河北省衡水十三中2024屆高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

河北省衡水十三中2024屆高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，則終邊在（）A.第一、三象限 B.第一、二象限C.第二、四象限 D.第三、四象限2．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，則的最大值為A. B.C. D.3．函數(shù)的最小值為（）A. B.3C. D.4．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A.1 B.2C.3 D.45．，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，十八世紀(jì)，函數(shù)被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱之為“取整函數(shù)”，則（）A.0 B.1C.7 D.86．下列說(shuō)法中，正確的是（）A.若，則B.函數(shù)與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)C.設(shè)點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則D.冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則7．用反證法證明命題：“已知.，若不能被7整除，則與都不能被7整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為A.,都能被7整除 B.,不能被7整除C.,至少有一個(gè)能被7整除 D.,至多有一個(gè)能被7整除8．對(duì)任意正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.410．對(duì)于函數(shù)，有以下幾個(gè)命題①的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，②在區(qū)間遞增③的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，④最小正周期是則上述命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，且，則的最小值為_(kāi)__________.12．函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.13．點(diǎn)分別為圓與圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為_(kāi)_________14．已知函數(shù)（且）過(guò)定點(diǎn)P，且P點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則的值為_(kāi)________15．設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，若與互斥，與對(duì)立，且，，則_____________16．設(shè)是以2為周期的奇函數(shù)，且，若，則的值等于___三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面.18．一只口袋裝有形狀大小都相同的只小球，其中只白球，只紅球，只黃球，從中隨機(jī)摸出只球，試求（1）只球都是紅球的概率（2）只球同色概率（3）“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的幾倍？19．已知函數(shù)，，.（1）若函數(shù)與的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求a；（2）若，求證：.20．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域21．已知，.（1）求；（2）若，，求，并計(jì)算.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】分和討論可得角的終邊所在的象限.【題目詳解】解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，其終邊在第三象限；當(dāng)時(shí)，，其終邊在第一象限.綜上，的終邊在第一、三象限.故選：A.2、C【解題分析】因?yàn)樵谏嫌腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以在上有三個(gè)不同的解，即函數(shù)與的圖象在上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖像，結(jié)合圖象進(jìn)而求得答案【題目詳解】因?yàn)樵谏嫌腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以在上有三個(gè)不同的解，即函數(shù)與的圖象在上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，從而取得最大值，且.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是得出函數(shù)與的圖象在上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，屬于一般題3、C【解題分析】運(yùn)用乘1法，可得，再利用基本不等式求最值即可.【題目詳解】由三角函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時(shí)，等號(hào)成立.故選：C【題目點(diǎn)撥】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.4、B【解題分析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則：，據(jù)此可得：，據(jù)此有：，即函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，由函數(shù)的解析式可知：，則函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)在R上有2個(gè)零點(diǎn).本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)5、D【解題分析】根據(jù)函數(shù)的新定義求解即可.【題目詳解】由題意可知4－(－4)＝8.故選：D.6、D【解題分析】A選項(xiàng)，舉出反例；B選項(xiàng)，兩函數(shù)定義域不同；C選項(xiàng)，利用三角函數(shù)定義求解；D選項(xiàng)，待定系數(shù)法求出解析式，從而得到答案.【題目詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，滿足，而，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，定義域?yàn)?，兩者不是同一個(gè)函數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，將代入得：，解得：，所以，D正確.故選：D7、C【解題分析】根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟和方法，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立而命題“與都不能被7整除”的否定為“至少有一個(gè)能被7整除”，故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，把要證結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，是解題的關(guān)鍵.8、C【解題分析】先根據(jù)不等式恒成立等價(jià)于，再根據(jù)基本不等式求出，即可求解.【題目詳解】解：，即，即又當(dāng)且僅當(dāng)“”，即“”時(shí)等號(hào)成立，即，故.故選：C.9、D【解題分析】根據(jù)已知條件，推出，再根據(jù)，即可得出答案.【題目詳解】由題意得：，解得，所以，解得：，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】先通過(guò)輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得答案.【題目詳解】由題意，，函數(shù)周期，④正確；，①錯(cuò)誤；，③錯(cuò)誤；由，②正確.故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由已知湊配出積為定值，然后由基本不等式求得最小值【題目詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故答案為：12、【解題分析】根據(jù)給定條件利用奇函數(shù)的定義計(jì)算作答.【題目詳解】因函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域?yàn)镽，則對(duì)，，即，整理得：，而不恒為0，于得，所以實(shí)數(shù).故答案為：13、7【解題分析】根據(jù)題意,算出圓M關(guān)于直線對(duì)稱的圓方程為.當(dāng)點(diǎn)P位于線段上時(shí),線段AB的長(zhǎng)就是的最小值,由此結(jié)合對(duì)稱的知識(shí)與兩點(diǎn)間的距離公式加以計(jì)算,即可得出的最小值.【題目詳解】設(shè)圓是圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓,

可得,圓方程為,

可得當(dāng)點(diǎn)C位于線段上時(shí),線段AB長(zhǎng)是圓N與圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離最小值,

此時(shí)的最小值為AB,

,圓的半徑,

,

可得因此的最小值為7,

故答案為7.點(diǎn)睛：圓中的最值問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化動(dòng)點(diǎn)與圓心的距離問(wèn)題，本題中可以轉(zhuǎn)化為，再利用對(duì)稱性求出的最小值即可14、9【解題分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)易得函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，再由冪函數(shù)過(guò)該定點(diǎn)求解析式，進(jìn)而可求.【題目詳解】由知：函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，若，則，即，∴，故.故答案為：9.15、【解題分析】由與對(duì)立可求出，再由與互斥，可得求解.【題目詳解】與對(duì)立，，與互斥，故答案為：.16、【解題分析】先利用求得的值，再依據(jù)題給條件用來(lái)表示，即可求得的值【題目詳解】∵，∴，又∵是以2為周期的奇函數(shù)，∴故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解題分析】（1）連結(jié)，交點(diǎn)，連，推出//1，即可證明平面；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，證明四邊形是平行四邊形，證明，得到平面，然后證明平面平面試題解析：（1）連結(jié)，交點(diǎn)，連，則是的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，故//.因?yàn)槠矫?，平?所以//平面.（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，故//且.顯然//，且，所以//且則四邊形是平行四邊形.所以//.因?yàn)椋杂?，所以直線平面.因?yàn)?/，所以直線平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?8、（1）（2）（3）8【解題分析】記兩只白球分別為，；兩只紅球分別為，；兩只黃球分別為，用列舉法得出從中隨機(jī)取2只的所有結(jié)果；（1）列舉只球都是紅球的種數(shù)，利用古典概型概率公式，可得結(jié)論；（2）列舉只球同色的種數(shù)，利用古典概型概率公式，可得結(jié)論；（3）求出恰有一只是白球的概率，只球都是白球的概率，可得結(jié)論【題目詳解】解：記兩只白球分別，；兩只紅球分別為，；兩只黃球分別為，從中隨機(jī)取2只的所有結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，共15種（1）只球都是紅球?yàn)楣?種，概率（2）只球同色的有：，，，共3種，概率（3）恰有一只是白球的有：，，，，，，，，共8種，概率;只球都是白球的有：，概率所以：“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的8倍【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】（1）根據(jù)題意，分析可得，變形解可得答案；（2）根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，即可得結(jié)論【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，若函數(shù)與的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則，變形可得或，解可得；無(wú)解；故；【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，其對(duì)稱軸為，又由，則其對(duì)稱軸，又由，在區(qū)間，上為增函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，，必有恒成立，綜合可得：當(dāng)是，恒成立，即恒成立20、(1)對(duì)稱中心為,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【解題分析】(1)由倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，然后由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心以及單調(diào)遞減區(qū)間求出函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)由函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的解析式，再由