二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(含教學(xué)設(shè)計說明+教學(xué)點(diǎn)評)

PAGE《二項(xiàng)式定理》教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)內(nèi)容解析《二項(xiàng)式定理》是人教A版選修2-3第一章第三節(jié)的知識內(nèi)容，它是初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式乘法的繼續(xù)．在計數(shù)原理之后學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理，一方面是因?yàn)樗淖C明要用到計數(shù)原理，可以把它作為計數(shù)原理的一個應(yīng)用，另一方面也是解決整除、近似計算、不等式證明的有力工具，同時也是后面的數(shù)學(xué)期望等內(nèi)容的基礎(chǔ)知識，二項(xiàng)式定理起著承上啟下的作用．另外，由于二項(xiàng)式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，利用二項(xiàng)式定理可進(jìn)一步深化對組合數(shù)的認(rèn)識．總之，二項(xiàng)式定理是綜合性較強(qiáng)的、具有聯(lián)系不同內(nèi)容作用的知識．二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置新課標(biāo)指出教學(xué)目標(biāo)應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生學(xué)會知識與技能的過程也同時成為學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，形成正確價值觀的過程．新課標(biāo)要求：用計數(shù)原理分析，，的展開式，歸納類比得到二項(xiàng)式定理，并能用計數(shù)原理證明．掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，解決簡單問題；學(xué)會討論二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的方法．根據(jù)新課標(biāo)的理念及本節(jié)課的教學(xué)要求，制定了如下教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生在二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)過程中，掌握二項(xiàng)式定理及推導(dǎo)方法、二項(xiàng)展開式、通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，并能運(yùn)用二項(xiàng)式定理計算或證明一些簡單的問題．2.學(xué)生經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的探究過程，體驗(yàn)“從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從一般到特殊指導(dǎo)實(shí)踐”的思想方法，獲得觀察、歸納、類比、猜想及證明的理性思維探究能力．3.通過二項(xiàng)展開式的探究，培養(yǎng)學(xué)生積極主動、勇于探索、不斷創(chuàng)新的精神，感受合作探究的樂趣，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧、對稱美及數(shù)學(xué)符號應(yīng)用的簡潔美．結(jié)合數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生愛國熱情和民族自豪感．三、學(xué)情分析１．有利因素授課對象是高二的學(xué)生，具有一般的歸納推理能力，思維較活躍，初步具備了用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析問題的能力．學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了計數(shù)原理和排列組合的知識，對本節(jié)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的研究會有很大幫助．２．不利因素本節(jié)內(nèi)容思維量較大，對思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和分類討論、歸納推理等能力有較高要求，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有一定難度．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，大部分學(xué)生習(xí)慣于重視定理、公式的結(jié)論，而不重視其形成過程．四、教法策略分析遵循“以學(xué)生為主體、教師是數(shù)學(xué)課堂活動的組織者、引導(dǎo)者和參與者”的現(xiàn)代教育原則，采用“啟發(fā)式教學(xué)法”，學(xué)生主要采用“探究式學(xué)習(xí)法”，并利用多媒體輔助教學(xué)．本課以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學(xué)生知識的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與，通過不斷探究、發(fā)現(xiàn)，在師生互動、生生互動中，完成二項(xiàng)式定理的探究，讓學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生心靈愉悅的主動認(rèn)知過程．五、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境引入課題引入：通過“牛頓發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理”的歷史引入課題．提出問題：？？？那么……的展開式是什么？【設(shè)計意圖】學(xué)生的學(xué)習(xí)遵循“歷史發(fā)生原理”，把二項(xiàng)式定理發(fā)現(xiàn)的歷史融入新課導(dǎo)入，既能引起學(xué)生的興趣，符合新課程理念，還能提升課堂品味．創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)情景能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生提供良好的學(xué)習(xí)環(huán)境．?dāng)?shù)學(xué)的來源，一是來自數(shù)學(xué)外部現(xiàn)實(shí)社會的發(fā)展需要；二是來自數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾，即數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要．這個問題將“多項(xiàng)式展開有哪些項(xiàng)”包含其中，為后面的研究做好鋪墊．（二）體驗(yàn)感知探究歸納1．歸納特點(diǎn)總結(jié)規(guī)律．問題1：觀察下列問題1：觀察下列展開式，歸納猜想的展開式有怎樣的規(guī)律？生：n次式展開有n+1項(xiàng)生：展開式中每一項(xiàng)都是n次式生：系數(shù)對稱相等，第一項(xiàng)系數(shù)是1，第二項(xiàng)的系數(shù)是n生：楊輝三角師：我們主要從展開式的哪些方面來發(fā)現(xiàn)的這些規(guī)律？生：項(xiàng)數(shù)，項(xiàng)，系數(shù)．【設(shè)計意圖】由特殊到一般的歸納總結(jié)，離不開大量特殊實(shí)例的觀察．只有將大量具體實(shí)例進(jìn)行整體和局部多方面的分析，才能得到接近一般性規(guī)律的結(jié)論．也只有對得出各種結(jié)論進(jìn)行整合，才能讓學(xué)生順暢的抓住展開過程的兩個要點(diǎn)，即項(xiàng)的結(jié)構(gòu)和項(xiàng)的系數(shù)，才能讓學(xué)生有目的的進(jìn)一步進(jìn)行探討和分析．2．項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．問題2：展開式中各項(xiàng)是如何得到的問題2：展開式中各項(xiàng)是如何得到的？（學(xué)生敘述展開過程中各項(xiàng)是如何形成的．如果學(xué)生的敘述中沒有說明從每個因式中取一個字母相乘得到展開式的項(xiàng)，老師提出預(yù)備問題：展開式的各項(xiàng)是由同一個因式中的字母相乘得到的嗎？）師：根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，的展開式就是從每個因式中任取一項(xiàng)相乘得到展開式的項(xiàng)．【設(shè)計意圖】多項(xiàng)式乘法法則是展開式的運(yùn)算基礎(chǔ)，同時也為用組合數(shù)表示系數(shù)創(chuàng)設(shè)情境．而學(xué)生對于多項(xiàng)式乘法法則的理論敘述不夠順暢．通過教師強(qiáng)調(diào)多項(xiàng)式乘法法則，讓學(xué)生思維建立舊知識與新知識聯(lián)系，為下面系數(shù)的確定做好鋪墊．3．項(xiàng)的系數(shù)特點(diǎn)．問題3：展開式各項(xiàng)的系數(shù)是如何確定的？問題3：展開式各項(xiàng)的系數(shù)是如何確定的？師：根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，各項(xiàng)的形成過程就是有關(guān)計數(shù)原理的問題．而各項(xiàng)的系數(shù)，就是展開過程中該項(xiàng)出現(xiàn)的個數(shù)．【設(shè)計意圖】本節(jié)課的重點(diǎn)就是利用多項(xiàng)式的乘法法則和計數(shù)原理對展開式中各項(xiàng)進(jìn)行分析．該問題的提出，符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，能準(zhǔn)確地檢驗(yàn)學(xué)生對問題分析能力和解決方法的掌握，突出體現(xiàn)本節(jié)課的思維方法．（三）知識建構(gòu)形成定理問題4：請寫出問題4：請寫出的展開式．——二項(xiàng)式定理證明：是n個相乘，每個在相乘時，有兩種選擇，選a或選b，由分步計數(shù)原理可知展開式共有項(xiàng)（包括同類項(xiàng)），其中每一項(xiàng)都是的形式，對于每一項(xiàng)，它是由k個選了b，n－k個選了a得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個中取k個b的組合數(shù)，將它們合并同類項(xiàng)，就得二項(xiàng)展開式，這就是二項(xiàng)式定理．二項(xiàng)式定理的公式特征：①展開式中每一項(xiàng)的次數(shù)都是；②展開式共項(xiàng)；③按照字母降冪排列，次數(shù)由遞減到0，字母升冪排列，次數(shù)由0遞增到；④是展開式的第項(xiàng)；叫二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示．⑤各項(xiàng)的系數(shù)叫二項(xiàng)式系數(shù)．【設(shè)計意圖】先由學(xué)生獨(dú)立完成，然后組織討論．完成有特殊到一般的歸納過程，訓(xùn)練學(xué)生的類比、聯(lián)想、歸納的探究能力．在討論過程中要明確每一項(xiàng)的形式及相應(yīng)的個數(shù)．（四）鞏固新知提升能力試一試：試一試：例1：請寫出例1：請寫出的展開式．例2：求例2：求的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．想一想：求展開式第6項(xiàng)的系數(shù)．練習(xí)：請寫出練習(xí)：請寫出的展開式中的系數(shù)．【設(shè)計意圖】通過例題讓學(xué)生熟悉二項(xiàng)展開式及其通項(xiàng)，區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力．設(shè)計題目考察學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,各個題目設(shè)計的比較有梯度，逐漸加大難度，符合學(xué)生的認(rèn)知水平．（五）回顧反思?xì)w納總結(jié)知識方面：二項(xiàng)式定理，通項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)；思想方法：從特殊到一般；觀察——?dú)w納——類比——猜想——證明．【設(shè)計意圖】小結(jié)可以鍛煉學(xué)生的概括能力、語言表達(dá)能力，可以使學(xué)生加深對本節(jié)課的認(rèn)識，掌握基本數(shù)學(xué)思維方法．（六）課下作業(yè)思維延伸一、P36:1~3二、1.求的展開式的中間一項(xiàng)；2.求展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)．思維延伸：探究的展開式中的系數(shù)．【設(shè)計意圖】通過課下作業(yè)使學(xué)生深入理解知識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、增強(qiáng)主動探究的意識和能力．六、板書設(shè)計教學(xué)設(shè)計說明高中數(shù)學(xué)的學(xué)科價值在于以下三個方面：傳遞初等數(shù)學(xué)知識；進(jìn)行邏輯推理訓(xùn)練；培養(yǎng)學(xué)科精神．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于理解，重視知識的形成過程，而不是死板的公式應(yīng)用．新課標(biāo)指出：學(xué)生的學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于對概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，獨(dú)立思考、自主探究、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式．因此，課堂教學(xué)中應(yīng)該是“用教材”，而不是“教教材”，教師要敢于放手，營造寬松的教學(xué)氛圍，關(guān)注學(xué)生的主體參與、師生互動、生生互動，著重培養(yǎng)學(xué)生研究數(shù)學(xué)的意識和發(fā)展數(shù)學(xué)的能力，提升學(xué)生提出問題、研究問題的能力，竭盡全力培養(yǎng)學(xué)生探索創(chuàng)新的意識．在這過程中，要努力把表現(xiàn)的機(jī)會讓給學(xué)生，讓學(xué)生在直接體驗(yàn)中構(gòu)建自己的知識體系．本節(jié)課堂教學(xué)中，遵循“以學(xué)生為主體、教師是數(shù)學(xué)課堂活動的組織者、引導(dǎo)者和參與者”的現(xiàn)代教育原則，采用“啟發(fā)式教學(xué)法”，分為：創(chuàng)設(shè)情境、探究歸納、知識建構(gòu)、鞏固新知、歸納總結(jié)五個階段．努力使學(xué)生有足夠的思維活動體驗(yàn)，教師根據(jù)學(xué)生的思維特征和認(rèn)知規(guī)律，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上去設(shè)置問題．例如本節(jié)中，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維方法，需要對特殊情形進(jìn)行觀察歸納．要想提高歸納的準(zhǔn)確性，就需要較多的實(shí)例進(jìn)行觀察．特別是“組合知識的運(yùn)用”，當(dāng)較小時，學(xué)生意識不到用組合的知識解釋項(xiàng)的系數(shù)．只有當(dāng)較大時，各項(xiàng)系數(shù)的確定才能凸顯出組合知識的優(yōu)勢．因此，在題目設(shè)置時，準(zhǔn)備了，，三個展開式讓學(xué)生觀察歸納，否則關(guān)于“組合知識的運(yùn)用”就成了教師的告知．問題解決是數(shù)學(xué)教育的核心，課堂教學(xué)中，在學(xué)生原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，設(shè)置“好”的問題串是非常重要的，因?yàn)榻處煂栴}設(shè)置如何，直接決定了學(xué)生的思維方向和思維深度，教學(xué)中以問題為主線，由問題驅(qū)動，激發(fā)學(xué)生探究結(jié)論的欲望，使學(xué)生的思維始終處于“提出問題、解決問題”的狀態(tài)中．本節(jié)課在“多項(xiàng)式乘法法則”“組合知識的運(yùn)用”兩個方面，學(xué)生無法自主完成思維方法的提升，教師通過設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)學(xué)生分析思維過程，為學(xué)生在理論層面總結(jié)提升．在探究的環(huán)節(jié)，教師的作用是“激活”而不是“告知”，要把隱藏在學(xué)生思想深處的思維方法引導(dǎo)出來．教師作為學(xué)生數(shù)學(xué)探究活動的設(shè)計者、活動實(shí)施的調(diào)控者，直接影響和決定了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情及課堂效果．本節(jié)課中，課遵循學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，由特殊到一般，由感性到理性．重視學(xué)生的參與過程，問題引導(dǎo)，師生互動．重在培養(yǎng)學(xué)生觀察問題，發(fā)現(xiàn)問題，歸納推理問題的能力．學(xué)生能學(xué)到很多數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)：在二項(xiàng)展開式探究過程中，運(yùn)用組合理解算理、利用數(shù)列知識理解通項(xiàng)、運(yùn)用賦值法得到相關(guān)結(jié)論等，滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的策略與方法，在組織學(xué)生數(shù)學(xué)探究中，積極動手、動腦，實(shí)現(xiàn)思維建構(gòu)、不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從而形成自主探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣，達(dá)到理想的教育教學(xué)效果．點(diǎn)評《二項(xiàng)式定理》作為一節(jié)命題課，更應(yīng)該重視學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，良好思維品質(zhì)的生成．何磊老師深讀課標(biāo)和教材，清晰制定了具體可測的教學(xué)目標(biāo)，深刻挖掘了二項(xiàng)式定理的數(shù)學(xué)本質(zhì)；結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和心理特點(diǎn)，設(shè)計了層層遞進(jìn)數(shù)學(xué)問題；以學(xué)生為主體，給學(xué)生足夠的思考空間和辨析研討的機(jī)會，激發(fā)了學(xué)生深層次的思考；何老師數(shù)學(xué)功底扎實(shí)，教學(xué)功底雄厚，教學(xué)有張有弛，當(dāng)學(xué)生需要幫助時，給學(xué)生隱性的幫助，在關(guān)鍵時刻又有恰當(dāng)和明確的概括提升．其教學(xué)特色主要體現(xiàn)在：1.突出核心內(nèi)容，深挖數(shù)學(xué)本質(zhì)作為計數(shù)原理的應(yīng)用，提示我們這是挖掘二項(xiàng)式定理數(shù)學(xué)本質(zhì)的根源．但在大量的課堂觀察中發(fā)現(xiàn)，很多老師規(guī)避這一教學(xué)難點(diǎn)，僅從外在形式上分析和記憶．導(dǎo)致學(xué)生在用二項(xiàng)式定理解決問題時，難以有效的遷移．何老師則是充分理解教材和學(xué)生的基礎(chǔ)上，充分地運(yùn)用計數(shù)原理分步、分類的教學(xué)思想，有效的化解了這一重點(diǎn)和難點(diǎn)．2.目標(biāo)明確具體，問題層層遞進(jìn)高效率的課堂，必須有具體可測的教學(xué)目標(biāo)和具體可操作的數(shù)學(xué)問題．何老師的這節(jié)課主要圍繞展開式中項(xiàng)的形式和項(xiàng)的系數(shù)，展開問題驅(qū)動，使學(xué)生始終圍繞這一核心展開思考，使學(xué)生的思維始終處于不斷的“提出問題、解決問題”的狀態(tài)中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)和解決問題的能力在潛移默化中得以提升．3.關(guān)注學(xué)生主體，激發(fā)深層思考學(xué)生探究意識強(qiáng)烈，學(xué)習(xí)積極性高．何老師在這節(jié)課所設(shè)計的問題以及圍繞這些問題所進(jìn)行的鋪墊，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究活動營造了濃郁的學(xué)習(xí)環(huán)境和氣氛，通過讓學(xué)生口述、板書、交流討論等形式使學(xué)生成為課堂學(xué)習(xí)的主人，激發(fā)了學(xué)生深層次的思考，從而深化對知識的理解．4.高效駕馭課堂，適時概括引領(lǐng)作為課堂的設(shè)計者和組織者，既