2022北京中考數(shù)學(xué)二模分類《幾何綜合壓軸題》含答案解析

2022北京中考數(shù)學(xué)二模分類一一幾何綜合壓軸題

手拉手中點(diǎn)問(wèn)題(附加2題)一線三垂猜證類等腰結(jié)論共計(jì)

6題倍長(zhǎng)2題相似3題1題1題1題14題

一、手拉手共5小題

1.(2022密云二模27題)如圖，在等邊AABC中，點(diǎn)。在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P是邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)8重合)，將線段PD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PE,連接BE和

DE.

(1)依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；

(2)比較乙BDE與Z.BPE的大小，并證明；

(3)用等式表示線段BE、BP與BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

BPBP

2.(2022豐臺(tái)二模27題)如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,。是中點(diǎn)，連接AZ).點(diǎn)M在

線段AD上(不與點(diǎn)A,D重合)，連接MB,點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上且ME=MB,連接EB.

(1)比較與NAEM的大小，并證明；

(2)用等式表示線段AM,AB,AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

EE

「

BDcBDC

3.（2022西城二模27題）在/XABC中，AB=AC,過(guò)點(diǎn)C作射線CB',使^ACB'=^ACB（點(diǎn)

B'與點(diǎn)B在直線4C的異側(cè)），點(diǎn)D是射線CB'上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段

BC上，且/-DAE+/-ACD=90°.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AD與CB'的位置關(guān)系是,若BC=a,貝UCD

的長(zhǎng)為；（用含a的式子表示）

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE.

①用等式表示/-BAC與Z.DAE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②用等式表示線段BE,CD,DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

圖2圖2

4.(2022大興二模27題)如圖，AC=AB,/CAB=NCDB=a,線段CD與AB相交于點(diǎn)O,以點(diǎn)A為中心,

將射線AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<180°)交線段CD于點(diǎn)H,

(1)若a=60°,求證：CD=AD+BD

(2)請(qǐng)你直接用等式表示出線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系(用含a的式子表示)

5.(2022東城二模27題)如圖，在△A5C中，，山

AP(9Q°a.^PACISQP2a),作點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)。，連接At*分怫螳理般學(xué)點(diǎn)E.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)連接J*求證：-ACE/ABE；

(3)過(guò)點(diǎn)A作A/CE于點(diǎn)口，用等式表示線段8￡,2石￡。石之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

BB

6.（2022燕山二模27題）在R/AABC中，/ACB=9（r,CZ）是A8邊的中線，DE_LBC于E,連結(jié)CD,點(diǎn)尸

在射線C2上（與B,C不重合）.

（1）如果乙4=30。

①如圖1,DE與BE之間的數(shù)量關(guān)系是

②如圖2,點(diǎn)尸在線段CB上，連結(jié)。尸，將線段。尸繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段。F,連結(jié)BR補(bǔ)全

圖2猜想CP、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）如圖3,若點(diǎn)尸在線段CB的延長(zhǎng)線上，且（0°<a<90°）,連結(jié)。P,將線段。尸繞點(diǎn)。逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段。凡連結(jié)B凡請(qǐng)直接寫(xiě)出DE、BF、8尸三者的數(shù)量關(guān)系（不需證明）.

二、中點(diǎn)問(wèn)題共5小題

附加1.（2020秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）已知AABC是等邊三角形，點(diǎn)尸在8C的延長(zhǎng)線上，以P為旋轉(zhuǎn)中心,

將線段PC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)"。（0<?<180）得線段P。，連接AP,BQ.

（1）如圖1,若尸C=AC,畫(huà)出w=60時(shí)的圖形，直接寫(xiě)出2Q和AP的數(shù)量及位置關(guān)系；

（2）當(dāng)”=120時(shí)，若點(diǎn)M為線段BQ的中點(diǎn)，連接判斷MP和AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1備用圖

附加2.(2021?通州區(qū)一模)已知點(diǎn)尸為線段上一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段

AC；再將線段BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段8。；連接A。，取AO中點(diǎn)連接CM.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在線段CM上時(shí)，求證：PM//BD；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸不在線段CM上，寫(xiě)出線段與CM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明.

圖1圖2

7.(2022順義二模27題)如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,P,D為射線AB上兩點(diǎn)(點(diǎn)D在點(diǎn)P

的左側(cè))，且PD=BC,連接CP,以P為中心，將線段PD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°(0<n<180)得線段PE.

(1)如圖1,當(dāng)四邊形ACPE是平行四邊形時(shí)，畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出n的值；

(2)當(dāng)n=135°時(shí)，M為線段AE的中點(diǎn)，連接PM.

①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形。

②用等式表示線段CP與PM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

圖1圖2

8.(2022朝陽(yáng)二模27題)在正方形ABCD中，E為8C上一點(diǎn)，點(diǎn)〃在AB上，點(diǎn)N在。C上，且MNDE,

垂足為點(diǎn)F.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：MNDE-,

(2)將圖1中的向上平移，使得尸為OE的中點(diǎn)，此時(shí)MN與AC相交于點(diǎn)”，

①依題意補(bǔ)全圖2；

②用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

二1

BEC網(wǎng)BE

圖1圖2圖2

9.(2022房山二模27題)如圖1,在四邊形ABCD中，ZABC^ZBCD,過(guò)點(diǎn)A作AE//DC交BC邊

于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF//AB交CD邊于點(diǎn)F,連接AF,過(guò)點(diǎn)C作CH//AF交AE于點(diǎn)H,連接BH。

(1)求證：AABH^AEAF；

BE

(2)如圖2,若BH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)AF的中點(diǎn)M,求——的值。

圖1圖2

圖2圖2

10.(2022石景山二模27題)在AABC中，/ACB=90。,CA=CB,D是AB的中點(diǎn)，E為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)

(不與點(diǎn)A,C重合〉，連接DE,將線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BF,過(guò)點(diǎn)F作FHLDE于

H,交射線BC于點(diǎn)G.

(1)如圖1,當(dāng)AE<EC時(shí)，比較NADE與NBFG的大小；用等式表示線段BG與AE的數(shù)量關(guān)系，并證

明：

(2)如圖2,當(dāng)AE>EC時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段DE,CG,AC之間的數(shù)量關(guān)系.

11.(2022門(mén)頭溝二模27題)如圖，在△ABC中，ZACB=90°,。是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE_L4D

交于點(diǎn)E,交A8于點(diǎn)R作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)G,連接AG和GC,過(guò)點(diǎn)8作8MLGC

交GC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.

(1)①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形;

②比較/2b與N2CM的大小，并證明.

(2)過(guò)點(diǎn)8作8NLCP交B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,用等式表示線段AG,EN與8M的數(shù)量關(guān)系，并證

明.

三、一線三垂直共1小題

12.（2022海淀二模27題）已知AB=8C,ZABC=90°,直線/是過(guò)點(diǎn)B的一條動(dòng)直線（不與直線AB,BC

重合），分別過(guò)點(diǎn)A,C作直線/的垂線，垂足為。，E.

（1）如圖1,當(dāng)45"ABD<90-時(shí)，

①求證：CEDEAD；

②連接AE,過(guò)點(diǎn)。作。于H,過(guò)點(diǎn)A作A尸〃交QH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)孔依題意補(bǔ)全圖形，

用等式表示線段DFBE,的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）在直線/運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若。E的最大值為3,直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng).

備用圖

四、猜證類共1小題

13.（2022昌平二模27題）如圖，已知NM0N=a（0°<a<90°）,0P是NM0N的平分線，點(diǎn)A是射線0M

上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于0P對(duì)稱點(diǎn)B在射線ON上，連接AB交0P于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作0N的垂線，分別交OP,0N

于點(diǎn)D,E,作/OAE的平分線AQ,射線AQ與OP,0N分別交于點(diǎn)F,G.

（1）①依題意補(bǔ)全圖形；

②求/BAE度數(shù)；（用含a的式子表示）

（2）寫(xiě)出一個(gè)a的值，使得對(duì)于射線0M上任意的點(diǎn)A總有0D=0AF（點(diǎn)A不與點(diǎn)。重合），并證明.

O

NON

四、等腰△結(jié)論共1小題

14.(2022平谷二模27題)

如圖，在△48C中，乙BAC=90。，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)、,過(guò)點(diǎn)。作Z)E_L8c交4c于心

連接8E并延長(zhǎng)使=連接FC,G為8c上一點(diǎn)，過(guò)G作C〃_L8/于點(diǎn)〃，作

GMLAC于點(diǎn)M.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求證：乙ABE=AFCE；

(3)判斷線段〃G、GM、/C之間的數(shù)量

關(guān)系，并證明.

2022北京中考數(shù)學(xué)二模分類一一綜合壓軸題

手拉手中點(diǎn)問(wèn)題(附加2題)一線三垂猜證類等腰結(jié)論共計(jì)

6題倍長(zhǎng)2題相似3題1題1題1題14題

一、手拉手共5小題

L(2022密云二模27題)如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)。在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P是BC邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)、B重合)，將線段PD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PE,連接BE和

DE.

(1)依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；

⑵比較乙BDE與Z-BPE的大小，并證明；

(3)用等式表示線段BE、BP馬BD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

BPCBPC

【答案A】A

(1)

BpC

圖1

(2)ZBDE=ZBPE

證明：:△ABC是等邊三角形；./ABC=60

:線段PD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PE.\PE=PD.-.APDE是等邊三角形

/.ZPED=60°ZABC=ZPED

設(shè)PE和BD交于0點(diǎn)在

△DOE和△BOP中

VZE0D=ZB0P

NBDE=NBPE

圖2

(3)BD=BP+BE

法1：證明：如圖3過(guò)點(diǎn)D作DH//AC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H

.?.ZBDH=ZBAC=60°,ZH=ZACB=60°

ABDH是等邊三角形，BD=BH=DH

APDE是等邊三角形，ZEDP=60°,ED=PDZEDB=ZPDH

BED^HPD.*.BE=PH

?.,BH=BP+PH；.BD=BP+BE

圖3

法2：如圖4

思路：過(guò)點(diǎn)E作EG平行于BC交AB于點(diǎn)G,利用四點(diǎn)共圓或者相似可得可證NEBD=NEPD=600

，得三角形BGE是等邊三角形，再證AGDE/ABPE,結(jié)論可得。

法3：如圖5

圖5

思路：過(guò)點(diǎn)P作PF平行于AC交AB于點(diǎn)F

可證APBEAPFD,結(jié)論可得.

法4：如圖6

圖6

思路：過(guò)點(diǎn)D作PF平行于BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

可證ADFEADBP,結(jié)論可得.

2.(2022豐臺(tái)二模27題)如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,。是BC中點(diǎn)，連接AD.點(diǎn)M在

線段A。

上(不與點(diǎn)A,D重合)，連接MB,點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上且ME=MB,連接EB.

(1)比較NA8M與NAEM的大小，并證明；

(2)用等式表示線段AM,AB,AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】27.Q)【導(dǎo)角】

'：AB=AC,D是BC中點(diǎn)，

：.AD垂直平分BC,ZABC^ZACB

:點(diǎn)M在線段4。上

：.MB=MC

：.ZMBD=ZMCD

:./ABC-ZMBD=ZACB-ZMCD

即...................................2分

:?ME=MB

:.ME=MC

：.ZAEM=ZACM

：.ZABM=ZAEM..........................................................................3分

(2)法1：【截長(zhǎng)補(bǔ)短+證明等邊三角形+全等】

證明：延長(zhǎng)AE至點(diǎn)R^AF=AB,連接

VZBAC=120°AZFAB=60°.,.△廠區(qū)4是等邊三角形

：.AB^BF,ZFBA^6Q°

VZEAB+ZAEM+Z1=ZEMB+ZABM+Z2=180°,ZAEM=ZABM,Z1=Z2

/EAB=/EMB=60°/.ABEM是等邊三角形

：.BE=BM,/EBM=60°/.ZFBA-ZEBA=ZEBM+ZEBA即

:.A.FEB咨LAMB：.FE^AM：.AB^AF=AE+EF^AE+AM

法2：【截長(zhǎng)補(bǔ)短+構(gòu)造等邊三角形+全等】

在AB上截取一點(diǎn)AT,使得

'：AB=AC,ZBAC=12Q°,。是BC中點(diǎn)

ZEAB=/BAD=ZDAC=60°/.AAMM）是等邊三角形

ZBM'M=NEAM=120°

又ZABM^ZAEM：.AEAMm/\BM'M:.AE=M'B

：.AB=AM,+BM,=AE+AM...............................................7分

3.（2022西城二模27題）在ZX/IBC中，AB=AC,過(guò)點(diǎn)C作射線CB',使Z-ACB'=^ACB（點(diǎn)

B'與點(diǎn)B在直線AC的異側(cè)），點(diǎn)D是射線CB'上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段

BC上，且^DAE+^ACD=90°.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AD與CB'的位置關(guān)系是，若BC=a,貝UCD的長(zhǎng)為；

（用含a的式子表示）

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE.

①用等式表示/-BAC與Z.DAE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②用等式表示線段BE,CD,DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

【答案】27.解：(1)AD±CBr-；...........................................................2分

f2

(2)?ZBAC=2ZDAE.

證明：TAB=AC,

???ZABC=ZACB.

：.ZBAC=180°-2ZACB.

VZDAE+ZA0)=90°,ZACD=ZACB9

：.ZDAE=90°-ZACD=90°~ZACB.

：.ZBAC=2ZDAE........................................................4分

?BE=CD+DE.

證明：作ND4尸二NZME,A尸交射線。夕于點(diǎn)R如圖，

則ZEAF=ZDAE+ZDAF=2ZDAE.

■:/BAC=2NDAE,

：.ZBAC=ZEAF.

：.ZBAC-ZEAC=ZEAF-NEAC,

W?ZBAE=ZCAF.

VZABC=ZACB,ZACD=ZACB,

：.ZABE=ZACF.

9

：AB=ACf

：.AABE^AACF.

：.BE=CF,AE=AF.

9：AD=AD,

：.AAED^AAFD.

：.DE=DF.

：.CF=CD+DF=CD+DE.

：.BE=CD+DE............................................................7分

r

BEC

法L構(gòu)造半角模型

證明：作/DAF=NDAE,AF交射線DB'于點(diǎn)F,如圖，則/EAF=NDAE+NDAF=2/DAE.

VZBAC=2ZDAE,AZBAC=ZEAF.ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,即NBAE=NCAF.

VZABC=ZACB,ZACD=ZACB,/.ZABE=ZACF.

VAB=AC,.?.△ABE^AACF.；.BE=CF,AE=AF.

VAD=AD,AAAED^AAFD.Z.DE=DF.\CF=CD+DF=CD+DE.

.*.BE=CD+DE.7分

法2:截長(zhǎng)補(bǔ)短①

在BC上截取BM=CD,連接AM,再證明AABM絲zXACD

法3：截長(zhǎng)補(bǔ)短②

任上截取CM二BE,連接AM,再證明△ABEgZ^ACM

4.（2022大興二模27題）如圖，AC=AB,/CAB=NCDB=a,線段CD與AB相交于點(diǎn)O,以點(diǎn)A為中心,

將射線AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0?！碼〈180°）交線段CD于點(diǎn)H,

（1）若a=60°,求證：CD=AD+BD

（2）請(qǐng)你直接用等式表示出線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的式子表示）

【答案】

(1)證明：由題意知，ZDAH=a

VZCAB=ZCDB=aAZDAH=ZCABZDAB=ZHAC.

VZAOC=ZBOD,AZB=ZC.

:又AB=AC,/.AABD^AACH...............................................................3分

；.BD=CH,DA=AH.△ADH是等腰三角形.

VZDAH=ZCAB=a=60°,Z\ADH是等邊三角形.，AD=HD.

VCD=HD+CH；.CD=AD+BD..............................................................5分

(3)證法(一)

證明：過(guò)A點(diǎn)作AM_LCD于M由題意知，ZDAH=a

VZCAB=ZCDB=a.\ZDAH=ZCABAZDAB=ZHAC.

VZAOC=ZBOD,.,.ZB=ZC.

?.?又AB=AC,/.AABD^AACH.ABD^H,DA=AH.ZkADH是等腰三角形.

制制制

VAM±CD.，.ZDAM=ZHAM=2-DM=HM=AD?sin-DH=2AD-sin-

凰】

VCD=HD+CHACD=2AD?sin-+BD.

2

證法（二）

E

在4ADB的外側(cè)作/DAE=a,交BD的延長(zhǎng)線于E,過(guò)點(diǎn)A作AN_LDE于N

：/CAB=NCDB=a=/DAE；.NEAB=NDAC

VZAOC=ZBOD,.\ZB=ZC.

:又AB=AC,.'.AABE^AACD；.BE=CD,AE=ADZXADE是等腰三角形.

剌割朝

VAN±DEAZ1=Z2=2-DN=EN=AD?sin-二DE=2AD?sin-

朝

VBE=DE+BD；.CD=2AD?sin-+BD.

5.（2022東城二模27題）如圖，在ZVlBC中，幻，在△ABC的外側(cè)作直線

AP（90aa-_PAC18OJ2a）,作點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)。,翦乳D,BD,BD交直線AP于點(diǎn)E.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）連接求證：一ACE一ABE；

/IHIH卜

（3）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)，用等式表示線段3￡,2E￡￡）E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

B

【答案】

解：Q）補(bǔ)全圖形如圖1：

(2)證明:如圖2???點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線AP對(duì)稱，

AD=AC,ED=EC

大Z\AJJE^△ACE

住和n

rh

,ADAC'

,DEEC

'EAEA

：./\ADE三△ACErADEZACE

圖3

結(jié)論：DE=BE+2EF

證明：在CE上取一點(diǎn)G,使CG=BEo

在△ABE和△ACG中，

,ABAC

'.ABENACE

lBECG

Z^ABE=AACG..AE=AG

AFECEF=FGEC=BE+2EFDE=BE+2EF

法2：如圖4：

圖4

思路導(dǎo)航:

作AYBU于點(diǎn)N

證AA7VD二AA/C\ANB

得EF=EN

由于是等腰三角形，據(jù)三線合一得：DN=BN

可以轉(zhuǎn)化：DE=DN+NE=BN+NE=BE+NE+NE=BE+2NE=BE+2EF,得證。

思路導(dǎo)航:

作AG8。于點(diǎn)G,在線段ED上作GK=GE,可證\AGK二\AGE,\AKDL\AEB

得DK=BE;再證GE=GF,可以轉(zhuǎn)化：DE=DK+KG+GE=BE+KG+GE=BE+2EF,得證。

6.(2022燕山二模27題)在R/AABC中，/ACB=90。,。是A8邊的中線，DELBC^E,連結(jié)CD,點(diǎn)尸

在射線C8上(與2,C不重合).

(1)如果乙4=30。

①如圖1,OE與3E之間的數(shù)量關(guān)系是

②如圖2,點(diǎn)P在線段CB上，連結(jié)。尸，將線段。尸繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段?！赀B結(jié)BR補(bǔ)全

圖2猜想CP、8尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)如圖3,若點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，且NA=''(0°<a<90°),連結(jié)。P,將線段QP繞點(diǎn)。逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)R得到線段連結(jié)B凡請(qǐng)直接寫(xiě)出DE、BF、8P三者的數(shù)量關(guān)系(不需證明).

(I)(DDE-fiBt

@Cp=Bf

證明：在除MBC中、

'：?二療,CP為AB邊中我

￡C吟時(shí)

又,1陽(yáng)二。。

,二局二工(:叩.

又WPF=DP

MOcp2(SAS)

,、、Cp=BF

MBF=〃￡如好甲

證閑：如國(guó)任RtAA配中

yCD為AB邊中找

CD=PA=PB

，、'/A=d

,\ZCP0=2O(

又IPEXBCPC=PB

C3-2CE,/卜必始“

?'1含=ionol/BE=PE-to>ol

I="DB

BPF

5?WDp=Pf

、'、B『=cp=CB+B產(chǎn)2B￡+甲

上東二2見(jiàn).如金+Bp

二、中點(diǎn)問(wèn)題共5小題

附加1.（2020秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）已知AABC是等邊三角形，點(diǎn)尸在8C的延長(zhǎng)線上，以P為旋轉(zhuǎn)中心,

將線段PC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)/（0<//<180）得線段P。，連接AP,BQ.

（1）如圖1,若尸C=AC,畫(huà)出w=60時(shí)的圖形，直接寫(xiě)出2Q和AP的數(shù)量及位置關(guān)系；

（2）當(dāng)w=120時(shí)，若點(diǎn)M為線段8。的中點(diǎn)，連接判斷和AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1備用圖

【答案】解：（1）BQ=AP,BQ//AP,

如圖1所示：

ZABC=ZACB=ZBAC=60°,AB=BC=AC,

又：PC=AC,

/E4C=ZAPC,

VZACB=ZPAC+ZAPC=60°,

：.ZPAC=ZAPC^3Q°,

.*.ZBAP=90°,

?..將線段PC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段P。，

：.PC=PQ,NCPQ=60°,

：.AB=AC^CP^PQ,NAPQ=90°,

：.ZBAP+ZAPQ^180°,

：.AB//PQ,

.??四邊形ABQP是平行四邊形，

：.BQ=AP,BQ//AP；

(2)AP=2MP,

理由如下：如圖2,以CP為邊作等邊三角形CHP,連接8”,

ACHP和△CA4都是等邊三角形，

：.CB=CA,CP=CH,ZACB=ZHCP=ZCPH=60°,

：.ZBCH=ZACP,

在△ACP和△BCH中，

(超鞅=噌鞅

N吧毀零=

/嘲鞅噢，

鞅果=鞅夔

AACP^AJBC//(SAS),

：.AP=BH,

:將線段PC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得線段P。，

:.CP=PQ,NCPQ=120°,

/CP。=180°,

.?.點(diǎn)X,點(diǎn)尸，點(diǎn)。三點(diǎn)共線，

"：BM=MQ,PQ=CP=HP,

:.BH=2MP,

：.AP=2MP.

附加2.(2021?通州區(qū)一模)已知點(diǎn)尸為線段上一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段

AC；再將線段BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段8。；連接A。，取AO中點(diǎn)連接CM.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在線段CM上時(shí)，求證：PM//BD；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸不在線段CM上，寫(xiě)出線段與CM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明.

圖1圖2

【解答】解：(1)有題意可得，ZCAP=6Q°,且AP=AC,

/.△APC是等邊三角形，

ZAPC=60°,

：.ZBPM=6Q°,

又：々8。=120°,

/.ZBPM+ZPBD^180°,

：.PM//BD.

(2)猜想，CMLMB,CM=V3MB,理由如下：

如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使得連接AG,BC,GC,PC,

"：AM=MD,GM=BM,

四邊形AGCB是平行四邊形,

J.AG^BD,AG//BD,

/.ZBAG=180°-ZABD=60°,

...NCAG=120°,

VAAPC是等邊三角形，

J.AC^CP,ZCPB=120°,

?：PB=DB=AG,

:.△CAGmACPB(SAS),

CG=CB,ZAFC=ZPCB,

.\ZGCB=60°,

.,.△CBG是等邊三角形，

"：GM=BM,

：.CM±BM,CM=V3MB.

7.（2022順義二模27題）

如圖，在^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,P,D為射線AB上兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)P的左側(cè)），且PD=BC,連接

CP,以P為中心，將線段PD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0<n<180）得線段PE.

（1）如圖1,當(dāng)四邊形ACPE是平行四邊形時(shí)，畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出n的值；

（2）當(dāng)n=135°時(shí)，M為線段AE的中點(diǎn)，連接PM.

①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形。

②用等式表示線段CP與PM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

圖I圖2

【答案】

(1)n=45°

證明：：四邊形ACPE是平行四邊形.,.AC^PE.*.ZAPE=ZCAP

VZACB=90°,AC=BC.,.ZCAP=45°=ZAPE；.n=45°

(2)①如右圖

CP=2PM..4分

分析：此題已知了M是AE的中點(diǎn)，求證的是CP和PM的關(guān)系。先觀察度量就可以推斷出是二倍關(guān)系，所

以方法一：倍長(zhǎng)PM;方法二：作中位線。

證法(一)

證明：延長(zhǎng)PM到點(diǎn)Q,使QM=PM.連接AQ,EQ...........5分

VM為線段AE的中點(diǎn)，.*.AM=EM.

又：QM=PM,四邊形APEQ是平行四邊形.；.PE=AQ,PE//AQ.

.?.ZQAP=180°-ZDPE=180°-135°=45°.

VZACB=90°,AC=BC,.<ZCAP=ZCBA=45°.ZCAP=ZQAP.....................6分

VAC=BC,PD=BC,PD=PE,.,.AC=AQ.ACAP^AQAP.

/.CP=QP=2PM..................................7分

此問(wèn)也可以連接CQ,ZXACQ為等腰三角形，AP平分NCAQ,根據(jù)等腰三角形三線合一得AP垂直平分CQ,

于是CP=QP=2PM.

證法（二）

延長(zhǎng)EP到N,使PN=EP,連接AN.

VM為線段AE的中點(diǎn)，；.AM=EM.；.PM〃AN,AN=2PM

VZACB=90o,AC=BC,/.ZCAP=ZCBA=45°.

：NDPE=a=135°；.NNPA=45°=/CAP

?.*PE=PD=CB=AC=PNAP=PA/.△ACP^APNA.\CP=AN=2PM

8.（2022朝陽(yáng)二模27題）在正方形ABCD中，E為BCk一點(diǎn),點(diǎn)M在42上，點(diǎn)V在DC上，BMNDE,

垂足為點(diǎn)尸.

、]，刈h],=iE、NRK、c里口”,小HL：jyjjy

DE；

（2）將圖1中的MN向上平移，使得尸為。E的中點(diǎn)，此時(shí)MN與AC相交于點(diǎn)X,

①依題意補(bǔ)全圖2；

②用等式表示線段MH,HEFN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

【答案】27.(1)證明：：四邊形ABC。是正方形,

：.BC=CD,BBCD90............................................................................1分

/.MCBDCF90。，

■：MNDE,垂足為點(diǎn)尸，EDCDCF90MCBEDC

"MCB△fDC........................................................................2分

MCDE.......................................................................3分

即MNDE.

(2)①補(bǔ)全圖形如圖所示。..................................4分

②HFMHFN.......................................................................5分

法1：對(duì)角線的對(duì)稱性

證明：如圖，連接.

HDHE.6分'

,四邊形ABC。是正方形，/.ACB-ACD.

,：CHCH,

CBCD.A°”Av.HBHDHBC.HDC.HBHE

A.HBEHEB.：.'HDCHEB.：."以""IGU’

/.DHEDCE180."""VU.；.HF壺.

2

由(1)知MNDE,：.HF1分：.HFMHFN.

法2：截長(zhǎng)補(bǔ)短

在口上截取口=E,連接ZD、TE.7H與于0,做NFF_LZ8于％

由FT=FM,FE=FD,TNLDE,可知四邊形7EMD為菱形,

:.TE=DN,TE//DN,

易證四邊形4叼VD為矩形，AW=DN,

易證△0EC為等腰直角三角形，QE=EC,

易證>MW=EC,

：.AW=DN=TE,MW=EC=QE,

：.AM=TQ,

可證△⑷，

：.HM=HT，

，MH+FN=HT+FT=HF.

法3：利用角平分線構(gòu)造全等

過(guò)點(diǎn)H做厘，BC于印,EG_LZ>C于G,

易證四邊形RCG為正方形，

N儂G=90。，HW=HG,

又:：HE=HD、

4HWE沿4HGD'

'：4WHE=4GHD,

'：NWHE+ZEHG=90°,

-EHD=^EHG+￡GHD=^EHG+NWHE=90°,

，4HDE為等腰直角三角形，

：.HF=FE=FD.

:.MH+FN=HF.

法4：倒角

AD

做MK工DC于K,交4c于G.連接尸C,

參考（1）易證△AC\Kg△DEC,

ZNMK=ZCDE,

△48。為等腰直角三角形，

???易證△4MG為等腰直角三角形，

設(shè)乙EDC=NMMK=a,則/FCD=a,

?.?四邊形-4BCZ）為正方形，

/.ZZ>C4=45°,

/.ZFC/f=45°-a,^.MHG=45°-a=￡FHC,

：.AFCH="HC,

FH=FC,

，MH+FN=HF.

法5：構(gòu)造一線三垂直模型

過(guò)點(diǎn)H做小JL8C于S,交40于T，

易證三角形4Hse為等腰直角三角形，

二.HS=SC,

易證四邊形758為矩形，

TD=SC,

MN1DE,MN平分DE

：.HE=HD.

:.HS=TD,

4HSEW4DTH\HL）

'：ATHD=^SEH,

■:4SEH+LSHE=90°,

Z.THD+^SHE=90°,

：.^EHD=90°,△HDE為等腰直角三角形，

：.HF=FE=FD,

：.MH+FN=HF.

法6：利用斜邊中線

連接尸C，

?；F為DE中點(diǎn),ZDCE=90°,

FC=FE=FD,

設(shè)ZFDC=<z,則ZFCD=a,Z￡FC=2a,

???四邊形488為正方形，

ADCA=45°,

ZFCH=45°-a,ZFHC=1SO°-ZFCH-ZHFC=180°-(45°-a)-(900+2a)=45°-a,

^FCH=AFHC,

,.FH=FC,

,.MH+FN=HF.

9.(2022房山二模27題)如圖1,在四邊形ABC。中，ZABC=ZBCD,過(guò)點(diǎn)A作AEHDC交BC邊

于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF//AB交CD邊于點(diǎn)F,連接AF,過(guò)點(diǎn)C作CH//AF交AE于點(diǎn)H,連接BH。

(1)求證：AABH^AEAF；

BE

(2)如圖2,若BH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)AF的中點(diǎn)M,求——的值。

EC

BE

圖1

【答案】(1)【平行四邊形性質(zhì)+全等證明】

證明：:NABC=NBCD,AE//DC,EF//AB

：.ZABE=ZAEB,ZFEC=ZFCE,ZBAH=ZFEA：.AB=AE,FE=FC

又,：AF，四邊形AHCT為平行四邊形：.FE=FC=AH

：./\ABH^/\EAF.............................................3分

G

(2)【倍長(zhǎng)中線+數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化+相似比】

證明：延長(zhǎng)EF,兩延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G。

,?M為AR的中點(diǎn)AM=FM

又,：AB〃EF：.ZABM=ZFGM

'：ZAMB=ZFMG：.AABM^AFGM(AAS)：.AB=GM

又AB//EF：.AABHs叢EGH

'：XE//DC,EF//AB,CH//AF,ZABC=ZBCD

四邊形AHCF為平行四邊形，AABE和△REC為等腰三角形,

AZABE=ZFEC=ZAEB=ZFCE：.AABE^^FEC.............——

ECFE

設(shè)比值是a,則A"25a-。匕期FCFE,

HEAEAHAEFCaxFEFEa1.FE

EGEFGFa>FEFEa1>FE

.ABAHFEFE

?；LABHs△EGHa1-aa1

*EG~EHa1.FEa1<FE

a22a10解得：a12152舍基~

.BE_

.?沃V2.............................................7分

10.(2022石景山二模27題)在AABC中，/ACB=90。,CA=CB,D是AB的中點(diǎn)，E為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)

(不與點(diǎn)A,C重合〉，連接DE,將線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BF,過(guò)點(diǎn)F作FHLDE于

H,交射線BC于點(diǎn)G.

(1)如圖1,當(dāng)AE<EC時(shí)，比較NADE與NBFG的大?。挥玫仁奖硎揪€段BG與AE的數(shù)量關(guān)系，并證

明：

(2)如圖2,當(dāng)AE>EC時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段DE,CG,AC之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】

方法一：在EC上截取EK=AE.連BK.

因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以DE=俄，DE//BK,所以/ADE=NABK,所以NABK=/BFG.

2

由旋轉(zhuǎn)知AB=FB,ZGBF=90°-ZABC=45°=ZA