《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》413-5（雷安平）教案 第15課 微分方程

15第15第課微分方程PAGE815微分方程第15微分方程第課PAGE7

課題微分方程課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）掌握微分方程的基本概念（2）掌握可分離變量的微分方程（3）掌握一階線性微分方程（4）掌握微分方程的實(shí)際應(yīng)用思政育人目標(biāo)：通過微分方程的學(xué)習(xí)，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和作風(fēng)，提高自身科學(xué)素養(yǎng)；通過微分方程的實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是源于生活的，是可以解決實(shí)際問題的。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：微分方程的基本概念教學(xué)難點(diǎn)：微分方程的實(shí)際應(yīng)用教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第1節(jié)課：課堂測驗(yàn)（13min）第2節(jié)課：課堂測驗(yàn)（15min）課堂小結(jié)（3min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識講解

（30min）【教師】講解微分方程的基本概念和可分離變量的微分方程一、引例引例1求通過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線斜率為的曲線的方程．解設(shè)所求曲線方程為，由題意有，兩邊積分得．當(dāng)時，，代入上式得．因此所求曲線方程為．引例2某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為50，邊際成本的變化率為2，開始生產(chǎn)第一個單位產(chǎn)品時的邊際成本為，求該廠的總成本函數(shù)．解設(shè)總成本函數(shù)為，其中為產(chǎn)量，則邊際成本為．由已知條件得，即．上式兩端積分得．（5-1）再對上式兩端積分得，（5-2）其中，是任意常數(shù)．由已知條件有．代入式（5-1）和式（5-2）得．于是得到該廠的總成本函數(shù)為．可以看出，解決這類問題的方法為首先建立一個含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程，然后通過此方程求出滿足所給附加條件的未知函數(shù)．二、微分方程的基本概念定義5-3含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）的等式稱為微分方程．未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程．本章中研究的都是常微分方程，簡稱為微分方程．例如，，，都是常微分方程．微分方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù)，稱為微分方程的階．若方程中的未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或微分）的次數(shù)都是一次的，則稱該方程為線性微分方程，否則稱為非線性微分方程．例如，為線性微分方程，為非線性微分方程．定義5-4如果一個函數(shù)滿足一個微分方程，即把這個函數(shù)代入微分方程后，使方程成為恒等式，則稱這個函數(shù)為該微分方程的解．例如，引例1中，和都是微分方程的解；引例2中和都是微分方程的解．如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，則稱這樣的解為微分方程的通解．不包含任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解．例如，引例1中，是微分方程的通解，是微分方程的特解；引例2中，是微分方程的通解，而是微分方程的特解．當(dāng)自變量取某值時，要求未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)取特定的值，這樣的條件稱為初始條件．求解帶有初始條件的微分方程稱為微分方程的初值問題．例如，引例1中，時，；引例2中，．本書主要考慮一階常微分方程的解．一階常微分方程通常表示為．（5-3）求微分方程的解的主要方法就是積分，但y是x的未知函數(shù)，將作為被積函數(shù)直接對x積分，一般是很難求出結(jié)果的．這就要求必須對式（5-3）的右端進(jìn)一步分類，從而尋找問題的解決方法．三、可分離變量的微分方程如果一個一階微分方程能化成的形式，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程．可分離變量的微分方程的解法稱為分離變量法，其步驟如下．（1）分離變量：；（2）兩邊求不定積分：，得通解，其中，分別為的一個原函數(shù)．例1求微分方程的通解．解這是可分離變量的微分方程．分離變量得，兩邊積分得，，，即．若令，它仍是任意常數(shù)，便得所給微分方程的通解．【學(xué)生】掌握微分方程的基本概念和可分離變量的微分方程學(xué)習(xí)微分方程的基本概念和可分離變量的微分方程，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)

（13min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測試【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（25min）【教師】講解一階線性微分方程和微分方程的實(shí)際應(yīng)用四、一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性微分方程，其中為已知的連續(xù)函數(shù)．當(dāng)時，方程變?yōu)?，稱為一階線性齊次微分方程．當(dāng)時，對應(yīng)的微分方程稱為一階線性非齊次微分方程．下面介紹這兩種方程的解法．（一）一階線性齊次微分方程的解法對于一階線性齊次微分方程，可以用分離變量法求出通解．分離變量得，兩邊積分得，，故一階線性齊次微分方程的通解為．（二）一階線性非齊次微分方程的解法求一階線性非齊次微分方程的通解，可采用常數(shù)變易法，即將上述一階線性齊次微分方程通解中的常數(shù)換成待定函數(shù)．設(shè)微分方程的解具有形式，于是，．將代入，得，兩邊積分得．于是可得．可以驗(yàn)證，這就是一階線性非齊次微分方程的通解．例3求微分方程滿足的特解．解由于，代入通解公式，得通解．將代入上式得，即原方程滿足初始條件的特解是．五、微分方程的應(yīng)用舉例例4假設(shè)某公司的凈資產(chǎn)因資產(chǎn)本身產(chǎn)生了利息而以5%的年利率增長，同時，該公司還必須以每年200百萬元的數(shù)額連續(xù)支付職員工資．（1）求描述公司凈資產(chǎn)w（單位：百萬元）的微分方程；（2）解上述微分方程，這里假設(shè)初始凈資產(chǎn)為（單位：百萬元）；（3）試求出分別為3000，4000和5000時的特解．解（1）現(xiàn)用分析法來解此問題．為給凈資產(chǎn)建立一個微分方程，我們將使用下面這一事實(shí)，即．以每年百萬元為單位，利息盈取的速度為0.05w，而工資的支付率為每年200百萬元，于是有．（2）分離變量，有，兩邊積分得，于是．由時，有，代入解中，得．（3）如果，則為平衡解；如果，則；如果，則．請注意，當(dāng)時，，這一解意味著該公司在今后的第28個年頭破產(chǎn)．【學(xué)生】掌握一階線性微分方程和微分方程的應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)一階線性微分方程和微分方程的實(shí)際應(yīng)用，邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測試【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家掌握了隱函數(shù)的求導(dǎo)方法和高階導(dǎo)數(shù)的求法，難度較高，課后要多加練習(xí)，鞏固知識?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識點(diǎn)總結(jié)知識點(diǎn)，鞏固印象