千題百煉-高考數(shù)100個熱點問題(一)：第12煉復(fù)合函數(shù)零點問題

第二章 第12煉復(fù)合函數(shù)零點問題函數(shù)及其性質(zhì)第12煉復(fù)合函數(shù)零點問題一、基礎(chǔ)知識：1、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)，，且函數(shù)的值域為定義域的子集，那么通過的聯(lián)系而得到自變量的函數(shù)，稱是的復(fù)合函數(shù)，記為2、復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計算的步驟：求函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外”的順序，一層層求出函數(shù)值。例如：已知，計算解：3、已知函數(shù)值求自變量的步驟：若已知函數(shù)值求的解，則遵循“由外到內(nèi)”的順序，一層層拆解直到求出的值。例如：已知，，若，求解：令，則解得當(dāng)，則當(dāng)，則綜上所述：由上例可得，要想求出的根，則需要先將視為整體，先求出的值，再求對應(yīng)的解，這種思路也用來解決復(fù)合函數(shù)零點問題，先回顧零點的定義：4、函數(shù)的零點：設(shè)的定義域為，若存在，使得，則稱為的一個零點5、復(fù)合函數(shù)零點問題的特點：考慮關(guān)于的方程根的個數(shù)，在解此類問題時，要分為兩層來分析，第一層是解關(guān)于的方程，觀察有幾個的值使得等式成立；第二層是結(jié)合著第一層的值求出每一個被幾個對應(yīng)，將的個數(shù)匯總后即為的根的個數(shù)6、求解復(fù)合函數(shù)零點問題的技巧：（1）此類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問題的開始要作出的圖像（2）若已知零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，則先估計關(guān)于的方程中解的個數(shù)，再根據(jù)個數(shù)與的圖像特點，分配每個函數(shù)值被幾個所對應(yīng)，從而確定的取值范圍，進而決定參數(shù)的范圍復(fù)合函數(shù)：二、典型例題例1：設(shè)定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程由3個不同的解，則______思路：先作出的圖像如圖：觀察可發(fā)現(xiàn)對于任意的，滿足的的個數(shù)分別為2個（）和3個（），已知有3個解，從而可得必為的根，而另一根為或者是負數(shù)。所以，可解得：，所以答案：5例2：關(guān)于的方程的不相同實根的個數(shù)是（）A.3B.4C思路：可將視為一個整體，即，則方程變?yōu)榭山獾茫夯?，則只需作出的圖像，然后統(tǒng)計與與的交點總數(shù)即可，共有5個答案：C例3：已知函數(shù)，關(guān)于的方程（）恰有6個不同實數(shù)解，則的取值范圍是．有兩個對應(yīng)的，共計4個；當(dāng)時，的圖像如圖所示，先拆外層可得，且只有一個滿足的，所以共一個零點。結(jié)合選項，可判斷出A正確答案：A例9：已知函數(shù)，則方程（為正實數(shù)）的實數(shù)根最多有___________個思路：先通過分析的性質(zhì)以便于作圖，，從而在單增，在單減，且，為分段函數(shù)，作出每段圖像即可，如圖所示，若要實數(shù)根最多，則要優(yōu)先選取能對應(yīng)較多的情況，由圖像可得，當(dāng)時，每個可對應(yīng)3個。只需判斷中，能在取得的值的個數(shù)即可，觀察圖像可得，當(dāng)時，可以有2個，從而能夠找到6個根，即最多的根的個數(shù)答案：6個例10：已知函數(shù)和在的圖像如下，給出下列四個命題：（1）方程有且只有6個根（2）方程有且只有3個根（3）方程有且只有5個根（4）方程有且只有4個根則正確命題的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4思路：每個方程都可通過圖像先拆掉第一層，找到內(nèi)層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計出的總數(shù)。（1）中可得，進而有2個對應(yīng)的，有3個，有2個，總計7個，（1）錯誤；（2）中可得，進而有1個對應(yīng)的，有3個，總計4個，（2）錯誤；（3）中可得，進而有1個對