北京市西城區(qū)第十三中學2024屆高一數(shù)學第一學期期末質量檢測試題含解析

北京市西城區(qū)第十三中學2024屆高一數(shù)學第一學期期末質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是A. B.C. D.3．如圖，在三棱錐S－ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關系是()A.相交 B.平行C.異面 D.以上都有可能4．青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A.1.5 B.1.2C.0.8 D.0.65．不等式的解集為R，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.6．設，則的大小關系（）A. B.C. D.7．對于空間中的直線，以及平面，，下列說法正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則8．青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V和五分記錄法的數(shù)據(jù)L滿足，已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（注：）A.0.6 B.0.8C.1.2 D.1.59．關于函數(shù)下列敘述有誤的是A.其圖象關于直線對稱B.其圖像可由圖象上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫紺.其圖像關于點對稱D.其值域為10．如圖，三棱柱中，側棱底面，底面三角形是正三角形，是中點，則下列敘述正確的是A.平面B.與是異面直線C.D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．①函數(shù)y=sin2x的單調增區(qū)間是[]，（k∈Z）；②函數(shù)y=tanx在它的定義域內是增函數(shù)；③函數(shù)y=|cos2x|的周期是π；④函數(shù)y=sin（）是偶函數(shù)；其中正確的是____________12．已知對于任意x,y均有,且時，，則是_____（填奇或偶）函數(shù)13．已知上的奇函數(shù)是增函數(shù)，若，則的取值范圍是________14．已知函數(shù)，使方程有4個不同的解：，則的取值范圍是_________;的取值范圍是________.15．在《九章算術》中,將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑(bienao).已知在鱉臑中,平面,,則該鱉臑的外接球與內切球的表面積之和為____16．已知，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．溶液酸堿度是通過pH計量的.pH的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質及上述的計算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關系；（2）已知胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，計算胃酸的.（精確到）（參考數(shù)據(jù)：）18．（1）已知，求的值；（2）計算：.19．（1）求值：；（2）求值：；（3）已知，求的值20．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值；（2）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間21．（1）計算：.（2）化簡：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】先求得全集U和，根據(jù)補集運算的概念，即可得答案.【題目詳解】由題意得全集，，所以.故選：D2、A【解題分析】根據(jù)初等函數(shù)的性質得到函數(shù)的單調性，再由得答案【題目詳解】∵函數(shù)和在上均為增函數(shù)，∴在上為單調增函數(shù)，∵，，∴函數(shù)的零點所在的區(qū)間是，故選A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)零點的判定，考查了初等函數(shù)的性質，屬于基礎題3、B【解題分析】因為G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，所以,所以．又因為M、N分別為AB、AC的中點，所以MN//BC，所以考點：線面平行的判定定理；線面平行的性質定理；公理4；重心的性質點評：我們要掌握重心性質:若G1為△SAB的重心，M為AB中點，則4、C【解題分析】根據(jù)關系，當時，求出，再用指數(shù)表示，即可求解.【題目詳解】由，當時，，則.故選：C.5、D【解題分析】對分成，兩種情況進行分類討論，結合判別式，求得的取值范圍.【題目詳解】當時，不等式化為，解集為，符合題意.當時，一元二次不等式對應一元二次方程的判別式，解得.綜上所述，的取值范圍是.故選：D【題目點撥】本小題主要考查二次項系數(shù)含有參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題的求解，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.6、C【解題分析】判斷與大小關系，即可得到答案.【題目詳解】因為，，，所以.故選：C.【題目點撥】本題主要考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質，關鍵是與中間量進行比較，然后得三個數(shù)的大小關系，屬于基礎題.7、D【解題分析】利用線面關系，面面關系的性質逐一判斷.【題目詳解】解：對于A選項，，可能異面，故A錯誤；對于B選項，可能有，故B錯誤；對于C選項，，的夾角不一定為90°，故C錯誤；故對D選項，因為，，故，因為，故，故D正確.故選：D.【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，是中檔題.8、B【解題分析】當時，即可得到答案.【題目詳解】由題意可得當時故選：B9、C【解題分析】由已知，該函數(shù)關于點對稱.故選C.10、D【解題分析】因為三棱柱A1B1C1-ABC中,側棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中點，所以對于A,AC與AB夾角為60°,即兩直線不垂直，所以AC不可能垂直于平面ABB1A1；故A錯誤；對于B,CC1與B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B錯誤；對于C,A1C1，B1E是異面直線；故C錯誤；對于D,因為幾何體是三棱柱,并且側棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中點，所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AE,AE⊥BC,得到AE⊥平面BCC1B1,所以AE⊥BB1；故選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①④【解題分析】①由，解得．可得函數(shù)單調增區(qū)間；②函數(shù)在定義域內不具有單調性；③由，即可得出函數(shù)的最小正周期；④利用誘導公式可得函數(shù)，即可得出奇偶性【題目詳解】解：①由，解得．可知：函數(shù)的單調增區(qū)間是，，，故①正確；②函數(shù)在定義域內不具有單調性，故②不正確；③，因此函數(shù)的最小正周期是，故③不正確；④函數(shù)是偶函數(shù)，故④正確其中正確的是①④故答案為：①④【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題12、奇函數(shù)【解題分析】賦值，可求得，再賦值即可得到，利用奇偶性的定義可判斷奇偶性；【題目詳解】，令，得，，再令，得，是上的奇函數(shù)；【題目點撥】本題考查了賦值法及奇函數(shù)的定義13、【解題分析】先通過函數(shù)為奇函數(shù)將原式變形，進而根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)求得答案.【題目詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，而函數(shù)在R上為增函數(shù)，則.故答案為：.14、①.②.【解題分析】先畫出分段函數(shù)的圖像，依據(jù)圖像得到之間的關系式以及之間的關系式，分別把和轉化成只有一個自變量的代數(shù)式，再去求取值范圍即可.【題目詳解】做出函數(shù)的圖像如下：在單調遞減：最小值0；在單調遞增：最小值0，最大值2；在上是部分余弦型曲線：最小值，最大值2.若方程有4個不同的解：，則不妨設四個解依次增大，則是方程的解，則，即；是方程的解，則由余弦型函數(shù)的對稱性可知.故，由得即當時，單調遞減，則故答案為：①；②15、【解題分析】M﹣ABC四個面都為直角三角形，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2，∴三角形的AC=2，從而可得MC=2，那么ABC內接球的半徑r：可得（﹣r）2=r2+（2﹣）2解得：r=2-∵△ABC時等腰直角三角形，∴外接圓半徑為AC=外接球的球心到平面ABC的距離為=1可得外接球的半徑R=故得：外接球表面積為.由已知，設內切球半徑為，，，內切球表面積為，外接球與內切球的表面積之和為故答案為：.點睛：本題考查了球與幾何體的問題，一般外接球需要求球心和半徑，首先應確定球心的位置，借助于外接球的性質，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線，這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心.16、【解題分析】直接利用二倍角的余弦公式求得cos2a的值【題目詳解】∵.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）溶液中氫離子的濃度越大，溶液的酸性就越強（2）【解題分析】（1）根據(jù)復合函數(shù)的單調性判斷說明；（2）由已知公式計算【小問1詳解】根據(jù)對數(shù)的運算性質，有.在上，隨著的增大，減小，相應地，也減小，即減小，所以，隨著的增大，減小，即溶液中氫離子的濃度越大，溶液的酸性就越強.【小問2詳解】當時，.18、（1），（2）.【解題分析】（1）把所給的式子進行平方運算，即可求出的值，找到和的關系即可求出的值；（2）化根式為分數(shù)指數(shù)冪，把對數(shù)式的真數(shù)用對數(shù)的運算性質拆開，再用對數(shù)的運算性質求解即可.【題目詳解】（1）由得，由得，故.（2）19、（1）90；（2）0；（3）.【解題分析】（1）利用指數(shù)冪的運算性質可求代數(shù)式的值.（2）利用對數(shù)的運算性質可求代數(shù)式的值.（3）將給定的代數(shù)式兩邊平方后得到，再次平方后則可求的值.【題目詳解】（1）原式（2）原式（3）因為，兩邊平方得即所以即又，所以20