遞歸數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

遞歸數(shù)列通項(xiàng)公式的求法確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)于研究數(shù)列的性質(zhì)起著至關(guān)重要的作用。求遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有關(guān)數(shù)列問題的關(guān)鍵，本文著重對(duì)遞歸數(shù)列通項(xiàng)公式加以研究?；A(chǔ)知識(shí)定義：對(duì)于任意的neN*，由遞推關(guān)系a二f(a,a，…,a)確定的關(guān)系稱為k階n n-1n—2 n—k遞歸關(guān)系或稱為k階遞歸方程，由k階遞歸關(guān)系及給定的前k項(xiàng)a,a，…,a的值(稱為初始1 2 k值)所確定的數(shù)列稱為k階遞歸數(shù)列。若f是線性的，則稱為線性遞歸數(shù)列，否則稱為非線性遞歸數(shù)列，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)列問題常常是非線性遞歸數(shù)列問題。求遞歸數(shù)列的常用方法：一．公式法(1)設(shè)｛a｝(1)設(shè)｛a｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1n1公差為d，則其通項(xiàng)為a=a+(n—m)d；nm設(shè)｛a｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a[，公比為q，則其通項(xiàng)為a=aqn-m；TOC\o"1-5"\h\zn 1 nmfS (n二1)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，則a=彳1nn[S-S(n>2)n n—1二．迭代法迭代恒等式：a=(a-a)+(a-a)+…+(a-a)+a；n n n-1 n-1 n-2 2 1 1aa a迭乘恒等式：a二l-— t-a，(a豐0)naa a1nn-1n-2 1迭代法能夠解決以下類型一和類型二所給出的遞推數(shù)列的通項(xiàng)問題類型一：已知a二b,a二a+f(n)，求通項(xiàng)a；1 n+1 n n類型二：已知a二b,a二f(n)a，求通項(xiàng)a；1 n+1 n n三．待定系數(shù)法類型三：已知a二b,a二pa+q(p豐1)，求通項(xiàng)a；1 n+1 n n四．特征根法類型四：設(shè)二階常系數(shù)線性齊次遞推式為x 二px+qx(n>1,p,q為常數(shù)q豐0)，其n+2 n+1 n特征方程為x2二px+q，其根為特征根。(1)若特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根a,卩，則其通項(xiàng)公式為x二Aan+BPn(n>1)，n其中A、B由初始值確定；(2)若特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根a,則其通項(xiàng)公式為x二［Aa+B(n-1)an-1(n>1),n其中A、B由初始值確定。

證明：設(shè)特征根為d,卩，則Q+卩=P，郵=一q所以x -dx =px +qx-dx =(p-d)x +qx =Px -dPx =P(x -dx )n+2 n+1 n+1 n n+1 n+1 n n+1 n n+1 nn+1 n所以x -dx—(x-dx)Pn-1，n+1 n2 1(1)當(dāng)d豐卩時(shí)，則其通項(xiàng)公式為x(2)當(dāng)d—P時(shí)，則其通項(xiàng)公式為xn所以x—n+1 n所以x -dx—(x-dx)Pn-1，n+1 n2 1(1)當(dāng)d豐卩時(shí)，則其通項(xiàng)公式為x(2)當(dāng)d—P時(shí)，則其通項(xiàng)公式為xn所以x—dx +(x-dx)Pn-2nn-1 2 1—Adn +B卩n，其中 A—x2 -Pxi，B-x2_dxi:(d-P)d (d-P)P-y -y -y—[Ad+B(n—1)]dn-i，其中A—B——2 idd五．代換法代換法主要包括三角代換、分式代換與代換相消等，其中代換相消法可以解決以下類型五：已知a—b,a—c，a—pa+qa+r(r豐0)，求通項(xiàng)a。1 2 n+1 n n-1 n六．不動(dòng)點(diǎn)法若f(d)=a,則稱?為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，利用不動(dòng)點(diǎn)法可將非線性遞歸式化歸為等差數(shù)列、等比數(shù)列或易于求解的遞關(guān)系的遞推關(guān)系，從而達(dá)到求解的目的。a-a+b/小 7 7小、類型六：⑴已知a—n(c豐0，且ad一be豐0)，求通項(xiàng)a；n+1c-a+d nna-a2+b(2)已知a—n ，求通項(xiàng)a；n+1 2a-a+c nn七．?dāng)?shù)學(xué)歸納法八．構(gòu)造法典例分析例1．?dāng)?shù)列｛a｝中，a=1,a>a，且a2+a2+1—2(aa+a+a)成立，求a。n 1 n+1n n+1 n n+1n n+1 n n例2．已知正數(shù)數(shù)列｛x｝滿足:xx—n，其中kgN*,cgR,c豐0，求x。

n+1 1 n(1+cxk)kn例3．已知數(shù)列｛an｝滿足:a—1,a—2,a1 2n+22aa— n―n+^，求a。a+a nn n+1例4．已知a—a—1,a1 2na2+2/c、—n1 (n>3)，an-2證明：該數(shù)列中的一切數(shù)都是整數(shù)。例5．1+aa已知a—a—a—1,a— n+1n+21 2 3 n+3 an(ngN*)，例6.數(shù)列｛a｝,｛b｝滿足a—ab,b—bnn n n-1nn?~^(n>2)，a—p,b—q且1-a2 1 1p,q>0,p+q=1，求｛a｝,｛b｝的通項(xiàng)公式。nn例7.已知a=b,a =pa+、：(p-1)2+q，求a。1 n+1 n na=1例8.數(shù)列｛a｝滿足1nan+1=例8.數(shù)列｛a｝滿足1nan+1例9.5例9.5a+b已知a=1,a= ,a=nn1 2 2 n+1 22ab,b=nnn+1 a+bnn求{a},的通項(xiàng)公式。nna=acos0-bsin0例10.已知數(shù)列{a},滿足：nnn n-1 n-1 ，且a例10.已知數(shù)列{a},滿足：nnTOC\o"1-5"\h\zb=asm9+bcos9 1 1n n-1 n-1{a},的通項(xiàng)公式。nn例11.若數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S,a=a(a>0)，且滿足a=、；a2+aS+S2，求{a}n n1 n+1 n n n的通項(xiàng)公式。拓展：若數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S,a=a(a>0)，且滿足n n1an+1="2-taS+S2(-2<t<2)an+1n n nasin9 t(參考答案：a= ——9，其中cos9=)n-22n-2n-1la=7a+6b一3例12.設(shè)數(shù)列｛a｝,｛b｝滿足：a=1,b=0，且1n+1 nn.，n=0,1,2…，nn 0 0 Ib=8a+7b一4n n n證明：a(n=1,2,……)是完全平方數(shù)。n練習(xí)題：已知數(shù)列｛a｝滿足a=2,a=3,a =3a -2a(ngN*)，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)aTOC\o"1-5"\h\zn 1 2 n+2 n+1 n n n已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,a=2,4a=4a-a(ngN*)，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)an 1 2 n+2 n+1n n na+23.已知數(shù)列｛a｝滿足a=2,a= (n>2)，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)an 1 n2a+1 n nn-12a-14.已知數(shù)列｛a｝滿足a=2,a =—n (ngN*)，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)an 1 n+1 4a+6 n n1．解：其特征方程為x2=3x-2，解得x=1,x=2，令a=c?ln+c?2n,2 n1 22．3．,Ia=c+2c=2/口

由i1 1 2 c，得<Ia=c+4c=3V2 1 2c=111，c=

22?a=1+2n-1n解：其特征方程為4x2=4x-1，解得x1=(c+nc12xi=1 「 4122 ，得［c1=:4,Ic=6

2a=(c+c)1=(c+2c)x=2124?an=3n-22n-l解：其特征方程為x=器化簡(jiǎn)得解得x=1,x=-1，令12a—n+1a+1n+1-1a-1 =c?na+1n由a=2,得a141=5，可得c=-1,?數(shù)列an^-1|是以^211a+1J a+1n1為首項(xiàng)，以-3為公比的等比數(shù)列，.廠