直線的方程（八大題型）

直線的方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、能說(shuō)出平面直角坐標(biāo)系中確定直線的幾何要素，能結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程求解過(guò)程，說(shuō)明“直線的方程”和“方程的直線”之間的關(guān)系．2、能根據(jù)確定直線的幾何要素（一點(diǎn)和方向）建立點(diǎn)斜式方程，能通過(guò)點(diǎn)的特殊化得出斜截式方程．3、能利用點(diǎn)斜式推出兩點(diǎn)式，能通過(guò)特殊化得出截距式．4、能通過(guò)歸納點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式的共性，概括出直線的一般式方程；能用自己的語(yǔ)言解釋直線與二元一次方程的關(guān)系．5、能用直線的方程解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．1、了解由斜率公式推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式的過(guò)程．2、掌握直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程3、根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線的兩點(diǎn)式方程4、掌握直線的一般式方程5、會(huì)進(jìn)行直線方程的五種形式之間的轉(zhuǎn)化．知識(shí)點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程方程由直線上一定點(diǎn)及其斜率決定，我們把叫做直線的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、點(diǎn)斜式方程是由直線上一點(diǎn)和斜率確定的，點(diǎn)斜式的前提是直線的斜率存在．點(diǎn)斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2、當(dāng)直線的傾斜角為0°時(shí)，直線方程為；3、當(dāng)直線傾斜角為90°時(shí)，直線沒(méi)有斜率，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．這時(shí)直線方程為：．4、表示直線去掉一個(gè)點(diǎn)；表示一條直線．【即學(xué)即練1】一直線過(guò)點(diǎn)，它的傾斜角等于直線的傾斜角的兩倍，則這條直線的點(diǎn)斜式方程為______．【答案】【解析】直線的斜率為，所以該直線的傾斜角為，所以所求直線的傾斜角為，斜率為，所以所求直線的點(diǎn)斜式方程為故答案為：.知識(shí)點(diǎn)二：直線的斜截式方程如果直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可得，即．我們把直線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實(shí)數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；距離必須大于或等于零；2、斜截式方程可由過(guò)點(diǎn)的點(diǎn)斜式方程得到；3、當(dāng)時(shí)，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式．4、斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5、斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距．【即學(xué)即練2】?jī)A斜角為，且過(guò)點(diǎn)的直線斜截式方程為__________．【答案】【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，則直線的斜率，所以直線的方程，即.故答案為：.知識(shí)點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（其中）的直線方程為，稱這個(gè)方程為直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、這個(gè)方程由直線上兩點(diǎn)確定；2、當(dāng)直線沒(méi)有斜率（）或斜率為時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程．3、直線方程的表示與選擇的順序無(wú)關(guān)．4、在應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)，往往把分式形式通過(guò)交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情況，但此轉(zhuǎn)化過(guò)程不是一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點(diǎn)式的整式形式．【即學(xué)即練3】已知，，則直線的兩點(diǎn)式方程為__．【答案】【解析】當(dāng)直線過(guò)兩點(diǎn)，時(shí)，其兩點(diǎn)式方程為，則直線的兩點(diǎn)式方程為，故答案為：.知識(shí)點(diǎn)四：直線的截距式方程若直線與x軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為，其中，則過(guò)AB兩點(diǎn)的直線方程為，這個(gè)方程稱為直線的截距式方程．叫做直線在x軸上的截距，叫做直線在軸上的截距．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、截距式的條件是，即截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線．2、求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法：令得直線在軸上的截距；令得直線在軸上的截距．【即學(xué)即練4】過(guò)兩點(diǎn)，的截距式方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于直線過(guò)，兩點(diǎn)，所以直線在x軸，y軸上的截距分別為－2，3，由截距式可知，方程為．故選：D知識(shí)點(diǎn)五：直線方程的一般式關(guān)于和的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為，這個(gè)方程（其中A、B不全為零）叫做直線方程的一般式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．當(dāng)時(shí)，方程可變形為，它表示過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線．當(dāng)，時(shí)，方程可變形為，即，它表示一條與x軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2、在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線，反過(guò)來(lái)，一條直線可以對(duì)應(yīng)著無(wú)數(shù)個(gè)關(guān)于、的一次方程．【即學(xué)即練5】若，且，則經(jīng)過(guò)的直線的一般方程為_________【答案】【解析】若,則點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在直線上即、都在同一直線上因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線,所以由、確定的直線即為故答案為:題型一：求直線的點(diǎn)斜式方程例1．（2023·四川樂(lè)山·高二校聯(lián)考期中）平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)，且在且傾斜角α滿足，則直線的點(diǎn)斜式方程為_______.【答案】【解析】因?yàn)?，且，解得或，因?yàn)?，所以，即，所以，即直線的斜率，所以直線方程為，故答案為：例2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角是直線的傾斜角的2倍，求直線l的點(diǎn)斜式方程．【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為，因?yàn)椋?，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故所求直線方程為；例3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件求直線的點(diǎn)斜式方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為4；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為．【解析】(1)由題得直線的點(diǎn)斜式方程為.(2)由題得直線的斜率為，所以直線的點(diǎn)斜式方程為.例4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求過(guò)點(diǎn)，傾斜角等于的傾斜角的一半的直線的點(diǎn)斜式方程．【解析】直線的斜率為，傾斜角為，所以所求直線的傾斜角為，斜率為，由直線過(guò)點(diǎn)，則直線的點(diǎn)斜式方程為.【技巧總結(jié)】（1）利用點(diǎn)斜式求直線方程的步驟是：①判斷斜率是否存在，并求出存在時(shí)的斜率；②在直線上找一點(diǎn)，并求出其坐標(biāo)．（2）要注意點(diǎn)斜式直線方程的逆向運(yùn)用，即由方程可知該直線過(guò)定點(diǎn)且斜率為．題型二：求直線的斜截式方程例5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為的直線的斜截式方程為______．【答案】【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即，故答案為：.例6．（2023·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1的直線l的斜截式方程是______．【答案】或【解析】由題意所求直線l的斜率必存在，且不為，設(shè)其斜率為，則直線l方程為，令，得，令，得，故所圍三角形面積為，即，當(dāng)時(shí)，上式可化為，解得或；當(dāng)時(shí)，上式可化為，方程無(wú)解；綜上：直線的斜截式方程是或.故答案為：或.例7．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程：(1)斜率為2，在y軸上的截距是5；(2)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；(3)傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3.【解析】（1）由直線方程的斜截式可知，所求直線的斜截式方程為y＝2x＋5.（2）由于直線的傾斜角為150°，所以斜率k＝tan150°＝－，故所求直線的斜截式方程為y＝－x－2.（3）因?yàn)橹本€的傾斜角為60°，所以斜率k＝tan60°＝．因?yàn)橹本€與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3，所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3，故所求直線的斜截式方程為y＝x＋3或y＝x－3.例8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn)和．（1）求直線的點(diǎn)斜式方程；（2）將（1）中的直線的方程化成斜截式方程，并寫出直線在軸上的截距．【解析】（1）直線的斜率，故直線的點(diǎn)斜式方程為（或）．（2）由得，所以直線的斜截式方程為，當(dāng)時(shí)，，所以直線在軸上的截距為．【技巧總結(jié)】（1）選用斜截式表示直線方程的依據(jù)是知道（或可以求出）直線的斜率和直線在軸上的截距．（2）直線的斜截式方程的好處在于它比點(diǎn)斜式方程少一個(gè)參數(shù)，即斜截式方程只要兩個(gè)參數(shù)、即可確定直線的方程，而點(diǎn)斜式方程則需要三個(gè)參數(shù)、、才能確定，而且它的形式簡(jiǎn)潔明了，這樣當(dāng)我們僅知道直線滿足一個(gè)條件時(shí)，由參數(shù)選用斜截式方程具有化繁為簡(jiǎn)的作用．（3）若直線過(guò)某一點(diǎn)，則這一點(diǎn)坐標(biāo)一定滿足直線方程，這一隱含條件應(yīng)充分利用．題型三：用兩點(diǎn)式求直線的方程例9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，直線的兩點(diǎn)式方程為______．【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)，直線的兩點(diǎn)式方程為故答案為：例10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)、，則直線AB的兩點(diǎn)式方程是______．【答案】【解析】直線的兩點(diǎn)式方程為：將點(diǎn)、代入得：.故答案為：.例11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)?的直線的兩點(diǎn)式方程為___________.【答案】【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)?，由直線的兩點(diǎn)式方程可得，可得，即，所以直線的兩點(diǎn)式方程為.故答案為：.例12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的兩點(diǎn)式方程為，則l的斜率為______．【答案】【解析】易得直線過(guò)，故l的斜率為.故答案為：例13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是______．（填序號(hào)）①一條直線不與x軸平行或重合，則它的方程可以寫成兩點(diǎn)式；②點(diǎn)斜式方程適用于不垂直于x軸的任何直線；③過(guò)，兩點(diǎn)的所有直線方程可表示為；④經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，的直線都可以用方程表示．【答案】②④【解析】?jī)牲c(diǎn)式不能表示與軸平行或重合的直線，故①③錯(cuò)誤；點(diǎn)斜式適用于不垂直于x軸的任何直線，故②正確；④是兩點(diǎn)式的變形，但是包括了與軸平行或重合的直線，故④正確，故答案為：②④.【技巧總結(jié)】當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件，若滿足即可考慮用兩點(diǎn)式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫出方程．題型四：用截距式求直線的方程例14．直線的截距式方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，即，所以直線的截距式方程為．故選：B.例15．（2023·河南南陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．直線方程的截距式可表示除過(guò)原點(diǎn)外的所有直線B．與是直線的截距式方程C．直線方程的斜截式都可以化為截距式D．在軸、軸上的截距分別是2，－3的直線方程為【答案】D【解析】因?yàn)榻鼐嗍竭m用于在軸、軸上的截距都存在且都不為0的直線，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)榉匠膛c不符合截距式方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)樾苯厥降闹本€方程包含在軸上的截距為0的情況，而此類直線的方程不可以化為截距式，如直線，所以C錯(cuò)誤；在軸、軸上的截距分別是2，－3的直線方程為，易知D正確.故選：D例16．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知三頂點(diǎn)坐標(biāo)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則中位線所在直線的截距式方程為()A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槿旤c(diǎn)坐標(biāo)為，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，則直線的兩點(diǎn)式方程為：，故截距式方程為.故選：A．【技巧總結(jié)】應(yīng)用截距式求直線方程時(shí)，一定要注意討論截距是否為零．題型五：直線的一般式方程例17．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距小1，且過(guò)定點(diǎn)，則直線l的方程為________________.【答案】或.【解析】設(shè)直線方程的截距式為.則，解得或，則直線方程是或，即或.故答案為：或.例18．（2023·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）傾斜角為，且過(guò)點(diǎn)的直線的方程為__________.【答案】/【解析】因?yàn)橹本€傾斜角為，且過(guò)點(diǎn)，所以直線軸，故直線方程為，故答案為：例19．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）直線l過(guò)點(diǎn)，若l的斜率為3，則直線l的一般式方程為______．【答案】【解析】由直線的點(diǎn)斜式可得，方程為，化為一般式方程為.故答案為：例20．（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？计谀┻^(guò)點(diǎn)的直線方程（一般式）為_____．【答案】【解析】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，所以直線方程為，化為一般式為，故答案為：．例21．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線和直線都過(guò)點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程.【解析】把坐標(biāo)代入直線和直線，得,，∴，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線的方程是：，∴，則，∵，∴，∴所求直線方程為．例22．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線l的一般式方程．【解析】直線l的傾斜角為，，當(dāng)為銳角時(shí)，，直線l的斜率，由直線點(diǎn)斜式方程得：，即，當(dāng)為鈍角時(shí)，，直線l的斜率，由直線點(diǎn)斜式方程得：，即，所以直線l的一般式方程為或.【技巧總結(jié)】對(duì)于直線方程的一般式，一般作如下約定：的系數(shù)為正，，的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含項(xiàng)、項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列．求直線方程的題目，無(wú)特別要求時(shí)，結(jié)果寫成直線方程的一般式．題型六：判斷動(dòng)直線所過(guò)定點(diǎn)例23．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則直線過(guò)定點(diǎn)_____.【答案】【解析】由實(shí)數(shù)滿足，可得,代入直線方程，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn).故答案為：.例24．（2023·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎本€，當(dāng)變化時(shí)，直線總是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為______.【答案】【解析】因?yàn)橹本€可化為，令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故答案為：.例25．（2023·廣東湛江·高二湛江二十一中?？计谥校o(wú)論取何值，直線恒過(guò)定點(diǎn)__________．【答案】【解析】直線方程化為，由得，定點(diǎn)為，故答案為：．例26．（2023·福建·高二福建師大附中?？奸_學(xué)考試）直線恒過(guò)定點(diǎn)________.【答案】【解析】依題意，直線，由得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).故答案為：例27．（2023·湖南郴州·高二校考期中）無(wú)論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為______【答案】【解析】直線可化為，由可得，.所以，直線必過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.例28．（2023·高二單元測(cè)試）若，則直線必過(guò)定點(diǎn)______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在直線上，所以直線必過(guò)定點(diǎn)，故答案為：.【技巧總結(jié)】合并參數(shù)題型七：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問(wèn)題例29．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，求直線l的方程．【解析】解∵直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，∴直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等或互為相反數(shù)且不為0，若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且設(shè)為，則直線方程為，即.，即，，∴直線方程為.若在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，不妨設(shè)在軸上的截距為，則在軸上的截距為，故直線方程為，即.∵，即，，直線方程為.綜上所述，直線的方程為或.例30．（2023·甘肅慶陽(yáng)·高二?？计谥校?）求經(jīng)過(guò)，且斜率為的直線方程；（2）已知直線l過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積為9，求直線l的斜率．【解析】（1）由題可得直線方程為，即所求直線的方程為；（2）設(shè)直線l的方程為，則由題意有，解得或，由可知直線的斜率為，所以直線l的斜率為或．例31．（2023·浙江紹興·高二諸暨中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線l過(guò)點(diǎn)，且與x軸、y軸的正方向分別交于A，B兩點(diǎn)，分別求滿足下列條件的直線方程：(1)時(shí)，求直線l的方程．(2)當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線l的方程．【解析】（1）作，則.由三角形相似，，可求得，，∴方程為，即；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為，由題意，知，，∵l過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴的面積，化簡(jiǎn)，得.①∴，解得或（舍去）.∴S的最小值為4，將代入①式，得，解得，∴.∴直線l的方程為.例32．（2023·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)直線l的方程為(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.(2)若l不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.【解析】（1）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)滿足條件，此時(shí),解得,化為.當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則直線斜率為1，故,解得,可得直線的方程為:.綜上所述，直線的方程為或.（2）,∵不經(jīng)過(guò)第二象限,∴,解得.∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）令,解得,解得;令,解得,解得或.綜上有.∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴(為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值是6，此時(shí)直線方程，即例33．（2023·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線的方程為，根據(jù)下列條件分別確定的值：(1)直線的斜率為；(2)直線與兩坐標(biāo)軸在第二象限圍成的三角形面積為.【解析】（1）由題意可知，直線的斜率為，解得.（2）由題意可知，在直線的方程中，令，可得，令時(shí)，可得，所以，直線分別交、軸于點(diǎn)、，由題意可得，解得.由題意可得，整理可得，因?yàn)?，解?【技巧總結(jié)】（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說(shuō)．（2）在求直線方程時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問(wèn)題的解決．例如：已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)這點(diǎn)的直線方程，通常選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)，選擇截距式或兩點(diǎn)式．在求直線方程的過(guò)程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對(duì)特殊情況的討論，以免遺漏．題型八：直線方程的綜合問(wèn)題例34．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知直線，直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)．(1)證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；(2)已知點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．【解析】（1）已知直線，則，由，解得，即直線l過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)直線的方程為，則，又直線l過(guò)定點(diǎn)，則，又點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)取等號(hào)，所以直線l的方程為，所以直線l過(guò)，即，解得．例35．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知定點(diǎn)及定直線，點(diǎn)Q在直線l上（Q在第一象限），直線PQ交x軸正半軸于點(diǎn)M，要使的面積最?。∣為原點(diǎn)），求Q點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】依題意，設(shè)點(diǎn)，顯然點(diǎn)共線，當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，即，直線斜率存在，則有，整理得：，，而，，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，由解得，則當(dāng)時(shí)，的面積取得最小值，此時(shí)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，，顯然，所以的面積取得最小值時(shí)，點(diǎn).例36．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二校考期末）在一些城市中，街道大多是相互垂直或平行的，從城市的一點(diǎn)到達(dá)不在同一條街道上的另一點(diǎn)，常常不能沿直線方向行走，而只能沿街走（拐直角彎）.因此我們引入直角坐標(biāo)系，對(duì)給定的兩點(diǎn)和，用以下方式定義距離：（注：下述問(wèn)題中提到的“距離”都是指上述距離）(1)畫出到定點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)構(gòu)成的圖形，并描述圖形的特征；(2)設(shè)和，畫出到A、B兩點(diǎn)距離之和為4的點(diǎn)構(gòu)成的圖形，并描述圖形的特征.【解析】（1）點(diǎn)滿足的方程是，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故圖形是以、、、為頂點(diǎn)的正方形，如圖所示，（2）點(diǎn)滿足的方程是，，結(jié)合數(shù)軸可解得，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，故圖形是以、、、、、為頂點(diǎn)的六邊形，如下圖所示例37．（2023·吉林四平·高二四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)分別求出滿足下列條件的直線方程：(1)與直線平行：(2)交x軸?y軸的正半軸于A，B兩點(diǎn)，且取得最小值.【解析】（1）由于直線的斜率，所以所求直線的斜率為，故過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，即所求直線方程為；（2）由題意設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，令，得；令，得，即，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即（舍去）時(shí)，取得最小值.此時(shí)所求直線方程為.例38．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，由確定兩個(gè)點(diǎn).(1)寫出直線的方程（答案含）；(2)在內(nèi)作內(nèi)接正方形，頂點(diǎn)在邊上，頂點(diǎn)在邊上.若，當(dāng)正方形的面積最大時(shí)，求的值.【解析】（1）由題意知當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，直線的方程為.直線的方程為.（2）由和四邊形為正方形可知，，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，所以，而正方形的面積最大，即最大，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圖中陰影部分的面積最大.【技巧總結(jié)】在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因?yàn)樾苯厥街恍枰獌蓚€(gè)獨(dú)立變數(shù)，而點(diǎn)斜式需要三個(gè)獨(dú)立變數(shù)．在求直線方程時(shí)，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕?，已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)這點(diǎn)的直線，通常采用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積或周長(zhǎng)，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．一、單選題1．（2023·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知直線的一個(gè)方向向量為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即.故選：D2．（2023·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線的方程是，即.故選：C3．（2023·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）方程所表示的曲線是（

）A．一個(gè)點(diǎn) B．一條直線 C．兩條直線 D．拋物線【答案】C【解析】因?yàn)椋瑒t即或，方程所表示的曲線是兩條直線.故選：C.4．（2023·湖南衡陽(yáng)·高二衡陽(yáng)市一中?？计谀┫铝姓f(shuō)法中，正確的是（

）A．過(guò)點(diǎn)且在軸截距相等的直線方程為B．直線在軸上的截距為C．直線的傾斜角為D．過(guò)點(diǎn)并且傾斜角為的直線方程為【答案】B【解析】對(duì)于A，過(guò)點(diǎn)且在軸截距相等的直線方程為或，故A不正確；對(duì)于B，，令，可得，所以在軸上的截距為，故B正確；對(duì)于C，，則直線的斜率，所以直線的傾斜角為，故C不正確.對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)并且傾斜角為的直線方程為，故D不正確.故選：B.5．（2023·安徽安慶·高二?？茧A段練習(xí)）不論取任何實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線方程可整理為：，則由得：，即直線恒過(guò)定點(diǎn).故選：B.6．（2023·新疆喀什·高二?？计谀┲本€l的傾斜角是，在y軸上的截距是2，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橹本€l的傾斜角是，所以直線的斜率為，又直線在y軸上的截距是2，所以直線的方程為.故選：A.7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線在x軸的截距大于在y軸的截距，則A、B、C應(yīng)滿足條件（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，令得直線在y軸的截距為，令得直線在x軸的截距為，由直線在x軸的截距大于在y軸的截距可得，即.故選：D.8．（2023·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)方程表示的曲線是（

）A．一個(gè)圓和一條直線 B．一個(gè)圓和一條射線C．一個(gè)圓 D．一條直線【答案】D【解析】由，可得，則由，可得，則方程表示的曲線是一條直線.故選：D二、多選題9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的方程為，則下列判斷正確的是（

）A．若，則直線l的斜率小于0B．若，則直線l的傾斜角為C．直線l可能經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)D．若，則直線l的傾斜角為【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則直線l的斜率，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則直線l的方程為，其傾斜角為，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，將代入中，顯然不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則直線l的方程為，其傾斜角為，故D正確.故選：ABD.10．（2023·福建·高二校聯(lián)考期中）下列說(shuō)法正確的有（

）．A．直線過(guò)定點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為C．斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在x軸和y軸上截距相等的直線方程為【答案】AB【解析】對(duì)于A，直線恒過(guò)定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為，B正確；對(duì)于C，斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在x軸和y軸上截距相等的直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為，當(dāng)該直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為，D錯(cuò)誤.故選：AB11．（2023·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．直線在軸上的截距是B．直線的傾斜角是C．直線恒過(guò)定點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)且在.軸?軸上的截距相等的直線方程為【答案】AC【解析】對(duì)于A，令，則，所以直線在軸上的截距是，故A正確；對(duì)于B，直線的斜率為，所以其傾斜角為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線化為，令，得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入解得，此時(shí)直線方程為，所以過(guò)點(diǎn)且在.軸?軸上的截距相等的直線方程為或，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．（2023·山東濰坊·高二校考期中）關(guān)于直線，以下說(shuō)法正確的是（

）A．直線l過(guò)定點(diǎn) B．時(shí)，直線l過(guò)第二，三，四象限C．時(shí)，直線l不過(guò)第一象限 D．原點(diǎn)到直線l的距離的最大值為1【答案】ABD【解析】由過(guò)定點(diǎn)，A正確；當(dāng)，過(guò)定點(diǎn)，斜率為負(fù)，故過(guò)第二、三、四象限，B正確；當(dāng)，過(guò)定點(diǎn)，且斜率為正，過(guò)一、二、三象限，故C錯(cuò)誤；要使原點(diǎn)到直線l的距離的最大，只需，即距離等于，D正確.故選：ABD三、填空題13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知傾斜角為90°的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2m，3)，B(2，－1)，則m=__________【答案】1【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為90°且過(guò)點(diǎn)A(2m，3)，B(2，－1)，故其方程為，所以，解得.故答案為：114．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，且斜率為的直線l的方程為__________．【答案】【解析】設(shè)直線l的方程為，令，可得；令，可得；由題意可得：，解得，所以直線l的方程為.故答案為：.15．（2023·高二校考課時(shí)練習(xí)）已知直線l過(guò)點(diǎn)P(0，1)，且與x，y軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于2，則直線l的方程是___.【答案】【解析】設(shè)直線l的方程為，由題意得k<0，令x=0，得y=1;令y=0，得，所以，即，解得，所以直線l的方程為，即.故答案為：16．（2023·浙江臺(tái)州·