《經濟數學》413-5（雷安平）教案 第6課 導數的概念

第課導數的概念PAGE第課導數的概念PAGE126導數的概念第課PAGE導數的概念第課PAGE116

課題導數的概念課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：（1）掌握導數的概念（2）掌握導數的幾何意義及與導數有關的實際問題（3）掌握可導與連續(xù)的關系思政育人目標：將導數與實際問題聯(lián)系起來，讓學生體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯(lián)系，運用數學的思維方式進行思考，增強發(fā)現問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力。教學重難點教學重點：導數的概念教學難點：導數的幾何意義及與導數有關的實際問題教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第1節(jié)課：課堂測驗（10min）第2節(jié)課：課堂測驗（15min）課堂小結（3min）教學過程主要教學內容及步驟設計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進行簽到【學生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況引例導入（10min）【教師】講解引例設一物體做變速直線運動，則以它的運動直線為數軸．在物體運動的過程中，對于每一時刻t，物體的相應位置可以用數軸上的一個坐標s來表示，即s與t之間存在函數關系：，這個函數習慣上稱為位置函數，現在我們來考察該物體在時刻的瞬時速度．圖3-1圖3-1如圖3-1所示，設在時刻物體的位置為．當自變量t獲得增量時，物體的位置函數s相應地有增量，即圖3-1．于是，比值就是物體在到這段時間內的平均速度，記作，即．從整體來看，變速運動的速度是變化的；但從局部來看，在一段很短的時間內，運動速度變化不大，可以近似地看作是勻速的．因此，當很小時，可作為物體在時刻瞬時速度的近似值．很明顯，越小，就越接近物體在時刻的瞬時速度．當無限小時，就無限接近于物體在時刻的瞬時速度，即．【學生】聆聽、思考、理解、記錄知識講解

（23min）【教師】講解導數的概念一、平面曲線的切線斜率定義3-1在曲線L上點附近，再取一點P，作割線，當點P沿曲線L移動而趨向于時，割線的極限位置就定義為曲線L在點處的切線．．，那么割線的斜率為．圖3-2當時，P沿曲線L趨于，割線的極限位置存在，即點處的切線存在，從而得到切線的斜率．由此可見，曲線在點處的縱坐標y的增量與橫坐標x的增量之比當時的極限即為曲線在該點處的切線的斜率．二、導數的概念定義3-2設函數在點的某個鄰域內有定義，當自變量在點處有增量時，函數取得相應的增量．如果當時，的極限存在，即，則稱此極限值為函數在點處的導數，并稱函數在點處可導，記作或或．若此極限值不存在，則稱函數在點處不可導．特殊地，若，我們說函數在點處的導數為，記作．．由該定義可看出，反映的是自變量從改變到時，函數的平均變化速度，稱為函數的平均變化率．而反映的是函數在點處的變化速度，稱為函數在點的變化率．如果函數在內可導，那么對應于中的每一個確定的x值，都有一個確定的導數值，這樣就確定了一個新的函數，稱為函數的導函數，記作或或或．在不致發(fā)生混淆的情況下，導函數也簡稱導數．顯然，函數在點處的導數就是導函數在點處的函數值，即．注意：與的區(qū)別在于表示函數在點的導數，即函數在一點的導數；而表示點處函數值的導數，即一個常數的導數，結果為零．基于此，要求出函數在一個點處的導數，應先求出函數的導函數，再把點的值代入即得導數值．由導數的定義可知，求函數的導數可按如下三個步驟進行：（1）求函數的改變量：；（2）求比值：；（3）求極限：．【學生】掌握導數的概念學習導數的概念，及時鞏固練習，實現教學做一體化課堂測驗

（10min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生進行測試【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（25min）【教師】講解求導的例子、導數的幾何意義、與導數有關的實際問題及可導與連續(xù)的關系一、求導舉例例1求函數在任意點處的導數．解在x處給自變量一個增量，則相應的函數增量為．于是，，即．一般地，對于冪函數的導數，有如下公式：．例2求函數的導數．解因為，所以，即．特別地，當時，．例3求函數的導數．解（1）求增量．因為，即不論取什么值，的值總等于，所以．（2）算比值．．（3）取極限．．這就是說，常數函數的導數等于0，即．例4求函數的導數．解（1）求增量．因，所以．（2）算比值．．（3）取極限．，即．用類似的方法，可求得．例5求對數函數的導數．解（1）求增量．．（2）算比值．．（3）取極限．，即．例6求證：．證設，則．令，則，且時，有，于是．按求導步驟求出的下列基本初等函數的導數，可作為公式直接使用．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）．二、導數的幾何意義及與導數有關的實際問題（1）函數在點處的導數是曲線在點處的切線的斜率，即（），這就是導數的幾何意義．曲線在點處的切線方程為．曲線在點處的法線方程為．特別地，若則，則法線垂直于軸，法線方程為．若則，則切線垂直于軸，切線方程為．（2）變速直線運動的速度是路程對時間的導數：．（3）在經濟管理中，收益函數對銷售量的導數稱為邊際收益．（4）利潤函數對產量的導數稱為邊際利潤．（5）在電工學中，電量對時間的導數稱為電流．（6）在化學反應中，物質A的濃度對時間的導數稱為反應速率．一般為了使反應速率為正值，如果物質A是反應物，則前加負號，即；物質A是產物，則速率就是．（7）在干燥物體的時候，單位干燥面積上汽化水分量對時間的導數稱為干燥速率．（8）某種傳染病傳播的人數量對時間的導數稱為傳染病的傳播速度．例7求曲線在點處的切線方程和法線方程．解因為，所以切線方程為，即；法線方程為，即．三、可導與連續(xù)的關系定理3-1若函數在點處可導，則函數在處連續(xù)．注意：此定理的逆命題不成立，即連續(xù)不一定可導．例如，函數在區(qū)間內處處連續(xù)，但它在處不可導．因在處，即曲線在原點有垂直于軸的切線，而該切線沒有斜率，故導數不存在．那么，如果函數在點處可導，即存在，則．例8試證函數在處連續(xù)，但在該點不可導．證因為，所以，即在處連續(xù)．又因為，所以，在點處的右導數是，而左導數是．左、右導數不相等，故函數在該點不可導．由此可見，函數連續(xù)是可導的必要條件而不是充分條件．為方便理解，分別稱極限為函數在處的右導數和左導數，分別用和來表示．顯然，函數在點處可導的充要條件是：函數在點處的右導數和左導數存在且相等．【學生】掌握求導的例子、導數的幾何意義、與導數有關的實際問題及可導與連續(xù)的關系學習求導的例子、導數的幾何意義、與導數有關的實際問題及可導與連續(xù)的關系，邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化課堂測驗

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生進行測試【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象課堂小結

（3min）【教師】簡要總結本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了導數的概念、導數的幾何意義、與導數有關的實際問題及可導與連續(xù)的關系，內容較多，課后要多加練習，鞏固知識?！緦W生】總結回顧