2024屆北京市中央民族大學(xué)附中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆北京市中央民族大學(xué)附中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長分別為，，，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為（）A.6 B.C.12 D.2．已知函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.4．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A.18 B.9C.6 D.25．已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)、、、互不相等，且，則的取值范圍為（）A. B.C. D.6．某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示該人離單位的距離，x表示出發(fā)后的時(shí)間，那么下列圖象中符合此人走法的是（）.A. B.C. D.7．下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是A. B.C. D.8．關(guān)于的方程的所有實(shí)數(shù)解的和為A.2 B.4C.6 D.89．已知點(diǎn)在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相切 B.相交C.相離 D.不確定10．“”是“關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的值為___________.12．已知，則用表示______________；13．已知，，則_________.14．設(shè)奇函數(shù)對任意的，，有，且，則的解集___________.15．已知函數(shù)．則函數(shù)的最大值和最小值之積為______16．已知冪函數(shù)y＝xα的圖象過點(diǎn)(4，)，則α＝__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于對稱.（1）求的值；（2）若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?，若存在，求出?shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由.18．已知的數(shù)（1）有解時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，總有，求定的取值范圍19．已知直線與的交點(diǎn)為.（1）求交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求過交點(diǎn)且平行于直線的直線方程.20．如圖，某公園摩天輪的半徑為40，圓心O距地面的高度為50，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每3轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點(diǎn)P的起始位置在距地面最近處.（1）已知在時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為，求時(shí)，點(diǎn)P距離地面的高度；（2）當(dāng)離地面以上時(shí)，可以看到公園的全貌，求轉(zhuǎn)一圈中在點(diǎn)P處有多少時(shí)間可以看到公園的全貌.21．已知A（1，1）和圓C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1，一束光線從A發(fā)出，經(jīng)x軸反射后到達(dá)圓C（1）求光線所走過的最短路徑長；（2）若P為圓C上任意一點(diǎn)，求x2+y2﹣2x﹣4y的最大值和最小值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】根據(jù)海倫秦九韶公式和基本不等式直接計(jì)算即可.【題目詳解】由題意得：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故選：B2、D【解題分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可求出的取值范圍.【題目詳解】作函數(shù)和的圖象，如圖所示，可知的取值范圍是，故選D．3、C【解題分析】根據(jù)奇偶性排除A和D，由排除B.【題目詳解】由圖可知，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，是奇函數(shù),，，則函數(shù)，是偶函數(shù)，排除A和D．當(dāng)時(shí)，恒成立，排除B.故選：C4、C【解題分析】，利用基本不等式注意等號成立條件，求最小值即可【題目詳解】∵，，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號∴的最小值為6故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用基本不等式求和的最小值，注意應(yīng)用基本不等式的前提條件：“一正二定三相等”5、A【解題分析】利用分段函數(shù)的定義作出函數(shù)的圖象，不妨設(shè)，根據(jù)圖象可得出，，，的范圍同時(shí)，還滿足，即可得答案【題目詳解】解析：如圖所示：正實(shí)數(shù)、、、互不相等，不妨設(shè)∵則，∴，∴且，，∴故選：A6、D【解題分析】根據(jù)隨時(shí)間的推移該人所走的距離的大小的變化快慢，從而即可獲得問題的解答，即先利用時(shí)的函數(shù)值排除兩項(xiàng)，再利用曲線的斜率反映行進(jìn)速度的特點(diǎn)選出正確結(jié)果【題目詳解】解：由題意可知：時(shí)所走的路程為0，離單位的距離為最大值，排除A、C，隨著時(shí)間的增加，先跑步，開始時(shí)隨的變化快，后步行，則隨的變化慢，所以適合的圖象為D；故選：D7、A【解題分析】最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)，適合；最小正周期為，不適合；最小正周期為，在區(qū)間上不單調(diào)，不適合；最小正周期為，在區(qū)間上為增函數(shù)，不適合.故選A8、B【解題分析】本道題先構(gòu)造函數(shù)，然后通過平移得到函數(shù)，結(jié)合圖像，計(jì)算，即可【題目詳解】先繪制出，分析該函數(shù)為偶函數(shù)，而相當(dāng)于往右平移一個(gè)單位，得到函數(shù)圖像為：發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)A,B,C,D關(guān)于對稱，故，故所有實(shí)數(shù)解的和為4，故選B【題目點(diǎn)撥】本道題考查了函數(shù)奇偶性判定法則和數(shù)形結(jié)合思想，繪制函數(shù)圖像，即可9、B【解題分析】由題意結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系考查圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系即可確定直線與圓的位置關(guān)系.【題目詳解】點(diǎn)在圓外，，圓心到直線距離，直線與圓相交.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10、A【解題分析】根據(jù)給定條件利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，方程的實(shí)數(shù)根為，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，則，解得，則有且，因此，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根等價(jià)于，所以“”是“關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根”的充分而不必要條件.故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##【解題分析】根據(jù)給定條件結(jié)合二倍角的正切公式計(jì)算作答.【題目詳解】因，則，所以的值為.故答案為：12、【解題分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對已知條件和目標(biāo)問題進(jìn)行化簡，即可求解.【題目詳解】因?yàn)?，故可得，解?.故答案：.【題目點(diǎn)撥】本題考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.13、【解題分析】利用兩角差的正切公式可計(jì)算出的值.【題目詳解】由兩角差的正切公式得.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用兩角差的正切公式求值，解題的關(guān)鍵就是弄清角與角之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合和，分析出的正負(fù)情況，求解.【題目詳解】對任意，，有故在上為減函數(shù)，由奇函數(shù)的對稱性可知在上為減函數(shù)，則則，，，；，；，；，.故解集為：故答案為：【題目點(diǎn)撥】正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個(gè)問題：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也成立．利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性15、80【解題分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接計(jì)算可得.【題目詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最大值和最小值之積為.故答案為：8016、【解題分析】把點(diǎn)的坐標(biāo)代入冪函數(shù)解析式中即可求出.【題目詳解】解：由冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或（3）存在，【解題分析】（1）由題意，將代入可得答案.（2）由題意即關(guān)于x的方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，設(shè),作出其函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合可得答案.（3）設(shè)記，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)題意若存在實(shí)數(shù)m滿足條件，則a，b是方程的兩個(gè)不等正根，由二次方程的根的分布的條件可得答案.【小問1詳解】由題意，，所以【小問2詳解】由題意即關(guān)于x的方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，設(shè)，作出函數(shù)在上的圖像（如下圖），，由題意，直線與該圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是或【小問3詳解】記，其中，在定義域上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，若存在實(shí)數(shù)m，使得的值域?yàn)?，則，即a，b是方程的兩個(gè)不等正根，即a，b是的兩個(gè)不等正根，所以解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題來處理，而二次方程的零點(diǎn)問題，可結(jié)合判別式的正負(fù)、特殊點(diǎn)處的函數(shù)值的正負(fù)、對稱軸的位置等來處理.18、（1）；（2）【解題分析】（1）通過分離參數(shù)法得，再通過配方法求最值即可（2）由已知得恒成立，化簡后只需滿足且，求解即可.【題目詳解】（1）由已知得，所以（2）由已知得恒成立，則所以實(shí)數(shù)的取值范圍為19、(1)點(diǎn)的坐標(biāo)是;(2)直線方程為.【解題分析】（1）聯(lián)立兩條直線的方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)條件可設(shè)所求直線方程為，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得到參數(shù)值解析：（1）由解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.（2）因?yàn)樗笾本€與平行，所以設(shè)所求直線方程為把點(diǎn)坐標(biāo)代入得，得故所求的直線方程為.20、（1）70；（2）0.5.【解題分析】（1）根據(jù)題意，確定的表達(dá)式，代入運(yùn)算即可；（2）要求，即，解不等式即可.【題目詳解】（1）依題意，，，，由得，所以.因?yàn)?，所以，又，所?所以，所以.即時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為70m.（2）由（1）知.令，即，從而，∴.∵，∴轉(zhuǎn)一圈中在點(diǎn)P處有0.5min的時(shí)間可以看到公園的全貌.【題目點(diǎn)撥】本題考查了已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，解答本題的關(guān)鍵是能根據(jù)題目條件，得出相應(yīng)的函數(shù)模型，作出正確的示意圖，然后再由三角函數(shù)中的相關(guān)知識進(jìn)行求解，解題時(shí)要注意綜合利用所學(xué)知識與題中的條件，是中檔題21、（1）；（2）最大值為11，最小值為﹣1【解題分析】(1)點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在反射光線上,當(dāng)反射光線從點(diǎn)經(jīng)軸反射到圓周的路程最短,最短為;(2)將式子化簡得到,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為圓心到的距離,加減半徑,即可求得最值.【題目詳解】（1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，由圓C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1得圓心坐標(biāo)為C