)象指導(dǎo)教師學(xué)院名稱專業(yè)名稱提交日期問題的提出在一個固定區(qū)間上用插值逼近一個函數(shù)。顯然,拉格朗日插值中使用的節(jié)點越多,插值多項式的次數(shù)就越高。而插值多項式增加時,Ln<x>是否也更加靠近被逼近的函數(shù)。下面就這個問題展開實驗。實驗容設(shè)區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),對其等距劃分,寫出其拉格朗日插值多項式為。通過不斷增加分點數(shù)n=2,3,…。并：I.畫出原函數(shù)f<x>及插值多項式函數(shù)Ln<x>在[-1,1]上的圖像；II.給出每一次逼近的最大誤差；III.比較并分析實驗結(jié)果。選擇其他函數(shù),如定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)和,重復(fù)上述I、II、III三個步驟看其結(jié)果如何。區(qū)間[a,b]上切比雪夫點的定義為,k=1,2,…,n+1。以,,…,為插值節(jié)點構(gòu)造上述各函數(shù)的Lagrange插值多項式,比較其結(jié)果。實驗結(jié)果及分析I.畫出函數(shù)f<x>及其插值多項式函數(shù)Ln<x>在[-1,1]上的圖像,如下圖,〔程序代碼1.1.1II.由于fminbnd函數(shù)的不可靠性,先通過編程繪出每次逼近在定義區(qū)間上的誤差如下圖,〔程序代碼1.1.2觀察圖像可知每次逼近的最大誤差在哪個區(qū)間,再通過編程縮小區(qū)間,得到其每次逼近最大誤差為〔截圖如下,程序代碼1.1.3,III.比較并分析實驗結(jié)果：〔1在同一個坐標(biāo)系中繪制f<x>及5次、7次等多次插值后的圖像。從圖中可以很清楚的看出,在[-0.4,0.4]的區(qū)間,隨著插值次數(shù)的增加插值圖像越來越逼近f<x>,然而當(dāng)|x|>0.8以后,插值曲線圍繞原函數(shù)曲線發(fā)生劇烈震蕩現(xiàn)象,尤其是插值次數(shù)越多時震蕩越強烈?！?在同一個坐標(biāo)系中繪制每次插值后的誤差圖像。從圖中可以看出較大誤差主要出現(xiàn)在中心及兩段,而就每次逼近的最大誤差分析?？梢杂^察到：1.當(dāng)插值次數(shù)在一定區(qū)間上增多時,其最大誤差變小,即吻合度增高〔5次插值最大誤差是0.437,7次插值最大誤差是0.2474；2.而超過一定區(qū)間,隨著插值次數(shù)增加其最大誤差越大,而且其最大誤差x的取值越趨向于兩端,于是發(fā)生了震蕩現(xiàn)象。h<x>：I.畫出函數(shù)h<x>及其插值多項式函數(shù)Ln<x>在[-1,1]上的圖像,如下圖〔程序代碼2.1.1：II.同理先通過編程繪出每次逼近在定義區(qū)間上的誤差如下圖〔程序代碼2.1.2,再通過縮小區(qū)間,編程計算每次逼近最大誤差如下〔截圖如下,程序代碼2.1.3：III.比較并分析實驗結(jié)果：〔1在同一個坐標(biāo)系中繪制h<x>及5次、10次等多次插值后的圖像。與第一個實驗相似,從圖中可以看出,在[-3,3]的區(qū)間,隨著插值次數(shù)的增加插值圖像越來越逼近h<x>,然而當(dāng)|x|>4以后,插值曲線圍繞原函數(shù)曲線發(fā)生劇烈震蕩現(xiàn)象,而無論插值次數(shù)多少,震蕩都很強烈。不過插值次數(shù)越多偏離越遠,誤差越大。〔2就每次逼近的最大誤差分析。可以觀察到：隨著插值次數(shù)的增加,在區(qū)間[-4,4],插值函數(shù)的吻合度越大,甚至可以忽略誤差。而在兩端卻誤差增大許多,而且越趨向于兩端點。g<x>：I.畫出函數(shù)g<x>及其插值多項式函數(shù)Ln<x>在[-1,1]上的圖像,如下圖〔程序代碼2.2.1,II.同理先通過編程繪出每次逼近在定義區(qū)間上的誤差如下圖〔程序代碼2.2.2,再通過縮小區(qū)間,編程計算每次逼近最大誤差如下〔截圖如下,程序代碼2.2.3：III.比較并分析實驗結(jié)果：〔1在同一個坐標(biāo)系中繪制g<x>及5次、10次等多次插值后的圖像。從圖中可以看出：與第1、2個函數(shù)不同,這里的10次插值函數(shù)整體擬合程度最好,在兩端并沒有發(fā)生較劇烈的震蕩現(xiàn)象；而插值次數(shù)到了15或20次時,震蕩非常強烈。〔2就每次逼近的最大誤差分析。其結(jié)果與上兩個函數(shù)大致一樣,就不做詳細說明了。以切比雪夫點為插值點構(gòu)造上述3個函數(shù)的拉格朗日插值公式,并畫圖,f<x>〔程序代碼3.1.1：h<x>〔程序代碼3.2.1：g<x>〔程序代碼3.3.1：先通過畫圖并觀察,縮小區(qū)間得到每次逼近的最大誤差：f<x>〔程序代碼3.1.2：〔程序代碼3.1.3h<x>〔程序代碼3.2.2：〔程序代碼3.2.3g<x>〔程序代碼3.3.2：〔程序代碼3.3.3通過觀察3個原函數(shù)及插值函數(shù)圖象,可以看出隨著插值次數(shù)的增加插值圖象越來越逼近原函數(shù),圍繞著原函數(shù)圖像來回波動,并且在兩端并沒有出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象；而分析其3個函數(shù)的每次插值函數(shù)的誤差圖像及每次插值的最大誤差。可知：較大的誤差主要出現(xiàn)在區(qū)間的中心附近,越靠近兩段,誤差反而越小,而且插值次數(shù)越多,其最大誤差越小,即擬合度更高。由此很明顯,以切比雪夫點為插值點的插值函數(shù),比等距劃分插值點的插值函數(shù)有更好的擬合性和估計性。關(guān)于本設(shè)計的體會做了兩個星期的課程設(shè)計,首先的感觸就是很煩,然后感覺收獲了很多,包括對Matlab的熟悉程度有很大的提升、對Matlab一些置函數(shù)也有了很好的理解和運用、鍛煉了自己自習(xí)找資料的能力。而做這個課程設(shè)計的主要的困難就是做出第一個函數(shù)的繪圖、誤差分析等等,因為后面無論是其它兩個函數(shù)或者用切比雪夫點構(gòu)造的三個函數(shù)的插值函數(shù),都是萬變不離其宗。而這次設(shè)計的過程和結(jié)果,也存在較多不足之處。對Matlab一些函數(shù)的不了解,導(dǎo)致花大量的時間走了彎路,并得到不太理想的結(jié)果,例如：無法通過一個循環(huán)語句；還有就是在分析結(jié)果時,不能很透徹的分析到位,尚且有待提高。參考文獻[1]任玉杰,數(shù)值分析及其MATLAB實現(xiàn)[M],,高等教育,2007[2]史萬明吳裕樹,數(shù)值分析[M],,理工大學(xué),2010-4附錄I.運行環(huán)境〔計算機型號DELLN4030：II.運行時間：20XX5月30日星期三20：00III.程序代碼：定義兩個m函數(shù)：f.m：functionz=f<x>z=1/<1+25*<x^2>>Lf.m：functionLn=Lf<x,n>Ln=0%初始化Lnfori=1:n+1X<i>=-1+2*<i-1>/n;%平均劃分節(jié)點,并存儲在X矩陣endfori=1:n+1%該循環(huán)得出各項ai<x>f<xi>想加之和q=f<X<i>>forj=1:n+1%該循環(huán)得出每一項的ai<x>f<xi>ifi~=jq=q*<x-X<j>>/<X<i>-X<j>>endendLn=Ln+qend〔程序代碼1.1.1[繪圖]運行窗口主程序：fplot<'f<x>',[-11],'r'>%畫出原函數(shù)圖像holdon%保留圖像color=['g','b','m','k','c','y']%定義顏色字符組fplot<'Lf<x,5>',[-11],color<1>>%分別畫出5,7,9,11,13,15次fplot<'Lf<x,7>',[-11],color<2>>%插值的圖像fplot<'Lf<x,9>',[-11],color<3>>fplot<'Lf<x,11>',[-11],color<4>>fplot<'Lf<x,13>',[-11],color<5>>fplot<'Lf<x,15>',[-11],color<6>>legend<'原函數(shù)','5次','7次','9次','11次','13次','15次'>title<'多項式插值的震蕩現(xiàn)象'>%表明圖像名稱axis<[-1,1,-1,1]>%縮小觀察圍gridon%圖像中顯示網(wǎng)格,易于觀察〔程序代碼1.1.2[繪圖表示誤差]運行窗口主程序：holdon%保留圖像color=['g','b','m','k','c','y']%定義顏色字符組fplot<'-abs<f<x>-Lf<x,5>>',[-11],color<1>>%分別畫出每次插值fplot<'-abs<f<x>-Lf<x,7>>',[-11],color<2>>%在定義區(qū)間上的誤差fplot<'-abs<f<x>-Lf<x,9>>',[-11],color<3>>fplot<'-abs<f<x>-Lf<x,11>>',[-11],color<4>>fplot<'-abs<f<x>-Lf<x,13>>',[-11],color<5>>fplot<'-abs<f<x>-Lf<x,15>>',[-11],color<6>>legend<'5次','7次','9次','11次','13次','15次'>title<'逼近函數(shù)與原函數(shù)在區(qū)間上的誤差'>%表明圖像名稱gridon%圖像中顯示網(wǎng)格,易于觀察axis<[-1,1,-2.2,0]>%縮小觀察圍〔程序代碼1.1.3[計算誤差]運行窗口主程序：[xmin<1>,ymin<1>]=fminbnd<'-abs<f<x>-Lf<x,5>>',-0.2,0.2>%計算5次插值多項式與原函數(shù)之間差的最大值,下面同理[xmin<2>,ymin<2>]=fminbnd<'-abs<f<x>-Lf<x,7>>',-0.2,0.2>[xmin<3>,ymin<3>]=fminbnd<'-abs<f<x>-Lf<x,9>>',-1,-0.8>[xmin<4>,ymin<4>]=fminbnd<'-abs<f<x>-Lf<x,11>>',-1,-0.8>[xmin<5>,ymin<5>]=fminbnd<'-abs<f<x>-Lf<x,13>>',-1,-0.8>[xmin<6>,ymin<6>]=fminbnd<'-abs<f<x>-Lf<x,15>>',-1,-0.8>函數(shù)：定義兩個m函數(shù)：h.m：functiony=h<x>y=x/<1+x^4>Lh.m：functionLn=Lh<x,n>Ln=0%初始化Lnfori=1:n+1%平均劃分節(jié)點,并存儲在X矩陣X<i>=-5+10*<i-1>/n;endfori=1:n+1%該循環(huán)得出各項ai<x>f<xi>想加之和q=h<X<i>>forj=1:n+1%該循環(huán)得出每一項的ifi~=jq=q*<x-X<j>>/<X<i>-X<j>>endendLn=Ln+qend〔程序代碼2.1.1[繪圖]運行窗口主程序：fplot<'h<x>',[-55],'r'>%畫出原函數(shù)圖像holdon%保留圖像color=['g','b','m','k']%定義顏色字符組fplot<'Lh<x,5>',[-55],color<1>>%分別畫出5,7,9,11,13,15次fplot<'Lh<x,10>',[-55],color<2>>%插值的圖像fplot<'Lh<x,15>',[-55],color<3>>fplot<'Lh<x,20>',[-55],color<4>>legend<'原函數(shù)','5次','10次','15次','20次'>title<'多項式插值的震蕩現(xiàn)象'>%表明圖像名稱axis<[-5,5,-1,1]>%縮小觀察圍gridon%圖像中顯示網(wǎng)格,易于觀察〔程序代碼2.1.2[繪圖表示誤差]運行窗口主程序：holdoncolor=['g','b','m','k']fplot<'-abs<h<x>-Lh<x,5>>',[-55],color<1>>fplot<'-abs<h<x>-Lh<x,10>>',[-55],color<2>>fplot<'-abs<h<x>-Lh<x,15>>',[-55],color<3>>fplot<'-abs<h<x>-Lh<x,20>>',[-55],color<4>>legend<'5次','10次','15次','20次'>title<'逼近函數(shù)與原函數(shù)在區(qū)間上的誤差'>gridon〔程序代碼2.1.3[計算誤差]運行窗口主程序：[xmin<1>,ymin<1>]=fminbnd<'-abs<h<x>-Lh<x,5>>',-5,-4>[xmin<2>,ymin<2>]=fminbnd<'-abs<h<x>-Lh<x,10>>',-5,-4>[xmin<3>,ymin<3>]=fminbnd<'-abs<h<x>-Lh<x,15>>',-5,-4>[xmin<4>,ymin<4>]=fminbnd<'-abs<h<x>-Lh<x,20>>',-5,-4>函數(shù)：定義兩個m函數(shù)：g.m：functiony=g<x>y=atan<x>Lg.m：functionLn=Lg<x,n>Ln=0%初始化Lnfori=1:n+1%平均劃分節(jié)點,并存儲在X矩陣X<i>=-5+10*<i-1>/n;endfori=1:n+1%該循環(huán)得出各項ai<x>f<xi>想加之和q=g<X<i>>forj=1:n+1%該循環(huán)得出每一項的ifi~=jq=q*<x-X<j>>/<X<i>-X<j>>endendLn=Ln+qend〔程序代碼2.2.1[繪圖]運行窗口主程序：fplot<'g<x>',[-55],'r'>%畫出原函數(shù)圖像holdon%保留圖像color=['g','b','m','k']%定義顏色字符組fplot<'Lg<x,5>',[-55],color<1>>%分別畫出5,7,9,11,13,15次fplot<'Lg<x,10>',[-55],color<2>>%插值的圖像fplot<'Lg<x,15>',[-55],color<3>>fplot<'Lg<x,20>',[-55],color<4>>legend<'原函數(shù)','5次','10次','15次','20次'>title<'多項式插值的震蕩現(xiàn)象'>%表明圖像名稱axis<[-5,5,-4,4]>%縮小觀察圍gridon%圖像中顯示網(wǎng)格,易于觀察〔程序代碼2.2.2[繪圖表示誤差]運行窗口主程序：holdoncolor=['g','b','m','k']fplot<'-abs<g<x>-Lg<x,5>>',[-55],color<1>>fplot<'-abs<g<x>-Lg<x,10>>',[-55],color<2>>fplot<'-abs<g<x>-Lg<x,15>>',[-55],color<3>>fplot<'-abs<g<x>-Lg<x,20>>',[-55],color<4>>legend<'5次','10次','15次','20次'>title<'逼近函數(shù)與原函數(shù)在區(qū)間上的誤差'>gridon〔程序代碼2.2.3[計算誤差]運行窗口主程序：[xmin<1>,ymin<1>]=fminbnd<'-abs<g<x>-Lg<x,5>>',-5,-4>[xmin<2>,ymin<2>]=fminbnd<'-abs<g<x>-Lg<x,10>>',-5,-4.5>[xmin<3>,ymin<3>]=fminbnd<'-abs<g<x>-Lg<x,15>>',-5,-4.5>[xmin<4>,ymin<4>]=fminbnd<'-abs<g<x>-Lg<x,20>>',-5,-4.5>切比雪夫點為插值節(jié)點構(gòu)造f<x>插值多項式：定義m函數(shù)：Lf0<x,n>.m：functionLn=Lf0<x,n>Ln=0fori=1:n+1X<i>=cos<<2*i-1>*pi/2/<n+1>>;endfori=1:n+1q=f<X<i>>forj=1:n+1ifi~=jq=q*<x-X<j>>/<X<i>-X<j>>endendLn=Ln+qend〔程序代碼3.1.1[繪圖]運行窗口主程序：fplot<'f<x>',[-11],'r'>%畫出原函數(shù)圖像holdon%保留圖像color=['g','b','m','k','c','y']%定義顏色字符組fplot<'Lf0<x,5>',[-11],color<1>>%分別畫出5,7,9,11,13,15次fplot<'Lf0<x,7>',[-11],color<2>>%插值的圖像fplot<'Lf0<x,9>',[-11],color<3>>fplot<'Lf0<x,11>',[-11],color<4>>fplot<'Lf0<x,13>',[-11],color<5>>fplot<'Lf0<x,15>',[-11],color<6>>legend<'原函數(shù)','5次','7次','9次','11次','13次','15次'>title<'多項式插值的震蕩現(xiàn)象'>%表明圖像名稱axis<[-1,1,0,1]>%縮小觀察圍gridon%圖像中顯示網(wǎng)格,易于觀察〔程序代碼3.1.2[繪圖表示誤差]運行窗口主程序：holdon%保留圖像color=['g','b','m','k','c','y']%定義顏色字符組fplot<'-abs<f<x>-Lf0<x,5>>',[-11],color<1>>fplot<'-abs<f<x>-Lf0<x,7>>',[-11],color<2>>fplot<'-abs<f<x>-Lf0<x,9>>',[-11],color<3>>fplot<'-abs<f<x>-Lf0<x,11>>',[-11],color<4>>fplot<'-abs<f<x>-Lf0<x,13>>',[-11],color<5>>fplot<'-abs<f<x>-Lf0<x,15>>',[-11],color<6>>legend<'5次','7次','9次','11次','13次','15次'>title<'逼近函數(shù)與原函數(shù)在區(qū)間上的誤差'>%表明圖像名稱gridonaxis<[-1,1,-0.6,0]>〔程序代碼3.1.3[計算誤差]運行窗口主程序：[xmin<1>,ymin<1>]=fminbnd<'-abs<f<x>-Lf0<x,5>>',-0.2,0.2>[xmin<2>,ymin<2>]=fminbnd<'-abs<f<x>-Lf0<x,7>>',-0.2,0.2>[xmin<3>,ymin<3>]=fminbnd<'-abs<f<x>-Lf0<x,9>>',-0.2,0.2>[xmin<4>,ymin<4>]=fminbnd<'-abs<f<x>-Lf0<x,11>>',-0.2,0.2>[xmin<5>,ymin<5>]=fminbnd<'-abs<f<x>-Lf0<x,13>>',-0.2,0.2>[xmin<6>,ymin<6>]=fminbnd<'-abs<f<x>-Lf0<x,15>>',-0.2,0.2>切比雪夫點為插值節(jié)點構(gòu)造h<x>插值多項式：定義m函數(shù)：Lh0<x,n>.m：functionLn=Lh0<x,n>Ln=0fori=1:n+1X<i>=5*cos<<2*i-1>*pi/2/<n+1>>;endfori=1:n+1q=h<X<i>>forj=1:n+1ifi~=jq=q*<x-X<j>>/<X<i>-X<j>>endendLn=Ln+qend〔程序代碼3.2.1[繪圖]運行窗口主程序：fplot<'h<x>',[-55],'r'>%畫出原函數(shù)圖像holdon%保留圖像color=['g','b','m','k']%定義顏色字符組fplot<'Lh0<x,5>',[-55],color<1>>%分別畫出5,7,9,11,13,15次fplot<'Lh0<x,10>',[-55],color<2>>%插值的圖像fplot<'Lh0<x,15>',[-55],color<3>>fplot<'Lh0<x,20>',[-55],color<4>>legend<'原函數(shù)','5次','10次','15次','20次'>title<'多項式插值的震蕩現(xiàn)象'>%表明圖像名稱axis<[-5,5,-0.6,0.6]>%縮小觀察圍gridon%圖像中顯示網(wǎng)格,易于觀察〔程序代碼3.2.2[繪圖表示誤差]運行窗口主程序：holdoncolor=['g','b','m','k']fplot<'-abs<h<x>-Lh0<x,5>>',[-55],color<1>>fplot<'-abs<h<x>-Lh0<x,10>>',[-55],color<2>>fplot<'-abs<h<x>-Lh0<x,15>>',[-55],color<3>>fplot<'-abs<h<x>-Lh0<x,20>>',[-55],color<4>>legend<'5次','10次','15次','20次'>title<'逼近函數(shù)與原函數(shù)在區(qū)間上的誤差'>gridon〔程序代碼3.2.3[計算誤差]運行窗口主程序：[xmin<1>,ymin<1>]=fminbnd<'-abs<h<x>-Lh0<x,5>>',-1,0>[xmin<2>,ymin<2>]=fminbnd<'-abs<h<x>-Lh0<x,10>>',-1,0>[xmin<3>,ymin<3>]=fminbnd<'-abs<h<x>-Lh0<x,15>>',-2.5,-1.5>[xmin<4>,ymin<4>]=fminbnd<'-abs<h<x>-Lh0<x,20>>',-1,0>切比雪夫點為插值節(jié)點構(gòu)造g<x>插值多項式：定義m函數(shù)：Lg0<x,n>.m：functionLn=Lg0<x,n>Ln=0fori=1:n+1X<i>=5*cos<<2*i-1>*pi/2/<n+1>>;endfori=1:n+1q=g<X<i>>forj=1:n+1ifi~=