2024屆北京市西城區(qū)第十三中學高一數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)第十三中學高一數(shù)學第一學期期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)取最小值時的值為（）A.6 B.2C. D.2．已知命題p：x為自然數(shù)，命題q：x為整數(shù)，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．若表示空間中兩條不重合的直線，表示空間中兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4．已知，，且，則A.2 B.1C.0 D.-15．已知角的終邊過點，若，則A.-10 B.10C. D.6．函數(shù)的增區(qū)間是A. B.C. D.7．已知函數(shù)，則（）A. B.3C. D.8．在半徑為2的圓上，一扇形的弧所對的圓心角為，則該扇形的面積為（）A. B.C. D.9．如圖，一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為A.1 B.C. D.10．下列函數(shù)，表示相同函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知一等腰三角形的周長為12，則將該三角形的底邊長y（單位：）表示為腰長x（單位：）的函數(shù)解析式為___________.（請注明函數(shù)的定義域）12．若f(x)為偶函數(shù)，且當x≤0時，，則不等式＞的解集______.13．函數(shù)一段圖象如圖所示則的解析式為______14．若函數(shù)關于對稱，則常數(shù)的最大負值為________15．方程的解為__________16．的值為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為；_______________；（Ⅰ）在①的一條對稱軸；②的一個對稱中心；③的圖象經過點這三個條件中任選一個補充在上面空白橫線中，然后確定函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若動直線與和的圖象分別交于、兩點，求線段長度的最大值及此時的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的最大值.19．如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，平面，，點為的中點（）求證：平面（）求證：平面平面20．已知直線l經過點.（1）若在直線l上，求l的一般方程；（2）若直線l與直線垂直，求l的一般方程.21．（1）已知，，，求的最小值；（2）把角化成的形式.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】變形為，再根據(jù)基本不等式可得結果.【題目詳解】因為，所以，所以，當且僅當且，即時等號成立.故選：B【題目點撥】本題考查了利用基本不等式求最值時，取等號的條件，屬于基礎題.2、A【解題分析】根據(jù)兩個命題中的取值范圍，分析是否能得到pq和qp【題目詳解】若x為自然數(shù)，則它必為整數(shù)，即p?q但x為整數(shù)不一定是自然數(shù)，如x＝－2，即qp故p是q的充分不必要條件故選：A.3、C【解題分析】利用空間位置關系的判斷及性質定理進行判斷或舉反例判斷【題目詳解】對于A，若n?平面α，顯然結論錯誤，故A錯誤；對于B，若m?α，n?β，α∥β，則m∥n或m，n異面，故B錯誤；對于C，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β，根據(jù)面面垂直的判定定理進行判定，故C正確；對于D，若α⊥β，m?α，n?β，則m，n位置關系不能確定，故D錯誤故選C【題目點撥】本題考查了空間線面位置關系的性質與判斷，屬于中檔題4、D【解題分析】∵，∴∵∴∴故選D5、A【解題分析】因為角的終邊過點，所以，得，故選A.6、A7、D【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，令代入先求出，進而可求出的結果.【題目詳解】解：，則令，得，所以.故選：D.8、D【解題分析】利用扇形的面積公式即可求面積.【題目詳解】由題設，，則扇形的面積為.故選：D9、D【解題分析】由三視圖可知：此立體圖形是一個底面為等腰直角三角形，一條棱垂直于底面的三棱錐；所以其體積為.故選D.考點：三視圖和立體圖形的轉化；三棱錐的體積.10、B【解題分析】由兩個函數(shù)相同的定義，定義域相同且對應法則相同，依次判斷即可【題目詳解】選項A，一個為指數(shù)運算、一個為對數(shù)運算，對應法則不同，因此不為相同函數(shù)；選項B，，為相同函數(shù)；選項C，函數(shù)定義域為，函數(shù)定義域為，因此不為相同函數(shù)；選項D，與函數(shù)對應法則不同，因此不為相同函數(shù)故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】根據(jù)題意得，再結合兩邊之和大于第三邊，底邊長大于得，進而得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意得，由三角形兩邊之和大于第三邊得，所以，即，又因為，解得所以該三角形的底邊長y（單位：）表示為腰長x（單位：）的函數(shù)解析式為故答案為：12、【解題分析】由已知條件分析在上的單調性，利用函數(shù)的奇偶性可得，再根據(jù)函數(shù)的單調性解不等式即可.【題目詳解】f(x)為偶函數(shù)，且當x≤0時，單調遞增，當時，函數(shù)單調遞減，若＞，f(x)為偶函數(shù)，，，同時平方并化簡得，解得或，即不等式＞的解集為.故答案為：【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合應用，屬于中檔題.13、【解題分析】由函數(shù)的最值求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，從而得到函數(shù)的解析式【題目詳解】由函數(shù)的圖象的頂點的縱坐標可得，再由函數(shù)的周期性可得，再由五點法作圖可得，故函數(shù)的解析式為，故答案為【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，屬于中檔題14、【解題分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性，利用，建立方程進行求解即可【題目詳解】若關于對稱，則，即，即，則，則，，當時，，故答案為：15、【解題分析】令，則解得：或即，∴故答案為16、【解題分析】根據(jù)兩角和的正弦公式即可求出【題目詳解】原式故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）選①或②或③，；（Ⅱ）當或時，線段的長取到最大值.【解題分析】（Ⅰ）先根據(jù)題中信息求出函數(shù)的最小正周期，進而得出.選①，根據(jù)題意得出，結合的取值范圍可求出的值，進而得出函數(shù)的解析式；選②，根據(jù)題意得出，結合的取值范圍可求出的值，進而得出函數(shù)的解析式；選③，根據(jù)題意得出，結合的取值范圍可求出的值，進而得出函數(shù)的解析式；（Ⅱ）令，利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的基本性質求出在上的最大值和最小值，由此可求得線段長度的最大值及此時的值.【題目詳解】（Ⅰ）由于函數(shù)圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為，則該函數(shù)的最小正周期為，，此時.若選①，則函數(shù)的一條對稱軸，則，得，，當時，，此時，；若選②，則函數(shù)的一個對稱中心，則，得，，當時，，此時，；若選③，則函數(shù)的圖象過點，則，得，，，，解得，此時，.綜上所述，；（Ⅱ）令，，，，當或時，即當或時，線段的長取到最大值.【題目點撥】本題考查利用三角函數(shù)的基本性質求解析式，同時也考查了余弦型三角函數(shù)在區(qū)間上最值的計算，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）（2）4【解題分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式，求得答案；（2）根據(jù)余弦函數(shù)的性質，可求得函數(shù)f(x)的最大值.【小問1詳解】由題意可得：函數(shù)的最小正周期為：；【小問2詳解】因為，故，即的最大值為4.19、(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解題分析】(1)連接交于，連接．利用幾何關系可證得，結合線面平行的判斷定理則有直線平面(2)利用線面垂直的定義有，結合可證得平面，則，由幾何關系有，則平面，利用面面垂直的判斷定理即可證得平面平面試題解析：（）連接交于，連接因為矩形的對角線互相平分，所以在矩形中，是中點，所以在中，是中位線，所以，因為平面，平面，所以平面（）因為平面，平面，所以；在矩形中有，又，所以平面，因為平面，所以；由已知，三角形是等腰直角三角形，是斜邊的中點，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面20、（1）（2）【解題分析】（1）由兩點式可求l的一般方程；（2）由垂直關系求出直線l的斜率，結合點斜式可