《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》413-5（雷安平）教案 第13課 不定積分

13第13第課不定積分PAGE613不定積分第13不定積分第課PAGE7

課題不定積分課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）掌握原函數(shù)和不定積分的概念（2）掌握不定積分的幾何意義（3）掌握不定積分的性質(zhì)（4）掌握基本積分公式，及其應(yīng)用思政育人目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)不定積分，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：原函數(shù)和不定積分的概念教學(xué)難點(diǎn)：基本積分公式，及其應(yīng)用教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：課堂測驗(yàn)（10min）第2節(jié)課：課堂測驗(yàn)（15min）課堂小結(jié)（3min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識(shí)講解

（33min）【教師】講解原函數(shù)和不定積分的概念、不定積分的幾何意義一、原函數(shù)和不定積分的概念在第三章中，我們通過變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度引出了導(dǎo)數(shù)的概念，即若已知物體運(yùn)動(dòng)的位置函數(shù)，則的導(dǎo)數(shù)就是時(shí)刻的瞬時(shí)速度，．但是在實(shí)際中常常會(huì)遇到相反的問題．針對(duì)這一運(yùn)動(dòng)過程，我們反過來思考可以知道，當(dāng)物體的瞬時(shí)速度時(shí)，位置函數(shù)就為．此時(shí)，稱位置函數(shù)為速度函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)．定義5-1設(shè)是定義在區(qū)間上的已知函數(shù)，如果存在一個(gè)函數(shù)，使得在上的任意一點(diǎn)x有或，則稱函數(shù)是在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)．例如，在區(qū)間內(nèi)，，所以，是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)；另外，，所以，也是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)．同理可以知道，是在內(nèi)的原函數(shù)．由以上的例子可以看出，如果一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在，那么必有無窮多個(gè)原函數(shù)．這些原函數(shù)之間具有什么樣的關(guān)系？如何尋求所有的原函數(shù)呢？給出如下定理．定理5-1如果函數(shù)在區(qū)間上有原函數(shù)，則也是在區(qū)間上的原函數(shù)，并且的任一原函數(shù)均可表示成的形式．為表示全體原函數(shù)，給出下面的定義．定義5-2在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的全體原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分，記為．其中，稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為被積變量，稱為積分常數(shù)．按此定義，若，則．例1求．解由于，所以是的一個(gè)原函數(shù)，因此．例2通過各種生產(chǎn)技術(shù)試驗(yàn)，制造商發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品的邊際成本是由函數(shù)給出的，式中是產(chǎn)品的單位數(shù)量．已知生產(chǎn)的固定成本為9千元，求生產(chǎn)成本．解生產(chǎn)成本的導(dǎo)數(shù)是邊際成本，即．因?yàn)?，所以，其中是任意常?shù)．由固定成本的定義，知，解得．于是得到滿足條件的生產(chǎn)成本．例3求函數(shù)的不定積分．解當(dāng)時(shí)，，所以．當(dāng)時(shí)，，所以．上述兩種情形可以寫成．二、不定積分的幾何意義當(dāng)積分常數(shù)取不同值時(shí)，不定積分表示的不是一個(gè)函數(shù)，而是一族函數(shù)．從幾何上看，它們代表一族曲線，稱為函數(shù)的積分曲線族，如圖5-1所示．圖5-1積分曲線族具有以下兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：（1）（2）對(duì)應(yīng)同一橫坐標(biāo)a的點(diǎn)，其所有切線互相平行．例4設(shè)曲線過點(diǎn)且曲線上任意點(diǎn)處切線的斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程．解設(shè)所求曲線方程為，由題意知，所以是的一個(gè)原函數(shù)，，即的積分曲線族為．將代入，得．故所求曲線方程為．【學(xué)生】掌握原函數(shù)和不定積分的概念、不定積分的幾何意義學(xué)習(xí)原函數(shù)和不定積分的概念，以及不定積分的幾何意義，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)

（10min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測試【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象第二節(jié)課知識(shí)講解

（25min）【教師】講解不定積分的性質(zhì)和基本積分公式三、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1或．性質(zhì)2或．這兩個(gè)性質(zhì)說明：先積分后微分，形式不變；先微分后積分，相差一常數(shù)．由此充分說明了積分運(yùn)算與微分運(yùn)算互為逆運(yùn)算．性質(zhì)3．性質(zhì)4．性質(zhì)4可以推廣到任意有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和（差）的情形．四、基本積分公式在導(dǎo)數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，我們可以利用積分運(yùn)算與微分運(yùn)算互為逆運(yùn)算的性質(zhì)，得到以下一些常用的積分公式．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）．注：以上13個(gè)公式為積分常用公式，請(qǐng)熟記．例5求．解．例6求．解本題不能直接運(yùn)用基本積分公式．可由公式得．例7求．解．例8求．解本題不能直接應(yīng)用基本積分表，但可以先化簡被積函數(shù)：【學(xué)生】掌握不定積分的性質(zhì)和基本積分公式學(xué)習(xí)不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，及其應(yīng)用，邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測試【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象課堂小結(jié)

（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家掌握了原函數(shù)和不定積分的概念、不定積分的性質(zhì)和幾何意義及基本積分公式，內(nèi)容較多，課后要多加練習(xí)，鞏固知識(shí)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)：完成課后習(xí)題