和差化積,積化和差(理)

37,積化和差、和差化積（理）【教學目標】1?經(jīng)歷積化和差、和差化積的復習過程，進一步掌握三角公式系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)；2?能夠用積化和差、和差化積公式，半角公式解決有關(guān)的三角計算、化簡與證明問題；3?體會三角問題中角度的變化，體會半角與倍角的相對性，感受辯證唯物主義的思想；【教學重點】積化和差、和差化積公式，半角公式的推導與應用?！窘虒W難點】正確運用積化和差、和差化積及半角公式解決問題。【知識整理】1?積化和差公式sinacosP=—[sin(a+P)+sin(a-。)]；cosacosP=—[cos(a+P)+cos(a-B)]；2 2sinasinP=-—[cos(a+P)-cos(a-p)]?22?和差化積公式a+B a-B a+B.a-pTOC\o"1-5"\h\zsina+sinP=2sin cos ,sina-sinP=2cos sin ，2 2 2 2a+B a-B a+P.a-Pcosa+cosP=2cos cos ,cosa-cosP=-2sin sin 2 2 2 23-半角公式,a '1-cosa a ，1+cosa a1-cosasin——i? ,cos——±1 ,tan——± 2 \ 2 2 2 2 \1+cosaasina1-cosaTOC\o"1-5"\h\ztan—— ― 。21+cosasina4?萬能公式a a a2tan— 1-tan2- 2tan—?~ 2 ~ 2,~ 2sina= -,cosa= -,tana = - ?aaa+tan2— 1+tan2— 1-tan2一2 2

【例題解析】【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運算能力5兀

5兀

cos——=12【題目】填空：（1）計算sin-JL乙3(2)若cosa=5，3(2)若cosa=5，且aef0,-I2…a，貝tgy=（3）?/兀、函數(shù)y=sin（x——）cosx的最小值等于（4）（5）兀函數(shù)y=cosx+cos(x+不)的最大值等于,01已知tan—=—，貝ijsin0+cos0= ^2^22—v32—v3【解答】(1)—4^-；(2)2；(3)—4L I；(4)&；(5)5?！緦傩浴扛呷?，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運算能力【題目】求函數(shù)【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運算能力【題目】求函數(shù)y=2cos（x+￡）cos（x-4+v3sin2x的值域和最小正周期.【解答】--因為2cos(【解答】--因為2cos(x+—)cos(x——)兀=cos2x+cos—一 兀所以y=cos2x+v：3sin2x=2sin(2x+一)所以ye62「。。172兀1—2,2T=—=兀，, 2【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，易，運算能力3xx2sinx【題目】證明：tan—tan= 2 2cosx+cos2x

【解答】證明：略。【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運算能力. . 3兀 1 兀a【題目】(1)設一<a<2兀，cos(a+P)cosP+sin(a+P)sinP=—，求tan(——一)TOC\o"1-5"\h\z2 3 4,2的值，36 4 a兀、(2)已知sin(a—p)=—,cosp=-(其中a,p為銳角)，求cot(—十)的值?85 5 243兀 八 . 2［：2 asina［解答］(1)—<a<2兀，所以sina=-——,所以tan二=- =2 3 2 1+cosa?,a-tan—，/兀 a、 2 c-二即tan(——一)= -3+2t12?4 2 …a+tan2兀兀 36 兀(2)a,P為銳角，a-pe(--,-),sin(a-p)-—，所以a-pe(0,-),22 85 2sina-sinl(a-P)+p］=sin(a-P)cosP+sinPcos(a-P)二17,8計算得cosa=—8計算得cosa=—,所以1,a1-tan—兀、 2+—)二 二4 1a1+tan—2a

tan—=2sina31+cosa 5,【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，難，運算能力【題目】在AABC中，已知a2+b2=c2+ab.求/C的大小；3設sinAsinB=彳，判斷三角形ABC的形狀。3 1 3【解答】解：(1)/C=60°;(2)由sinAsinB=—n—-［cos(A+B)-cos(A一B)=，42 4由/C-60°得，A+B-180°—60°-120°，所以cos(A-B)-1即：A=B，三角形ABC為等邊三角形。【課堂反饋】【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運算能力cos20。+cos40?！绢}目】計算 的值等于 ?sin20。+sin40?！窘獯稹?lt;3【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運算能力24a一【題目】已知a是第三象限角，且sina=--，則tan-等于?4【解答】-3【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運算能力【題目】化簡：4sin(60o-0)-sin0-sin(60o+0).【解答】sin30【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運算能力2兀【題目】已知a+B=—,a?0,p>0，求y=sinasinp的最大值與最小值?！緦傩浴扛呷?，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運算能力【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運算能力【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運算能力【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運算能力兀 3 c c【解答】當a=二時，y=—;當a=0時，y—0。3 max4 min【課堂小結(jié)】1?半角的正弦、余弦和正切公式前面的士號不表示有兩解，表示符號不確定，需要選擇；萬能公式的作用是將異名三角比，轉(zhuǎn)化為同名三角比，將三角比轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決；“異角化同角”、“復角化單角”、“異名化同名”以及“切割化弦”等思想方法，是解決三角問題常用的思想方法；?形如sina±sinP;cosa±cosP;sina?sinP;cosa?cosP的三角比計算式，習慣上當a±B為常數(shù)時，可以嘗試用和差化積或積化和差公式來解決問題?！菊n后作業(yè)】【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運算能力【題目】一?5兀 7兀計算sin—cos—的值等于【解答】-2-申【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，易，運算能力【題目】函數(shù)fG）二sin.（兀、sinX+-的最小正周期是V27【解答】兀?！绢}目】已知0<a<兀'化簡v1—cosa—1+cosa=【題目】【解答】2sin(a--)24【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運算能力【屬性】公，兀、1 兀、…【題目】已知cos（a+一）= ，求sinasin（a+一）的值.【題目】6 4 3【解答】兀、sina-sin(a+—)=-2cos(2a+1)-cos(-丁-1cos(2a+3+L2 3 4又cos(a+看)=4,cos(2a+g)=2cos2(a+看)-1=-8兀、11所以sina?sin(a+—)=:3 16【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運算能力【屬性】【題目】已知函數(shù)【題目】已知函數(shù)f(X)=tanX)<2[f("+f(X2)]。【解答】證明：略。【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，難，運算能力【題目】已知cosa-【解答】證明：略?！緦傩浴扛呷潜?，和差化積與積化和差，填空題，難，運算能力【題目】已知cosa-cosP=—,sina-sinP=—,求sin(a+P)的值。

23【解答】因為cosa-cosP=—①，sina-sinP=-2 3，①X②得，—(sin2a+sin2。)一sin(a+B)=，, 即sin(a+B)lcos(a-P)-11=—,TOC\o"1-5"\h\z2 6 6-- /c、13 12①2+②2得,2-2cos似-P)=——，所以sin(a+p)=———.36 13【題目資源】【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運算能力兀 兀1［題目］若sin(x-—)cos(x--)=-彳，貝ijcos4x=【解答】-：y【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運算能力【題目】13k a【題目】如果cosa=一，——<a<2兀，則cos—=^5 ^2 ^2【解答】【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運算能力「?！??一、一一、【題目】—,兀，則f(cosa)+f(-cosa)可化簡為【題目】12J【解答】2csca【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運算能力

【題目】,2兀 2兀，【題目】【解答】1—cos3a4cos(3+a)cosacos(—3——【解答】1—cos3a4【屬性】【題目】9 cos20若tan2='，則。藥等于 【解答】1【屬性】【題目】9 cos20若tan2='，則。藥等于 【解答】12+2t—112—21—1【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，選擇題，易，運算能力【題目】24a已知a是第三象限角，并且sma=-25，則tan-2等于(4(A)33(O-44(D)—3【解答】(D)高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，易，運算能力【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，選擇題，難，運算能力【屬性】【題目】已知cosa—cosP=—,sina—sinP=—，則sin(a+P)的值等于()23【題目】5(A)—135(A)—1312?一1312(D)13【解答】因為cosa-cosB=~①，sina-sinB=- ②，①x②得，2 3—(sin2a+sin2B)-sin(a+B)=1，即sin(a+B)lcos(a-B)-11=—,2 6 613①2+②2得，2-2cos似-P)=—，所以選??36【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，選擇題，中，運算能力【題目】設e是第二象限角，則必有（）ee(A)tan2>cotq(B)ee(A)tan2>cotq(B)tan2<cot2ee(C)sin2>cos2(D)eesin2<cos2【解答】（A）【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運算能力【題目】不用計算器求值：cos210。+cos2500+cos2700?【解答】原式二1+cos200+1+cos100。+1+cos140。 2cos800?cos60o+cos100°【解答】原式二TOC\o"1-5"\h\z3 3sin10。一sin10。 3【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，填空題，中，運算能力2兀 ?！绢}目】如果a+B=—,0V。^-則函數(shù)y=sinacosp的最大值等于J 乙【解答】證明：略?！窘獯稹孔C明：略?！窘獯稹孔C明：略?！窘獯稹孔C明：略。【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運算能力【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運算能力【解答】y=—lsin(a+p)+sin(a—p)］=——+—sin(a—p)，又因為0VaV—，2 41 2 2【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，難，運算能力【題目】在△M中，已知tanA+tanB+點=$anAtanB，且sinAsinB=3，試判斷△ABC的形狀?【解答】解:在△ABC中因為A+Be（0,兀），所以tanA+tanB=—v3(1—tanAtan【解答】解:在△ABC中因為A+Be（0,兀），所以,?2A+B=兀，3TOC\o"1-5"\h\z又sinA?sinB=——lcos(A+B)—cos(A-C)］，所以1+lcos(A—C)=3，^2 4^2 4即cos(A—B)=1，因為A—Be(—兀，兀)，A—B=0，所以A=B，即△ABC為等邊三角形?【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運算能力A.B C【題目】在△ABC中，求證：sinA+sinB-sinC=4sin—sincos—?^2 ^2 ^2【解答】證明：略。

【題目】若等腰三角形的頂角的正弦值為24，求這個等腰三角形底角的余弦值?24【解答】設頂角為a，底角為P，所以a+2P=兀，又因為sina——，24 7 7 1+cos2p所以sin（兀-2P）———，即cos2p———或cos2p————，又cosP—■ -25 工J 工J \ 乙043所以cosP—5或5?【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運算能力【屬性】【題目】兀一1【題目】兀一1已知sin（4+a）sin（4—a）—%（72，兀），求sin4a的值.乙【解答】兀 兀 ~、由sin（一【解答】兀 兀 ~、由sin（一+a）sin（--a）=一4 4兀cos—2）一cos2a）=1cos2a

2【屬性】【題目】【屬性】【題目】TOC\o"1-5"\h\z1 1 兀所以cos2a—一?又ag（—,兀），2ag（兀，2兀），因為cos2a>0,3 23 ,3兀 2v2所以2ag（—，2兀），因此sin2a————所以sin4a—2sin2acos2a——192.高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，中，運算能力sin23a證明：sina+sin3a+sin5a— sina【解答】【解答】2-J3.【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，難，運算能力【題目】已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足：A+C=2B【屬性】高三，三角比，和差化積與積化和差，解答題，難，運算能力【題目】已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足：A+C=2B，，+，=一上

cosAcosCcosB的值.解答】由 十 解答】由cosAcosCcosB，得cosA+cosC_一七2cosAcosC cosBAA+CA—