數(shù)值天氣預(yù)報期末考已結(jié)束第四章

第四章全球大氣譜模式

SpectralModelforGlobalAtmosphere全球大氣譜模式全球大氣球坐標(biāo)系（投影坐標(biāo)不方便，會使某些地區(qū)產(chǎn)生嚴(yán)重形變）全球大氣譜模式全球大氣模式求解兩種方法：

網(wǎng)格法：球面網(wǎng)格（經(jīng)緯網(wǎng)格，方盒網(wǎng)格）

譜方法：是把變量進(jìn)行譜展開，由基本方程組得到對應(yīng)的譜方程，變量場的預(yù)報轉(zhuǎn)化為譜方程的預(yù)

報，這種模式稱為譜模式.DifferencesbetweenFDandspectralmodelsConsiderthelinearadvectionequation:with

I.C.u(x,0)=u0(x)Finitedifferenceapproachinvolvesadiscretizationoftheforecastvariableandequationinspaceandtimewith:Thelinearadvectionequationmaythenbewritten:Alternatively,wemaywritewherearethediscreteFouriertransformexpansioncoefficientsof

u(x,t).

Thelinearadvectionequationmaythenbewritten:or,afterdiscretizingintime:全球大氣譜模式——發(fā)展歷史Silberman(1954)借助于球諧函數(shù)求解了無輻散正壓渦度方程Lorenz(1960),Plazman(1960)隨后證明了無輻散正壓流體譜截斷方程如同原來精確的微分方程一樣具有總動能和總渦度的平方守恒性質(zhì)，這些性質(zhì)可以自動消除非線性不穩(wěn)定。Eliasen(1970)和Orszag（1970）分別獨立提出“變換法”計算非線性項，即先把有關(guān)物理量場從譜空間變換到幾何空間，計算出格點上的值及非線性項的值，然后再作逆變換，把這些項變換回譜空間。實現(xiàn)譜方法一個實質(zhì)性突破！Bourke（1977）提出第一個原始方程譜模式。目前，ECMWF/IntegratedForecastingSystem(IFS)T1279L91,NCEP/GlobalForecastSystem(GFS)T574L64,CMA/T213/T639等全球大氣譜模式譜展開：把變量在求解區(qū)域內(nèi)用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)展開，控制方程

就變成關(guān)于展開系數(shù)的以時間為自變量的常數(shù)微分

方程，然后再用差分法求解數(shù)值解。常微分方程組

即為譜方程。其中,①要進(jìn)行波譜截斷（有限自由度）

②對三維運動,有三種情況:ⅰ)x方向級數(shù)展開,y、p(z)差分ⅱ)x、y方向級數(shù)展開,p(z)差分ⅲ)均級數(shù)展開

常用的是第二種。③對球面大氣,函數(shù)系(正交)常取為球面諧和函數(shù)任何在球面上單值、且有二次以上連續(xù)微商的實函數(shù)

，均可用球面調(diào)和函數(shù)

展開為一個平均收斂的級數(shù)，即為

的共軛?！?.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)而展開系數(shù)（又稱譜系數(shù)、球諧譜系數(shù)）為§1.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)是方程的特征函數(shù)。1球諧函數(shù)定義：§1.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)是標(biāo)準(zhǔn)化的連帶Legendre(勒讓德)多項式：§1.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)2球諧函數(shù)

性質(zhì)：①在λ方向有2m個零點（節(jié)點）

在φ方向，除兩極點外，有（n-m）個零點在氣象應(yīng)用中，m（m>0)稱為緯向波數(shù)，表示一個緯圈上諧波個數(shù)；n-m表示在南北兩極之間（極點除外）

的零點個數(shù)，通常稱n為二維指數(shù)或全波數(shù)?！?.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)②③§1.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)④正交性§1.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)3球諧變換、傅立葉變換、勒讓德變換格點空間

傅立葉譜系數(shù)

球諧譜系數(shù)

§1.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)球諧變換對：格點空間

球諧譜系數(shù)

§1.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)傅立葉變換對：格點空間

傅立葉譜系數(shù)

§1.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)勒讓德變換對：球諧譜系數(shù)

傅立葉譜系數(shù)

4對稱和反對稱

若計算區(qū)域僅是半球范圍，則可假設(shè)f(λ,φ)關(guān)于赤道是對稱的，或反對稱的，照樣可求解ⅰ）對稱→也對稱→n-m=偶數(shù)，

也是

的偶函數(shù)

此時，只要取n=m,m+2,m+4,……,m+J(J為偶數(shù))§1.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)ⅱ）反對稱

是

的奇函數(shù)→n-m=奇數(shù)n=m+1,m+3,m+5,……,m+J(J為奇數(shù))§1.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)nMmM§1.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)5波譜截斷：實際應(yīng)用中，譜展開式只能取有限項，因而存在波數(shù)截斷，常用波數(shù)截斷有兩種i）三角形截斷（TM,如T42）(triangulartruncation)

即在圖中,展開的波數(shù)限制在一個三角形內(nèi)三角截斷所有譜分量，即

的數(shù)量為（M+1)(M+2)/2。(~M**2)§1.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)ⅱ)菱形截斷(RM,如R15):

(rhomboidaltruncation)

J為正整數(shù)即在圖中,展開的波數(shù)限制在一個菱形區(qū)域內(nèi)菱形截斷所有譜分量，即

的數(shù)量為（M+1)(M+1)。(~M**2)§1.球面調(diào)和函數(shù)及其性質(zhì)iii)三角形截斷和菱形截斷比較（相同自由度，即波數(shù)截斷保留相同數(shù)目的譜分量）1.三角形截斷各向同性；菱形截斷各向異性。2.三角形截斷能更好地描述平均緯向環(huán)流和超長波；菱形截斷使低緯東西向分辨率減少，而高緯中等緯向波數(shù)分辨率增加。3.三角形截斷要比同樣自由度的菱形截斷計算量小一些。4.Baer（1972）認(rèn)為，中等分辨率的模式應(yīng)采用三角形截斷方式；Ellsaesser(1966)研究表明，甚低分辨率（緯向僅取5～10個波數(shù)）的模式，菱形截斷可使500hPa旋轉(zhuǎn)流場動能保留最大方差。mnCCDDAABB§2.正壓無輻散渦度方程譜模式1、渦度方程

球坐標(biāo)系（λ，φ），淺水方程組可寫為（z為自由面高度）§2.正壓無輻散渦度方程譜模式上式可改寫為其中§2.正壓無輻散渦度方程譜模式§2.正壓無輻散渦度方程譜模式§2.正壓無輻散渦度方程譜模式無輻散，則可引入流函數(shù)ψ：正壓無輻散渦度方程可用流函數(shù)寫為：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式可改寫為：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式譜方程及Silberman直接解法

令：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式§2.正壓無輻散渦度方程譜模式將上述展開式帶入正壓無輻散渦度方程§2.正壓無輻散渦度方程譜模式§2.正壓無輻散渦度方程譜模式§2.正壓無輻散渦度方程譜模式§2.正壓無輻散渦度方程譜模式§2.正壓無輻散渦度方程譜模式§2.正壓無輻散渦度方程譜模式§2.正壓無輻散渦度方程譜模式非線性相互作用系數(shù)可得譜方程如下：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式§2.正壓無輻散渦度方程譜模式略去撇號：譜方程可重寫為：其中：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式§2.正壓無輻散渦度方程譜模式3Orszag變換法Orszag(1970)提出了計算非線性項譜系數(shù)的變換法，與S的直接法相比，計算量由于使用FFT算法而大大減少。其基本思想為：令非線性項為則非線性項的譜系數(shù)

不是直接在譜空間用相互作用法求得，而是先根據(jù)預(yù)報變量的的譜系數(shù)

在格點上計算出然后再將格點上

變換為譜系數(shù)§2.正壓無輻散渦度方程譜模式§2.正壓無輻散渦度方程譜模式非線性項譜系數(shù)如何求得？§2.正壓無輻散渦度方程譜模式非線性項譜系數(shù)的算法：a)Silberman直接法（在譜空間根據(jù)流函數(shù)譜系數(shù)直接計算，計算量大）：b)Orszag變換法（根據(jù)流函數(shù)譜系數(shù)計算格點空間J，然后將其變換為

譜系數(shù)，由于使用FFT算法，計算量減少）：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式§2.正壓無輻散渦度方程譜模式由流函數(shù)譜系數(shù)計算非線性項在格點空間值的思路如下：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式使用如下遞推關(guān)系：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式由流函數(shù)譜系數(shù)計算非線性項在格點空間值的方法如下：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式由流函數(shù)譜系數(shù)計算非線性項在格點空間值的方法如下：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式由流函數(shù)譜系數(shù)計算非線性項在格點空間值的方法如下：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式由流函數(shù)譜系數(shù)計算非線性項在格點空間值的方法如下：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式由流函數(shù)譜系數(shù)計算非線性項在格點空間值的方法如下：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式由流函數(shù)譜系數(shù)計算非線性項在格點空間值的方法如下：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式譜方程的時間差分格式：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式Orszag變換法基本計算流程：高斯積分FFTFFTtt+?t§2.正壓無輻散渦度方程譜模式DFT定義§2.正壓無輻散渦度方程譜模式對于F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3和F4均截斷于M，由于非線性相互作用，F(xiàn)1×F2和F3×F4會產(chǎn)生最大緯向波數(shù)為2M的波動。而

中的m取值也是從-M到M。因此，中所包含的最大緯向波數(shù)為3M由DFT定義可得，N-1>=3M N>=3M+1§2.正壓無輻散渦度方程譜模式高斯格點數(shù)：三角截斷：Kg>=(3M+1)/2

菱形截斷：Kg>=(5M+1)/2§2.正壓無輻散渦度方程譜模式22證明：§2.正壓無輻散渦度方程譜模式積分不等于0，要求m=m1+m2§2.正壓無輻散渦度方程譜模式由于＝§2.正壓無輻散渦度方程譜模式對于菱形截斷高斯積分：積分要精確成立，要求具有具有2kg-1次代數(shù)精度，kg為高斯結(jié)點總數(shù)。因此，2kg-1>=2N+3J,kg>=（2N＋3J+1)/2如果J=N,則，kg>=(5N+1)/2對于三角形截斷最高自由度：2kg-1>=3Nkg>=(3N+1)/2§3、波譜方法和差分法的比較

和差分法比較，波譜方法的優(yōu)點：可以精確處理各分量之間的相互作用，因此截斷后的系統(tǒng)動能和渦度平方（擬能）仍守恒，不產(chǎn)生因此混淆誤差引起的計算不穩(wěn)定；

水平平流項可以精確計算，相速度沒有誤差；

便于模擬全球大氣運動；便于使用半隱式時間積分方案以線性平流方程為例討論：

解區(qū)間

，且在

處滿足周期性邊界條件?！?、波譜方法和差分法的比較§3、波譜方法和差分法的比較精確解：§3、波譜方法和差分法的比較假設(shè)：§3、波譜方法和差分法的比較§3、波譜方法和差分法的比較由以上三式可確定：§3、波譜方法和差分法的比較但由準(zhǔn)確解可知：t=0時，ζ在格點上的值應(yīng)滿足：顯然，（*1）和