工字形截面軸壓和彎曲作用下的腹板屈曲系數(shù)

工字形截面軸壓和彎曲作用下的腹板屈曲系數(shù)

在設(shè)計(jì)受彎零件的壓板和受彎零件時(shí)，板件的局部穩(wěn)定性是一個(gè)需要驗(yàn)證的重要因素。GB50017—2003《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》通過限定板件的寬厚比來防止受壓構(gòu)件組成板件的局部失穩(wěn),但GB50017—2003在寬厚比限值的計(jì)算過程中對板件間的相互作用,要么不加以考慮(軸壓桿的局部穩(wěn)定),要么采用一個(gè)固定的嵌固系數(shù)(梁腹板的局部穩(wěn)定)完善。比如對外伸翼緣直接按一邊自由三邊簡支的板件來計(jì)算屈曲應(yīng)力,不考慮腹板對翼緣的約束作用;這對腹板則按四邊簡支板考慮,工字形截面均勻受壓時(shí)通過取腹板的嵌固系數(shù)為1.3來考慮翼緣對腹板的約束,對翼緣相對腹板較厚的工字形截面來說過于保守。國內(nèi)外學(xué)者對這類問題也做過大量研究。Kroll和Fisher曾推導(dǎo)過軸心受壓理想彈性工字形截面的局部屈曲,因?yàn)槭禽S壓,可以求得解析解,但是文獻(xiàn)給出的是屈曲系數(shù)隨翼緣腹板厚度比和截面高度寬度比變化曲線的一個(gè)圖表,不便于應(yīng)用。Bleich試圖研究截面各板件之間的相互作用,但其將相互的約束簡化為邊界的轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧,并沒有考慮到提供約束的板件上也作用有壓應(yīng)力,會(huì)使約束剛度減小。分析揭示,翼緣對腹板的約束是翼緣扭矩的導(dǎo)數(shù)的形式,而箱形截面翼緣對腹板的約束,才是轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧的形式。文獻(xiàn)采用能量法分析了軸心受壓工字形截面和箱形截面的屈曲,推導(dǎo)了超越函數(shù)表示的臨界方程,但是未做進(jìn)一步的求解?，F(xiàn)在的分析表明,應(yīng)用能量法分析的結(jié)果僅在部分參數(shù)范圍內(nèi)有一定的精度,工字形截面的解析解也不全面。Allen&Bulson用圖的形式給出了槽鋼、工字形截面和箱形截面軸壓時(shí)的板件屈曲系數(shù)。Seif和Schafer對商業(yè)化生產(chǎn)的熱軋H型鋼的局部屈曲進(jìn)行了詳細(xì)研究,使用自編的軟件分析計(jì)算了多種截面形式受壓情況下的板件屈曲系數(shù),并對AISC中關(guān)于局部穩(wěn)定的設(shè)計(jì)提出了修正意見。關(guān)于冷彎型鋼,對整個(gè)截面進(jìn)行局部屈曲的研究較多,因?yàn)槔鋸澖孛姘寮g相互約束更加明顯,而考慮和不考慮這種相互約束,對截面的設(shè)計(jì)差別巨大,因此相互屈曲的影響必須在規(guī)范里體現(xiàn),例如文獻(xiàn)和我國GB50018—2002《冷彎薄壁型鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范》。但是對熱軋或者焊接截面板組相互影響的研究,目前主要用于確定寬厚比的限值。這樣一來,腹板的寬厚比限值將在一定的程度上依賴于翼緣,例如文獻(xiàn)所得到的結(jié)果,日本AIJ2010(參考文獻(xiàn))對腹板和翼緣的寬厚比限值表示成圓的相關(guān)關(guān)系的形式,這兩個(gè)文獻(xiàn)代表了在局部屈曲的設(shè)計(jì)方面,往更合理的方向邁出了一步。本文對工字形截面在單獨(dú)或聯(lián)合承受彎矩和壓力作用時(shí)的局部屈曲進(jìn)行研究。對軸壓的情況,給出了解析解;對彎曲和壓彎的情況,采用有限元方法求解;對軸壓和彎曲的情況,擬合了腹板屈曲計(jì)算公式;對于壓彎的情況,根據(jù)壓力和彎矩聯(lián)合作用的思路,提出了以腹板最大應(yīng)力為依據(jù)的局部屈曲系數(shù)近似計(jì)算公式,對常用的參數(shù)范圍具有良好的精度,且略偏于安全。1腹板屈曲分析當(dāng)工字形截面構(gòu)件受壓時(shí),板件可能在構(gòu)件失去整體穩(wěn)定性之前,產(chǎn)生局部屈曲。構(gòu)件的局部失穩(wěn)有如下特點(diǎn):1)腹板與翼緣交線處撓度為零;2)腹板與翼緣交線處轉(zhuǎn)角連續(xù);3)腹板與翼緣有相同的屈曲波長。圖1所示為均勻受壓時(shí)的情況。由這3個(gè)特點(diǎn)出發(fā),按照板件穩(wěn)定理論對工字形截面腹板在均勻壓力作用下的彈性屈曲系數(shù)進(jìn)行計(jì)算(文中未標(biāo)注的變量,其意義見文獻(xiàn))。板件屈曲方程為:設(shè)位移函數(shù)為代，入式(1)可得:式中:a為屈曲半波數(shù)。它的特征方程是:單塊板時(shí),特征值總為一對實(shí)根、一對虛根:工字形截面尺寸如圖2所示。取屈曲半波數(shù)為a,腹板坐標(biāo)原點(diǎn)建在腹板中點(diǎn),翼緣坐標(biāo)原點(diǎn)建在翼緣和腹板交點(diǎn)。分析發(fā)現(xiàn),腹板的特征值總是一對實(shí)根、一對虛根,腹板屈曲波形可以利用對稱性寫出:翼緣的特征方程分兩種情況。1)當(dāng)腹板對翼緣起約束作用時(shí),可寫成:2)當(dāng)翼緣對腹板起約束作用時(shí),翼緣臨界應(yīng)力會(huì)小于三邊簡支一邊自由的板件,特征方程的根有可能全是實(shí)根,此時(shí)屈曲波形是:邊界條件和連續(xù)條件有:腹板與翼緣交線處撓度為零,腹板與翼緣交線處轉(zhuǎn)角連續(xù),腹板與翼緣交線處彎矩相等,翼緣自由邊彎矩和剪力為零,由這些條件可列出6個(gè)方程,參見文獻(xiàn)。記臨界應(yīng)力為σcr,腹板與翼緣的臨界壓力分別為:式中:b為翼緣寬度;tf為翼緣厚度;Kw,Kf分別為腹板、翼緣的屈曲系數(shù),兩者間關(guān)系為:其中η=htf/(btw)利用式(8)、式(9)把αw、α2、βw、β2、β3表示成包含待求系數(shù)Kw的式子。利用上述6個(gè)邊界條件,可得到以C1、C2、D1、D2、D3、D4為未知量的齊次方程組,令系數(shù)行列式為零,可得臨界方程。當(dāng)翼緣位移方程為式(6)時(shí),臨界方程為:當(dāng)翼緣位移方程為式(7)時(shí),臨界方程為:給定t=tf/tw=(0.7~4)、h/b=1.25~6、構(gòu)件長度L,可求出相應(yīng)的Kw。通過改變比值a/h來改變構(gòu)件長度,以得到最小的Kw,作為最終該截面的腹板屈曲系數(shù)。計(jì)算發(fā)現(xiàn),厚度比tf/tw較大時(shí),翼緣對腹板起約束作用,采用式(11)會(huì)求出兩側(cè)邊固支板的屈曲系數(shù)超過6.97,這是不合理的,此時(shí)應(yīng)采用式(12)計(jì)算。由計(jì)算結(jié)果(表1、圖3)發(fā)現(xiàn):Kw隨厚度比與高寬比的增加而增大;當(dāng)厚度比與高寬比均偏小時(shí),Kw有可能小于4,此時(shí)腹板對翼緣提供支持;當(dāng)厚度比與高寬比偏大后,Kw接近于6.97,但不會(huì)超過該值,此時(shí)翼緣對腹板提供支持。對計(jì)算結(jié)果擬合,得公式:其中α=ht/b將按照擬合公式計(jì)算出來的結(jié)果與原精確解法的結(jié)果進(jìn)行比較,求兩者之間的相對誤差,即(Kw0-Kw)/Kw,其結(jié)果如表2所示。由表2可以發(fā)現(xiàn),擬合公式與精確解之間的誤差都在5%以內(nèi),相當(dāng)一部分誤差小于1%,所以本文擬合出的公式具有較高的精度,能應(yīng)用于工程實(shí)際。2工字形截面梁段屈曲分析工字形截面構(gòu)件在非均勻壓力作用下如圖4所示,其所受應(yīng)力分布可表示為,其中,是受壓較大邊緣的應(yīng)力;σ2是彎矩作用受拉側(cè)邊緣的應(yīng)力。采用有限單元法對工字形截面腹板在非均勻壓力作用下的彈性屈曲系數(shù)進(jìn)行計(jì)算,β分別取0.5,1,1.5,2。下面先對β=2的純彎情況進(jìn)行分析。利用ANSYS分析軟件對如圖4所示的工字形截面梁段進(jìn)行整體建模,采用Shell63單元,將翼緣和腹板交線上的共同節(jié)點(diǎn)歸并,對腹板兩加載邊上的節(jié)點(diǎn)約束出平面外位移自由度z,對上下翼緣加載邊采用耦合自由度的方法,分別耦合這四條邊上節(jié)點(diǎn)的出平面外自由度y,最后還要約束腹板正中節(jié)點(diǎn)自由度x和y。在施加荷載時(shí),要在腹板加載邊上施加線性變化的非均勻節(jié)點(diǎn)荷載,在上下翼緣加載邊上施加不同的均勻節(jié)點(diǎn)荷載。分析計(jì)算時(shí),截面翼緣寬度b取100mm,翼緣厚度tf取20mm,給出與第1節(jié)中相同的高寬比和厚度比,取a/h為0.5~5進(jìn)行搜索計(jì)算,使得到的屈曲系數(shù)最小,結(jié)果如表3和圖5所示,屈曲波長比a/h的值在0.5~4.6之間,為節(jié)省篇幅不在此處給出。計(jì)算結(jié)果可以擬合為:同樣將按照擬合公式計(jì)算出來的結(jié)果與原有限元法的結(jié)果進(jìn)行比較,求兩者之間的相對誤差:(Kw2-Kw)/Kw,結(jié)果如表4所示。觀察誤差值可以發(fā)現(xiàn),在使用較頻繁的尺寸范圍內(nèi),即tf/tw=1.2~3,h/b=2~4這一范圍內(nèi),擬合公式具有較高的精度,能應(yīng)用于工程實(shí)際。3tf/tw法公式的修改壓彎情況下,對β=0.5,1.0,1.5的情況進(jìn)行了計(jì)算,結(jié)果在圖6—圖8中給出。壓彎情況的擬合,參考四邊簡支板在偏壓作用下的分析,實(shí)際上可以按照軸壓和彎矩聯(lián)合作用來理解,聯(lián)合作用公式是:式中:σ是軸壓應(yīng)力;σb是彎矩產(chǎn)生的邊緣彎曲應(yīng)力。記,代入式(14)可以得到:將軸壓與純彎的屈曲系數(shù)代入式(16)計(jì)算任意β時(shí)的屈曲系數(shù)發(fā)現(xiàn),在翼緣對腹板提供約束,使得腹板的屈曲系數(shù)大于4以上時(shí),式(15)具有很好的精度;但是當(dāng)腹板對翼緣提供約束時(shí),誤差可達(dá)15%~20%,而且是偏不安全(偏大)的。因此需要對這個(gè)公式加以修改。參考文獻(xiàn),四邊簡支板屈曲系數(shù)為:而三邊簡支一邊自由的翼緣的屈曲系數(shù)為:令工字形截面構(gòu)件的翼緣和腹板同時(shí)屈曲,可以得到:由此得到?jīng)Q定腹板與翼緣間相互影響的參數(shù):當(dāng)η大于等號右邊的值時(shí),式(15)的相關(guān)關(guān)系基本成立;而當(dāng)η比等號右邊的值小得越多時(shí),式(15)拋物線的相關(guān)關(guān)系越不成立。圖9是當(dāng)h/b=2,tf/tw=1時(shí),將β=0,0.5,1,1.5,2等5個(gè)數(shù)時(shí)的壓彎情況分別按軸壓和彎矩相關(guān)關(guān)系來表示,發(fā)現(xiàn)關(guān)系非常接近。按照這個(gè)思路,對η比較小的情況,采用指數(shù)小于2的拋物線相關(guān)關(guān)系式,即表達(dá)式如下:表示成屈曲系數(shù)的形式為:因?yàn)镵w0,Kw2,Kwβ均可通過精確解法或有限元分析得到,則通過式(21)即可確定指數(shù)α:對不同的β代入式(21)計(jì)算發(fā)現(xiàn),不同的β得到的α指數(shù)接近,上下相差不超過10%。這說明式(20)用于表示工字形截面屈曲時(shí)軸壓和彎曲的相互作用是可以的。表5給出了β=1時(shí)計(jì)算得到的指數(shù)。觀察表5中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),軸壓與彎曲相關(guān)關(guān)系的最小情況趨向于直線,即。對表5數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,得到:其中χ=η1.5-0.45δ-5.94-2.67tanh(t2.5-2.75)δ=e-10(t-1.15)2該擬合得到的屈曲系數(shù)Kwβ與ANSYS計(jì)算得到的結(jié)果相比有良好的精度,并且偏于安全。4腹板及翼緣厚比的擬合本文通過解析解和有限元分析的方法,對工字形截面承受彎矩和軸力時(shí)的局部屈曲進(jìn)行了分析。給出不同厚度比和截面高寬比,求出了屈曲系數(shù),對軸壓和彎矩作用的情況,擬合了精度較好的公式;對于壓彎共同作用,則將腹板看成是彎矩和軸壓應(yīng)力