多元函數(shù)的極值及最值參考課件

一、最值應用問題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達到最值

最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,當區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)機動目錄上頁下頁返回結束一、最值應用問題函數(shù)f在閉域上連續(xù)函數(shù)f在閉域上可達1求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.

與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.1、多元函數(shù)的最值求最值的一般方法：與一元函數(shù)相類似，我們可以2解如圖,解如圖,3多元函數(shù)的極值及最值參考課件4多元函數(shù)的極值及最值參考課件5解由解由6無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.7

例3：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要兩種原料A、B.單價分別為2萬元/噸和1萬元/噸。已知該產(chǎn)品產(chǎn)量Q（單位：噸）與A、B兩種原料的投入量x,y有如下關系：

且該產(chǎn)品的出售價為5萬元/噸，試確定兩種原料A、B的投入量，使獲得利潤最大。解：設所獲得利潤為L，收入成本例3：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要兩種原料A、B.且該產(chǎn)品的8

有問題的實際意義可知最大值一定存在，又求的唯一駐點。所以函數(shù)在駐點處取得最大值。最大利潤為：L（4.81.2）=229.6萬元有問題的實際意義可知最大值一定存在，又求的唯一9例3.解:設水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應存在,的有蓋長方體水箱問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.機動目錄上頁下頁返回結束（無條件極值）例3.解:設水箱長,寬分別為x,ym,則高為則水10例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:

設折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面機動目錄上頁下頁返回結束例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解11令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達到,而在域D內(nèi)只有一個駐點,故此點即為所求.機動目錄上頁下頁返回結束令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達到,而在域D內(nèi)只有12三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化機動目錄上頁下頁返回結束三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的132．求條件極值的方法（1）代入法：將條件代入函數(shù)，化為無條件極值問題來解。

（這對于一類其條件的表達形式較簡單的問題，是方便的）（2）Lagrange乘數(shù)法：構造輔助函數(shù)，化為無條件極值問題。2．求條件極值的方法（1）代入法：將條件代入函數(shù)，化為無條件14Lagrange乘數(shù)法求z=f(x,y)在滿足條件

(x,y)=0

時的極值，方法為：步驟Ⅰ構造函數(shù)

（

為待定常數(shù)）步驟Ⅱ解方程組

求出實數(shù)解(x0,y0)和;步驟Ⅲ判別求出的點(x0,y0)是否為極值點(通常由實際問題的實際意義判定)，并求出極值z0=f(x0,y0)Lagrange乘數(shù)法求z=f(x,y)在滿足條件(x,y15[注記]：以上方法步驟，也適用于三元以上的多元函數(shù)，以及多個條件的情形。[注記]：以上方法步驟，也適用于三元以上的16例5求表面積為a2，而體積為最大的長方體的體積，及長、寬、高的尺寸。解：xyz例5求表面積為a2，而體積為最大的長xyz17

解得唯一駐點，由題意，知矩形的長寬高各為時，其體積最大。令解得唯一駐點，由題意，知18方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設記例如,故故有機動目錄上頁下頁返回結束方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價于19引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點必滿足則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.機動目錄上頁下頁返回結束引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F稱為拉格朗日(Lagrange)20推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設解方程組可得到條件極值的可疑點.例如,

求函數(shù)下的極值.在條件機動目錄上頁下頁返回結束推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.21例6.要設計一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:

設x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？的長方體開口水箱,試問機動目錄上頁下頁返回結束例6.要設計一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:22得唯一駐點由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的2倍時，所用材料最省.因此,當高為機動目錄上頁下頁返回結束思考:1)當水箱封閉時,長、寬、高的尺寸如何?提示:

利用對稱性可知,2)當開口水箱底部的造價為側面的二倍時,欲使造價最省,應如何設拉格朗日函數(shù)?長、寬、高尺寸如何?提示:長、寬、高尺寸相等.得唯一駐點由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的2倍23解則解則24內(nèi)容小結1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步利用充分條件判別駐點是否為極值點.2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法機動目錄上頁下頁返回結束內(nèi)容小結1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)25精品課件！精品課件！26精品課件！精品課件！27設拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)