2023學(xué)年完整公開課版垂直平分線

八年級上冊13.1.2

線段的垂直平分線的性質(zhì)

ACBA’B’C’NM思考：如圖，△ABC與△A‘B’C‘關(guān)于直線MN對稱，點A’，B’，C’分別為點ABC的對稱點，線段AA‘，BB’，CC‘與直線MN有什么關(guān)系？P∠MPA=∠MPA’=90°AP=PA’對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線ACBA’B’C’NM如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線lA‘A軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線AB線段的垂直平分線的性質(zhì)PA=PBP1P1A=P1B……命題：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。PMNC動手操作：直線MN垂直平分線段AB；在MN上任取一點P，連結(jié)PA、PB；量一量：PA、PB的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？由此你能得到什么規(guī)律？證明：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。ABPMNCPA=PB

直線MN⊥AB,垂足為C,

且AC=CB.

已知：如圖，點P在MN上.求證：證明：∵MN⊥AB∴∠PCA=∠PCB

在ΔPAC和ΔPBC中，

AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC（SAS）∴PA=PB

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。線段的垂直平分線性質(zhì)：ABPMNCPA=PB點P在線段AB的垂直平分線上線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

反過來，如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？

（線段的垂直平分線性質(zhì)逆命題）ABPC

反過來，如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上?

與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。二、逆定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。你能證明這個命題嗎？

線段的垂直平分線一、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等

你能根據(jù)上述定理和逆定理，說出線段的垂直平分線的集合定義嗎？問三、

線段的垂直平分線的集合定義：線段的垂直平分線可以看作是與線段兩個端點距離相等的所有點的集合解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB=AC．∵點C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE．課堂練習(xí)練習(xí)如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE課堂練習(xí)練習(xí)如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE解：∴AB=AC=CE．∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．解：∵AB=AC，∴點A在BC的垂直平分線．∵

MB=MC，∵點M在BC的垂直平分線上，∴直線AM是線段BC的垂直平分線．課堂練習(xí)

練習(xí)3

如圖，AB=AC，MB=MC．直線AM是線段

BC的垂直平分線嗎？ABCDM小結(jié)：

一，線段的垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。

二、逆定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。11.3角的平分線ODEABPC定理1

在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。定理2

到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

12.1線段的垂直平分線定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合ABMNP點的集合是一條射線點的集合是一條直線例1：課本P62尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線。AB.CDEK·已知：直線AB和AB外一點C，如圖：求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C。作法：（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁。（2）以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E。（3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.F(4)作直線。直線CF就是所求作的垂線。想一想，為什么直線CF就是所求作的垂線？（1）為什么任意取一點K，使點K與點C在直線兩旁？尺規(guī)作圖如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過直線外一點作已知直線的垂線？（2）為什么要以大于的長為半徑作??？（3）為什么直線CF就是所求作的垂線？CABDKFE

例1如圖，已知線段AB，用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線.AB⑴分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點；⑵作直線CD.CD即為所求的直線.CD你還有其他的方法作一條線段的垂直平分線嗎?二、學(xué)習(xí)新知三、解決問題練習(xí)：見教材第63頁例2.例2如圖，△ABC和△AˊBˊCˊ是兩個成軸對稱的圖形，請作出它的對稱軸．例2已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.求證：PA=PB=PC;BACMNM’N’PPA=PB=PCPB=PC點P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上分析：結(jié)論：三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等。你能依據(jù)例1得到什么結(jié)論？例2已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.求證：PA=PB=PC;證明：∵點P在線段AB的垂直平分線MN上，∴PA=PB（？）.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.BACMNM’N’PBAC13.1線段的垂直平分線1、求作一點P，使它和已△ABC的三個頂點距離相等.實際問題數(shù)學(xué)化pPA=PB=PC實際問題114.1線段的垂直平分線2、如圖，在直線L上求作一點P，使PA=PB.LAB實際問題數(shù)學(xué)化實際問題2pPA=PB數(shù)學(xué)問題源于生活實踐，反過來數(shù)學(xué)又為生活實踐服務(wù)

問題探討：1、如圖，在ΔABC中，AD⊥BC于D，

AB+BD=DC。試問：∠B與∠C是什么關(guān)系？OAB.C.D2、在V型公路（∠AOB）內(nèi)部，有兩個村莊C、D。你能選擇一個紡織廠的廠址P，使P到V型公路的距離相等，且使C、D兩村的工人上下班的路程一樣嗎？聯(lián)想與歸納

今天學(xué)習(xí)了線段的中垂線的性質(zhì)、逆定理及集合定義，你能由此聯(lián)想到前面學(xué)過的什么知識與此類似嗎？12.3角的平分線ODEABPC

在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個