舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及分布列第6講幾何概型

第6講幾何概型1．幾何概型(1)幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的eq\o(□,\s\up3(01))長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型．(2)幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)2．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\o(□,\s\up3(04))eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）)．幾種常見的幾何概型(1)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)．(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題．(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題．1．在長(zhǎng)為6m的木棒上任取一點(diǎn)P，點(diǎn)P到木棒兩端點(diǎn)的距離都大于2m的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)答案B解析將木棒三等分，當(dāng)P位于中間一段(不包括兩個(gè)三等分點(diǎn))時(shí)，點(diǎn)P到木棒兩端點(diǎn)的距離都大于2m，∴P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).2．(2021·合肥質(zhì)檢)某廣播電臺(tái)只在每小時(shí)的整點(diǎn)和半點(diǎn)開始播放新聞，時(shí)長(zhǎng)均為5分鐘，則一個(gè)人在不知道時(shí)間的情況下打開收音機(jī)收聽該電臺(tái)，能聽到新聞的概率是()A．eq\f(1,14) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,7) D．eq\f(1,6)答案D解析由題意可知，該廣播電臺(tái)在一天內(nèi)播放新聞的時(shí)長(zhǎng)為24×2×5＝240(分鐘)，即4個(gè)小時(shí)，所以所求的概率為eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).故選D.3．(2022·陜西寶雞模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，則在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)M，點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,8)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,12)答案C解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的體積為a3，內(nèi)切球的體積為eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,6)πa3，故點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率為eq\f(\f(1,6)πa3,a3)＝eq\f(π,6).4．(2021·全國(guó)乙卷)在區(qū)間(0，1)與(1，2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于eq\f(7,4)的概率為()A．eq\f(7,9) B．eq\f(23,32)C．eq\f(9,32) D．eq\f(2,9)答案B解析在區(qū)間(0，1)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，記為x，在區(qū)間(1，2)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，記為y，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,1<y<2.))在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域(不含邊界).事件A為“兩數(shù)之和大于eq\f(7,4)”，即x＋y>eq\f(7,4)，點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分(不含邊界).由幾何概型的概率計(jì)算公式，得P(A)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(23,32)，故選B.5．(2021·四川名校聯(lián)盟模擬)不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,0≤y≤1，,y≥x2))所表示的平面區(qū)域?yàn)棣?，用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算Ω的面積，先產(chǎn)生兩組(每組100個(gè))在區(qū)間[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，x100和y1，y2，…，y100，由此得到100個(gè)點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，100)，再數(shù)出其中滿足yi<xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))(i＝1，2，…，100)的點(diǎn)數(shù)為33，那么由隨機(jī)模擬方法可得平面區(qū)域Ω面積的近似值為()A．0.33 B．0.66C．0.67 D．eq\f(1,3)答案C解析設(shè)平面區(qū)域?yàn)棣傅拿娣e為S，依題意eq\f(S,1)≈eq\f(100－33,100)，得S≈0.67.故選C.6．在區(qū)間[－2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________．答案3解析由題意，知m>0，當(dāng)0<m<2時(shí)，－m≤x≤m，此時(shí)所求概率為eq\f(m－（－m）,4－（－2）)＝eq\f(5,6)，解得m＝eq\f(5,2)(舍去)；當(dāng)2≤m<4時(shí)，所求概率為eq\f(m－（－2）,4－（－2）)＝eq\f(5,6)，解得m＝3；當(dāng)m≥4時(shí)，概率為1，不符合題意，故m＝3.

考向一與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型例1(1)(2021·山西太原模擬)在區(qū)間[－1，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，則直線y＝k(x－2)與圓x2＋y2＝1有兩個(gè)交點(diǎn)的概率為()A．eq\f(2,9) B．eq\f(\r(3),6)C．eq\f(1,3) D．eq\f(\r(3),3)答案D解析圓x2＋y2＝1的圓心為(0，0)，圓心到直線y＝k(x－2)的距離為eq\f(|2k|,\r(k2＋1)).要使直線y＝k(x－2)與圓x2＋y2＝1有兩個(gè)交點(diǎn)，需eq\f(|2k|,\r(k2＋1))<1，解得－eq\f(\r(3),3)<k<eq\f(\r(3),3)，所以在區(qū)間[－1，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，使直線y＝k(x－2)與圓x2＋y2＝1有兩個(gè)交點(diǎn)的概率P＝eq\f(\f(\r(3),3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3))),1－（－1）)＝eq\f(\r(3),3).故選D.(2)某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車時(shí)間不超過3分鐘的概率是________．答案eq\f(3,5)解析本題可以看成向區(qū)間[0，5]內(nèi)均勻投點(diǎn)，設(shè)A＝{某乘客候車時(shí)間不超過3分鐘}，則P(A)＝eq\f(區(qū)間[2，5]的長(zhǎng)度,區(qū)間[0，5]的長(zhǎng)度)＝eq\f(3,5).求解與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型應(yīng)注意的問題(1)求解幾何概型問題，解題的突破口為弄清是長(zhǎng)度之比、面積之比還是體積之比．(2)求與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的概率的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度，然后求解，應(yīng)特別注意準(zhǔn)確表示所確定的線段的長(zhǎng)度．1.在長(zhǎng)為16cm的線段MN上任取一點(diǎn)P，以MP，NP的長(zhǎng)為鄰邊的長(zhǎng)作一矩形，則該矩形的面積大于60cm2的概率為()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,4)答案A解析設(shè)MP＝xcm，0<x<16，則NP＝(16－x)cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率為P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故選A.2．(2022·江西南昌模擬)記函數(shù)f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[－4，5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是________．答案eq\f(5,9)解析設(shè)事件“在區(qū)間[－4，5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D”為事件A，由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2，3].如圖，區(qū)間[－4，5]的長(zhǎng)度為9，定義域D的長(zhǎng)度為5，∴P(A)＝eq\f(5,9).精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破考向二與面積有關(guān)的幾何概型角度與平面圖形面積有關(guān)的問題例2(2021·河南平頂山高三階段考試)如圖，B是AC上一點(diǎn)，分別以AB，BC，AC為直徑作半圓，從B作BD⊥AC，與半圓相交于D，AC＝6，BD＝2eq\r(2)，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率是()A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(4,9) D．eq\f(2,3)答案C解析連接AD，CD，可知△ACD是直角三角形，又BD⊥AC，所以BD2＝AB·BC，設(shè)AB＝x(0＜x＜3)，則有8＝x(6－x)，得x＝2，所以AB＝2，BC＝4，由此可得圖中陰影部分的面積等于eq\f(π×32,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π×12,2)＋\f(π×22,2)))＝2π，故所求概率P＝eq\f(2π,\f(1,2)×9π)＝eq\f(4,9).角度與線性規(guī)劃交匯的問題例3(2022·西南名校聯(lián)盟適應(yīng)性月考)小明和小波約好在周日下午4：00～5：00之間在某處見面，并約定好若小明先到，最多等小波半小時(shí)；若小波先到，最多等小明15分鐘，則小明和小波兩人能見面的概率為()A．eq\f(13,32) B．eq\f(17,32)C．eq\f(19,32) D．eq\f(23,32)答案C解析設(shè)小明到達(dá)時(shí)間為x，小波到達(dá)時(shí)間為y，x，y∈(0，1)，則由題意可列出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x≤\f(1,2)，,x－y≤\f(1,4)，,0<x<1，,0<y<1，))畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，計(jì)算得陰影部分的面積與正方形面積的比值為eq\f(19,32)，故選C.角度與定積分交匯的問題例4(2021·甘肅武威階段考試)如圖所示的陰影區(qū)域由x軸、直線x＝1及曲線y＝ex－1圍成，現(xiàn)向矩形區(qū)域OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在非陰影區(qū)域的概率是()A.eq\f(1,e) B．eq\f(1,e－1)C．1－eq\f(1,e) D．1－eq\f(1,e－1)答案B解析由題意，知陰影部分的面積為eq\i\in(0,1,)(ex－1)dx＝(ex－x)|eq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(0))＝e－2，∵矩形區(qū)域OABC的面積為e－1，∴該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率是eq\f(e－2,e－1)，故該點(diǎn)落在非陰影區(qū)域的概率為eq\f(1,e－1).求解與面積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點(diǎn)求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.3.七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，是由七塊板組成的．而這七塊板可拼成許多圖形，例如：三角形、不規(guī)則多邊形、各種人物、動(dòng)物、建筑物等，清陸以湉《冷廬雜識(shí)》寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余．在18世紀(jì)，七巧板流傳到了國(guó)外，至今英國(guó)劍橋大學(xué)的圖書館里還珍藏著一部《七巧新譜》．若用七巧板拼成一只雄雞，在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn)，則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,7)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,16)答案C解析設(shè)包含7塊板的正方形邊長(zhǎng)為4，其面積為4×4＝16，雄雞的雞尾是標(biāo)號(hào)為6的板塊，其面積為S＝2×1＝2，所以在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn)，則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為P＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).故選C.4．(2021·陜西渭南模擬)已知x∈[－1，1]，y∈[0，2]，則點(diǎn)P(x，y)落在區(qū)域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))內(nèi)的概率為________．答案eq\f(3,8)解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，其面積為eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×1＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×1＝eq\f(3,2)，則所求概率為eq\f(\f(3,2),2×2)＝eq\f(3,8).5.如圖，在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆(大小忽略不計(jì))，則它落到陰影部分的概率為________．答案eq\f(2,e2)解析由題意知，所給圖中兩陰影部分面積相等，故陰影部分面積為S＝2eq\i\in(0,1,)(e－ex)dx＝2(ex－ex)|eq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(0))＝2[e－e－(0－1)]＝2.又該正方形的面積為e2，故由幾何概型的概率公式可得所求概率為eq\f(2,e2).考向三與體積有關(guān)的幾何概型例5(1)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A．eq\f(π,12) B．1－eq\f(π,12)C．eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)答案B解析正方體的體積為2×2×2＝8，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3)，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為1－eq\f(\f(2π,3),8)＝1－eq\f(π,12).故選B.(2)(2021·云南昆明模擬)如圖，正四棱錐S－ABCD的頂點(diǎn)都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O內(nèi)任取一點(diǎn)，則這點(diǎn)取自正四棱錐內(nèi)的概率為________．答案eq\f(1,2π)解析設(shè)球的半徑為R，則所求的概率為P＝eq\f(V錐,V球)＝eq\f(\f(1,3)×\r(2)R×\r(2)R×R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2π).與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求．6.有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為圓柱下底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,4)答案B解析設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型，得P1＝eq\f(V半球,V圓柱)＝eq\f(\f(2,3)π×13,π×12×2)＝eq\f(1,3)，故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).故選B.考向四與角度有關(guān)的幾何概型例6(1)如圖所示，在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于15°的概率為()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)答案D解析依題意可知15°≤∠AOC≤75°，15°≤∠BOC≤75°，故OC活動(dòng)區(qū)域?yàn)榕cOA，OB構(gòu)成的角均為15°的扇形區(qū)域，可求得該扇形的圓心角為90°－30°＝60°.故所求概率P＝eq\f(OC活動(dòng)區(qū)域的圓心角度數(shù),∠AOB的度數(shù))＝eq\f(60°,90°)＝eq\f(2,3).(2)過等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部隨機(jī)作一條射線，設(shè)射線與AB相交于點(diǎn)D，求AD<AC的概率．解在AB上取一點(diǎn)E，使AE＝AC，連接CE(如圖)，則當(dāng)射線CD落在∠ACE內(nèi)部時(shí)，AD<AC.易知∠ACE＝67.5°，∴AD<AC的概率P＝eq\f(67.5°,90°)＝0.75.與角度有關(guān)的幾何概型的求解方法(1)若試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域的角度,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的角度).(2)解決此類問題時(shí)注意事件的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域及所求事件的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，然后再利用公式計(jì)算.7.如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率．解因?yàn)椤螧＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時(shí)事件N發(fā)生．由幾何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30°,75°)＝eq\f(2,5).1．(2022·河南焦作模擬)設(shè)x∈[0，π]，則sinx<eq\f(1,2)的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)答案C解析由sinx<eq\f(1,2)且x∈[0，π]借助于正弦曲線可得x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))，∴P＝eq\f(\f(π,6)×2,π－0)＝eq\f(1,3).2．某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A．eq\f(7,10) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(3,10)答案B解析行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達(dá)該路口，即滿足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈，根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率P＝eq\f(25,40)＝eq\f(5,8).故選B.3．(2022·山西晉城摸底)定義min{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b，))由集合{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}確定的區(qū)域記作Ω，由曲線C：y＝min{x，－2x＋3}和x軸圍成的封閉區(qū)域記作M，向區(qū)域Ω內(nèi)投擲12000個(gè)點(diǎn)，則估計(jì)落入?yún)^(qū)域M的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．3000 B．3500C．4000 D．4500答案D解析如圖，SM＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×1＝eq\f(3,4)，SΩ＝1×2＝2，落入?yún)^(qū)域M的概率為P＝eq\f(SM,SΩ)＝eq\f(\f(3,4),2)＝eq\f(3,8)，從而估計(jì)落入?yún)^(qū)域M的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為12000×eq\f(3,8)＝4500.4.如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)的圓錐外面的魚吃到”的概率是()A．1－eq\f(π,4) B．eq\f(π,12)C．eq\f(π,4) D．1－eq\f(π,12)答案A解析魚缸底面正方形的面積為22＝4，圓錐底面圓的面積為π.所以“魚食能被魚缸內(nèi)的圓錐外面的魚吃到”的概率是1－eq\f(π,4).故選A.5．(2021·東北三省三校第二次聯(lián)考)割補(bǔ)法在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中稱為“出入相補(bǔ)”，劉徽稱之為“以盈補(bǔ)虛”，即以多余補(bǔ)不足，是數(shù)量的平均思想在幾何上的體現(xiàn)．如圖，揭示了劉徽推導(dǎo)三角形面積公式的方法，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的概率為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,2)答案A解析根據(jù)題意可得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為三角形的底，長(zhǎng)方形的寬為三角形的高的一半，故標(biāo)記“盈”的區(qū)域的面積為三角形面積的四分之一，故該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的概率為eq\f(1,4).故選A.6．已知實(shí)數(shù)m∈[0，1]，n∈[0，2]，則關(guān)于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有實(shí)數(shù)根的概率是()A．1－eq\f(π,4) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π－3,2) D．eq\f(π,2)－1答案A解析關(guān)于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有實(shí)數(shù)根，則Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0，得m2＋(n－1)2≥1，如圖所示，長(zhǎng)方形的面積為2，扇形的面積為eq\f(π,2)，圖中白色部分是滿足題意的點(diǎn)集合區(qū)域，故概率為eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).故選A.7．在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32cm2的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)答案C解析設(shè)AC＝xcm(0<x<12)，則CB＝(12－x)cm，則矩形面積S＝x(12－x)＝12x－x2<32，即(x－8)(x－4)>0，解得0<x<4或8<x<12，在數(shù)軸上表示為由幾何概型概率公式，得概率為eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).故選C.8．(2021·河南安陽(yáng)模擬)在區(qū)間(0，1)中隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于eq\f(4,5)的概率是()A．eq\f(8,25) B．eq\f(9,25)C．eq\f(16,25) D．eq\f(17,25)答案A解析設(shè)取出的兩個(gè)數(shù)為x，y，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1，))若兩數(shù)之和小于eq\f(4,5)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1，,x＋y<\f(4,5)，))原問題可以轉(zhuǎn)化為求不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1，,x＋y<\f(4,5)))表示的區(qū)域與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1))表示的區(qū)域的面積之比的問題，如圖所示，易得其概率為eq\f(\f(1,2)×\f(4,5)×\f(4,5),1×1)＝eq\f(8,25).9.如圖，扇形AOB的圓心角為120°，點(diǎn)P在弦AB上，且AP＝eq\f(1,3)AB，延長(zhǎng)OP交弧AB于點(diǎn)C，現(xiàn)向扇形AOB內(nèi)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在扇形AOC內(nèi)的概率為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,7) D．eq\f(3,8)答案A解析設(shè)OA＝3，則AB＝3eq\r(3)，AP＝eq\r(3)，由余弦定理可求得OP＝eq\r(3)，∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面積為eq\f(3π,4)，扇形AOB的面積為3π，從而所求概率為eq\f(\f(3π,4),3π)＝eq\f(1,4).10．(2022·甘肅天水模擬)已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點(diǎn)D，則△ABD為鈍角三角形的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)答案C解析如圖，當(dāng)BE＝1時(shí)，∠AEB為直角，則點(diǎn)D在線段BE(不包含B，E點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF＝4時(shí)，∠BAF為直角，則點(diǎn)D在線段CF(不包含F(xiàn)點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形．所以△ABD為鈍角三角形的概率為eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).11.如圖，矩形ABCD滿足BC＝2AB，E為BC的中點(diǎn)，其中曲線為過A，D，E三點(diǎn)的拋物線，隨機(jī)向矩形內(nèi)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(π－2,4)答案A解析以BC所在的直線為x軸，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB＝1，則BC＝2，B(－1，0)，C(1，0)，A(－1，1)，D(1，1)，過A，D，E三點(diǎn)的拋物線方程為y＝x2，陰影部分的面積為S′＝eq\f(1,2)×1×1×2－eq\i\in(－1,1,)x2dx＝1－eq\f(1,3)x3|eq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(－1))＝eq\f(1,3)，又矩形ABCD的面積為S矩形ABCD＝1×2＝2，故點(diǎn)落在陰影部分的概率為P＝eq\f(S′,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(1,3),2)＝eq\f(1,6).12．在三棱錐D－ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得三棱錐P－ABC的體積滿足VP－ABC<eq\f(1,2)VD－ABC的概率是()A．eq\f(7,8) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)答案A解析由題意知，三棱錐D－ABC與三棱錐P－ABC的底面相同，設(shè)三棱錐D－ABC的底面面積為S，三棱錐P－ABC的高為h，三棱錐D－ABC的高為h′.由eq\f(1,3)Sh<eq\f(1,2)×eq\f(1,3)Sh′，得h<eq\f(h′,2).如圖，點(diǎn)P應(yīng)位于棱臺(tái)A′B′C′－ABC內(nèi)，其中A′，B′，C′分別為DA，DB，DC的中點(diǎn)，易知棱臺(tái)的上底面的面積S′＝eq\f(1,4)S，所以棱臺(tái)的體積應(yīng)為VD－ABC－eq\f(1,8)VD－ABC＝eq\f(7,8)VD－ABC，故所求概率為eq\f(\f(7,8)VD－ABC,VD－ABC)＝eq\f(7,8).13．(2021·江西贛州十四縣聯(lián)考)在(0，8)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)m，則事件“直線x＋y－1＝0與圓(x－3)2＋(y－4)2＝m2沒有公共點(diǎn)”發(fā)生的概率為________．答案eq\f(3\r(2),8)解析因?yàn)閙∈(0，8)，直線x＋y－1＝0與圓(x－3)2＋(y－4)2＝m2沒有公共點(diǎn)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<m<8，,\f(|3＋4－1|,\r(2))>m，))解得0<m<3eq\r(2)，所以所求概率P＝eq\f(3\r(2),8).14．(2021·江西宜春4月模擬)一只螞蟻在最小邊長(zhǎng)大于4，且面積為24的三角形內(nèi)自由爬行，某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的某個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過2的概率為________．答案eq\f(π,12)解析根據(jù)題意，△ABC的面積為24，若某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的某個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過2，則螞蟻在如圖三角形的陰影部分，它的面積為半徑為2的半圓面積S＝eq\f(1,2)×π×22＝2π，所以某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的某個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過2的概率為P＝eq\f(2π,24)＝eq\f(π,12).15.(2021·陜西咸陽(yáng)二模)中國(guó)人民銀行發(fā)行了2020吉祥文化金銀紀(jì)念幣，如圖所示是一枚5克圓形金質(zhì)紀(jì)念幣，背面圖案為松、鶴、靈芝、云紋等組合圖案，并刊“松鶴延年”字樣及面額，直徑為18mm，小王同學(xué)為了測(cè)算圖中裝飾鶴的面積，他用1枚針向紀(jì)念幣投擲500次，其中針尖恰有150次落在裝飾鶴的身上，據(jù)此可估計(jì)裝飾鶴的面積是________mm2.答案eq\f(243π,10)解析紀(jì)念幣的直徑為18mm，故其面積是S＝81πmm2，而裝飾鶴的面積大約是紀(jì)念幣面積的eq\f(150,500)＝eq\f(3,10)，故估計(jì)裝飾鶴的面積S′＝81π×eq\f(3,10)＝eq\f(243π,10)mm2.16．(2021·陜西安康第三次教學(xué)質(zhì)量聯(lián)考)小雁塔，位于唐長(zhǎng)安城安仁坊(今陜西省西安市南郊)薦福寺內(nèi)，又稱“薦福寺塔”，建于唐景龍年間，與大雁塔同為唐長(zhǎng)安城保留至今的重要標(biāo)志．小雁塔是密檐式磚結(jié)構(gòu)佛塔，塔身為四方形，底邊長(zhǎng)11.38米．若某游客在距離塔底中心11.38米的圓周上任取一點(diǎn)，從該點(diǎn)處觀察小雁塔，則他可以同時(shí)看到塔的兩個(gè)側(cè)面(即看到圖2