導(dǎo)數(shù)在求極限中的應(yīng)用

.z.引言極限是研究變量的變化趨勢的基本工具。在高等數(shù)學(xué)中許多基本概念和研究問題的方法都和極限密切相關(guān)，如函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分和無窮級數(shù)等都是建立在極限的基本之上的。極限的思想和方法產(chǎn)生*些實際問題的精確解，并且對數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用也有著重要的作用。因此研究生考試往往把求極限問題作為考核的一個重點(diǎn)，而在不同的函數(shù)類型條件下所采用的求極限的技巧是各不相同的，因此大家要學(xué)會判斷極限的類型，熟練和靈活的掌握各種技巧的應(yīng)用。本文主要介紹了導(dǎo)數(shù)在求極限中的基本應(yīng)用，包括導(dǎo)數(shù)定義法，L’Hospital法則，Taylor展式法及微分中值定理在求極限中的應(yīng)用。旨在讓大家掌握各種導(dǎo)數(shù)方法適用的函數(shù)類型，要注意的事項及它的一些推廣結(jié)論。達(dá)到能靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法去求解一些極限問題以使問題簡單化的目的。第1章導(dǎo)數(shù)在求極限中的基本應(yīng)用1.1導(dǎo)數(shù)定義法這種極限求法主要針對所給的極限不易求，但是函數(shù)滿足導(dǎo)數(shù)定義的形式且能夠確定的變化趨向的極限易求出時，可以用此法比較方便的求出極限.定義若函數(shù)在其定義域中的一點(diǎn)處極限存在，則稱在處可導(dǎo)，稱此極限值為在處的導(dǎo)數(shù)，記為.顯然，在處的導(dǎo)數(shù)還有如下的等價定義形式：.下面通過兩個例子讓大家逐步領(lǐng)悟?qū)?shù)定義法的內(nèi)涵例1求極限.解由于.所以，.例2(本題選自《數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》裴禮文.第二版.)設(shè)，試證.證明（希望把極限式寫成導(dǎo)數(shù)定義中的形式）（擬合法思想：把要證的極限值寫成與此式相似的形式）兩式相減，可得因，，所以有，又因，故當(dāng)，時右端極限為零，原極限獲證.1.2L’Hospital法則本節(jié)主要總結(jié)了L’Hospital法則在求未定式極限中的應(yīng)用，需要注意的問題，并深入分析了使用L’Hospital法則時實質(zhì)是對無窮小或無窮大進(jìn)行降階.另外還指出L’Hospital法則與其他極限方法如無窮小的替換的結(jié)合.L’Hospital法則L’Hospital法則作為Cauchy中值定理的重要應(yīng)用，在計算未定式極限中扮演了十分重要的角色，這是因為對于未定式極限來講極限是否存在，等于多少是不能用極限的四則運(yùn)算法則解得的，而通過對分子分母求導(dǎo)再求極限能夠很有效的計算出未定式的極限.關(guān)于未定式：在計算一個分式函數(shù)的極限時，常常會遇到分子分母都趨于零或都趨于無窮大的情況，由于這是無法使用“商的極限等于極限的商”的法則，運(yùn)算將遇到很大的困難.事實上，這是極限可能存在也可能不存在.當(dāng)極限存在時極限值也會有各種各樣的可能.我們稱這種類型的極限為未定型或未定型.事實上，未定型除以上兩種類型外還有，，，，等類型.L’Hospital法則：定理若函數(shù)和滿足:①；②在點(diǎn)的*空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；③(可為有限數(shù)或)；則.注：以上結(jié)論在，或是（包括和）時也是成立的.L’Hospital法則的應(yīng)用L’Hospital法則能處理的基本未定型極限是型或型例1求（為正整數(shù)，）.（型）解連續(xù)使用L’Hospital法則次.從以上例中可看出L’Hospital法則的實質(zhì)是對無窮小或無窮大進(jìn)行降階.下面再看兩個L’Hospital法則在解含有變限積分問題中的應(yīng)用.例2求.分析：因為可導(dǎo)從而連續(xù)，所以此問題屬于型，可用L’Hospital法則求解.解.例3求極限，其中，為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).解因時，單調(diào)遞減趨于，使用L’Hospital法則，則.（2）在使用L’Hospital法則時，必須驗證條件是否滿足①所求的極限是否未定型極限；②求完導(dǎo)數(shù)后極限是否存在.其中第二條容易忽略.例4設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，，求極限.解.（此題不能用L’Hospital法則求解，錯誤出在題目中沒有給出在處連續(xù)的條件，所以不知道的極限是否存在，即不滿足條件②，題目中只是說在處可導(dǎo)，而定理中要求在的*個鄰域中可導(dǎo)）當(dāng)求導(dǎo)后的極限不存在時，原極限仍可能有極限，所以求導(dǎo)后極限不存在只能說明此時L’Hospital法則失效，不能說原式無極限.（3）對于其他未定型或極限、、、、等類型，可分別通過做商、通分、取對數(shù)轉(zhuǎn)化成型或型的極限，再使用L’Hospital法則.例5求極限.解.注：這是將型轉(zhuǎn)化成了型，如果選擇不當(dāng)把它化成型，則解題過程將會比較復(fù)雜.轉(zhuǎn)化時一般規(guī)律是選擇求導(dǎo)后式子簡單的那種類型.例6求極限.解將它改寫成就化成了型，于是有.“、、”可以通過如下轉(zhuǎn)化化成型或型：求極限.（型）解因為而所以.求極限.（型）解因為當(dāng)時，所以.（4）利用L’Hospital法則求數(shù)列極限——Stolz公式Stolz公式可以說是數(shù)列的L’Hospital法則，它對求數(shù)列的極限很有用.定理1（型的Stolz公式）設(shè)嚴(yán)格遞增（即有）且，若①（有限數(shù)），則；②為或，結(jié)論仍然成立.定理2（型的Stolz公式）設(shè)時，嚴(yán)格單調(diào)下降趨于零，若，則（其中為有限數(shù)，或）.求極限.解由于，所以.例10證明（為自然數(shù)）.證.下面說明Stolz公式必要時可以重復(fù)使用（其中），求.解因單調(diào)遞增趨于，可應(yīng)用Stolz公式（再次使用Stolz公式）.求極限.解先取對數(shù)，再取極限.令應(yīng)用Stolz公式故,原式.（5）L’Hospital法則與其他方法相結(jié)合使用，如與無窮小相結(jié)合.例13求極限.解.有個別題目在使用L’Hospital法則時會出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，此時不能用L’Hospital法則求解，如下面一例.例14求極限.解.第2章Taylor展式在求極限問題中的應(yīng)用本節(jié)介紹運(yùn)用Taylor公式求解一些較復(fù)雜的未定型的函數(shù)極限及中值點(diǎn)的極限、無窮遠(yuǎn)處的極限.定理1（帶Peano余項的Taylor公式）設(shè)在處有階導(dǎo)數(shù)，則存在的一個鄰域，對于該鄰域中的任一點(diǎn)，成立其中余項滿足定理2（帶Lagrange余項的Taylor公式）設(shè)在上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且在上有階導(dǎo)數(shù).設(shè)為一定點(diǎn)，則對于任意，成立其中余項滿足，在和之間.注：函數(shù)在處的Taylor公式又稱為函數(shù)的Maclaurin公式.幾個常用函數(shù)的Maclaurin公式:（為了便于書寫，我們寫出帶Peano余項的Taylor公式）①;②;③;④其中為任意實數(shù)，，并規(guī)定；⑤；⑥.1.用Taylor公式巧解未定型極限由于L’Hospital法則的實質(zhì)是對分子分母進(jìn)行降階，這意味著當(dāng)遇到分子分母都是較高階的情況時，必須多次應(yīng)用L’Hospital法則，遇到分子分母有帶根號項時，會越微分形式會越復(fù)雜.而用公式則可進(jìn)一步到位，所以在求解未定型極限時，應(yīng)該靈活使用公式法解決.從而避免應(yīng)用法則出現(xiàn)的解題困難.例1求極限.解這是個未定型極限問題，如果使用L’Hospital法則，則分子分母需求導(dǎo)四次，但若使用Taylor公式，則.例2求極限.解這也是個未定型的極限問題，因，用代入，即有于是.2.用Taylor公式求中值點(diǎn)的極限例3（《本題選自數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》裴禮文.第2版.第251頁）設(shè)（1）在內(nèi)是階連續(xù)可微函數(shù)，此處；（2）當(dāng)時，有但是；（3）當(dāng)時有①其中證明：.證我們要設(shè)法從①式中解出，為此我們將①式左邊的及右邊的在處展開.由條件（2）知使得于是①式變成從而因，利用的連續(xù)性，可得.注：此題若用L’Hospital法則做將不勝其煩.例4設(shè)，且，證明：.提示：從而有.證明另得到，再由，兩邊消去，即得到.3.用Taylor公式求無窮遠(yuǎn)處的極限例5（《本題選自數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》裴禮文.第2版.第249頁）設(shè)函數(shù)在上二次連續(xù)可微，如果存在，且在上有界，試證：.證明要證明，即要證明：當(dāng)時利用Taylor公式，即①記因有界，所以，使得,（對）故由①知②對，首先可取充分小，使得，然后將固定，因，所以，當(dāng)時，從而由②式，即得.第3章微分中值定理在求極限問題中的應(yīng)用微分中值定理是Role定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理和Taylor中值定理的統(tǒng)稱。它作為微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，有廣泛的應(yīng)用。這些內(nèi)容需要在很好的掌握微分中值定理的基礎(chǔ)上再對定理靈活應(yīng)用，因此，不容易掌握，本節(jié)主要通過幾個例子介紹用微分中值定理解決極限問題，可能不是很全面，但足以讓大家對此問題有個大概的認(rèn)識。定理1（Rolle定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，使得.定理2（Lagrange中值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且至少存在一點(diǎn)，使得.定理3（Cauchy中值定理）設(shè)函數(shù)和都在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且對于任意，，則至少存在一點(diǎn)，使得.注：Taylor中值定理即帶Lagrange余項的Taylor公式，在二中已做講解，此處不再多做介紹.微分中值定理之間的關(guān)系：Rolle定理是微分中值定理的基石，而Lagrange中值定理是微分中值定理的核心.Lagrange中值定理添加條件，則收縮為特例Rolle定理.反之，如果Rolle定理中放棄條件，則推廣為Lagrange中值定理；同樣，若令，則Cauchy中值定理就收縮為Lagrange中值定理.而Cauchy中值定理可視為Lagrange中值定理在表述形式上的一種推廣；若Taylor中值定理添加條件，則收縮為特例Lagrange中值定理.而Taylor中值定理可視為Lagrange中值定理在應(yīng)用上的一種推廣.例1求極限.分析：本題可以使用L’Hospital法則，但是求導(dǎo)數(shù)計算量很大，根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)，可以考慮作輔助函數(shù)，設(shè)，在上使用Cauchy中值定理可容易解之.解設(shè)，在上使用Cauchy中值定理，有，當(dāng)時，故原式=.求極限其中為常數(shù).解由Lagrange中值定理，有其中位于和之間，當(dāng)時，所以.例3設(shè)在上連續(xù)，試證：.證明，其中（當(dāng)時）（當(dāng)時）故.本文介紹了導(dǎo)數(shù)在求極限中的基本應(yīng)用，旨在讓大家掌握各種導(dǎo)數(shù)方法適用的函數(shù)類型，要注意的事項及它的一些推廣結(jié)論，達(dá)到能靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法去求解一些極限問題以使問題簡單化的目的。同時也讓大家認(rèn)識到應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決問題的靈活