全等三角形與旋轉(zhuǎn)問題

七年級數(shù)學(xué)下全等三角形【1】如圖，點為線段上一點，、是等邊三角形．請你證明：⑴；⑵；⑶平分．【2】如圖，點為線段上一點，、是等邊三角形，是中點，是中點，求證：是等邊三角形．【3】如下圖，在線段同側(cè)作兩個等邊三角形和()，點與點分別是線段和的中點，則是_____________。A．鈍角三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．非等腰三角形【4】如圖，等邊三角形與等邊共頂點于點．求證：．【10】在等邊的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點M，N，D為外一點，且，，，探究：當(dāng)點M，N分別愛直線AB，AC上移動時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長與等邊的周長L的關(guān)系。⑴如圖①，當(dāng)點M，N在邊AB，AC上，且DM=DN時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系式__________；此時=__________⑵如圖②，當(dāng)點M，N在邊AB，AC上，且時，猜想(1)問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；⑶如圖③，當(dāng)點M，N分別在邊AB，CA的延長線上時，若AN=x，則Q=_________(用x，L表示)【13】已知：如圖，、、都是等邊三角形，且、、共線，．求證：也是等邊三角形．【11】(1)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD．求證：EF＝BEFD。如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明．【14】如圖所示，在五邊形中，，，求此五邊形的面積?！?5】在五邊形中，已知，，，連接．求證：平分．【16】如圖，已知和都是等邊三角形，、、在一條直線上，試說明與相等的理由．【17】在梯形中，，，，，，是中點，試判斷與的位置關(guān)系，并寫出推理過程．【18】在等腰直角中，，，是的中點，點從出發(fā)向運動，交于點，試說明的形狀和面積將如何變化． 【19】等邊和等邊的邊長均為1，是上異于的任意一點，是上一點，滿足，當(dāng)移動時，試判斷的形狀．答案：【1】⑴∵、是等邊三角形，∴，，∴，∴；⑵由易推得，所以，又，進而可得為等邊三角形．易得．⑶過點作于，于，由；利用進而再證，可得，故平分．【2】∵，∴，；又∵、分別是、的中點，∴，∴，；∴；∴是等邊三角形【3】易得．所以可以看成是繞著點順時針旋轉(zhuǎn)而得到的．又為線段中點，為線段中點，故就是繞著點順時針旋轉(zhuǎn)而得．所以且，，故是等邊三角形，選C．【4】∵是等邊三角形，∴，．∴，同理，．∴在與中，∴，∴．【5】連接，將條件，這兩個條件，易得()，得，由，，(公共邊)，知()，∴．故的度數(shù)是定值．【6】連結(jié)由上可知，，，，而，．∴，∴，∴．【7】如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得，連結(jié)，則，，，∴．∴，∴又易得，∴在中，有，故應(yīng)選(B)【8】⑴證明：根據(jù)繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到；∴∴，，，；在中；∵；∴；∴；即；∴；又∵；∴；∴；即；∴；∴；∴；⑵關(guān)系式仍然成立；證明：將沿直線對折，得，連∴；∴，；，；又∵，∴；∵；；∴；又∵；∴；∴，；；∴；∴在中；即；【9】如圖所示，延長到使．在與中，因為，，，所以，故．因為，，所以．又因為，所以．在與中，，，，所以，則，所以的周長為．【10】BM+NC=MN;(2)猜想：仍然成立；證明：如圖，延長AC至E，使CE=BM，連接DE；；由是等邊三角形，，；，；在與中； ；；的周長==；而等邊的周長；；(3)；【11】證明：延長EB到G，使BG=DF，聯(lián)結(jié)AG．∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝，AB＝AD，∴．∴AG＝AF，．∴．∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE，∴．∴EG＝EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE＋FD(2)(1)中的結(jié)論仍然成立．【12】連接與；∵，∴，；∴在與中；；∴；∴在與中；∴；∴；∴為平行四邊形，∴，互相平分．【13】連結(jié)，∵，，，所以，并且與的夾角為，延長交于，則．又因為，．所以．所以，．【14】連接，則發(fā)現(xiàn)≌，且，，，是底、高各為的三角形，其面積為，而與全等，從而可知此五邊形的面積為．【15】連接．由于，．我們以為中心，將逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置．因，所以點與點重合，而，所以、、在一條直線上，點旋轉(zhuǎn)后落在點的位置，且，．所以．在與中，因為，，，故≌，因此，即平分．【16】答案：∵，，；∴∴；又∵；∴；【17】答案：延長交延長線于點．是中點，，，，，在和中，；，；又，在和中，；，【18】答案：連接．因為且，所以．因為是的中點，所以，且，則．因為，所以，所以，所以．因此是等腰直