2023年北京市第一次普通高中學業(yè)水平合格性考試數學仿真模擬試卷A帶講解

2022年12月北京市普通高中學業(yè)水平合格性考試數學仿真模擬試卷A考生須知1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.本試卷分為兩個部分，第一部分為選擇題，共60分；第二部分為非選擇題，共40分。3．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。4．考試結束后，考生應將試卷、答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。參考公式：錐體的體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高.第一部分選擇題一、選擇題.本部分共20小題，每小題3分，共60分.在每個小題給出的四個備選答案中，只有一個是符合題目要求的.1．已知集合M，P滿足M∪P＝M，則一定有（）A．M＝P B．M?P C．M∩P＝M D．M?PB【解答】解：已知集合M，P滿足M∪P＝M，∴P中元素全部在集合M內由子集的定義得P?M故選：B．2．若a，b，c，d∈R，則下列說法正確的是（）A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd B．若a＞b，則ac2＞bc2 C．若a＜b＜0，則＜ D．若a＞b，則a3＞b3D【解答】解：A．根據a＞b，c＞d，取a＝1，b＝﹣1，c＝2，d＝﹣2，則ac＞bd不成立，故A錯誤；B．取c＝0，則ac2＞bc2不成立，故B錯誤；C．由a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，則不成立，故C錯誤；D．若a＞b，則由不等式的基本性質知，a3＞b3成立，故D正確．故選：D．3．下列圖象中，表示函數關系y＝f（x）的是（）A． B． C． D．D．【解答】解：根據函數的定義知，一個x有唯一的y對應，由圖象可看出，只有選項D的圖象滿足這一點．故選：D．4．在菱形ABCD中，下列結論正確的是（）A． B． C． D．D．【解答】解：A，∵四邊形ABCD為菱形，∴＝，∴A錯誤，B，∵﹣＝，∴B錯誤，C，∵四邊形ABCD為菱形，∴||與||不一定相等，∵|+|＝||，|﹣|＝||，∴C錯誤，D，∵四邊形ABCD為菱形，∴⊥，∵（+）?（﹣）＝?＝0，∴（+）⊥（﹣），∴D正確，故選：D．5．函數的定義域為（）A．（1，4] B．（1，4） C．[1，4] D．[1，4）A【解答】解：由題意，解得1＜x≤4，故選：A．6．為了得到函數的圖象，只需要將函數圖象上所有的點A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度 C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【詳解】，把函數的圖形向右平移個單位可得到函數．7．計算：＝（）A．﹣3 B． C．3 D．D【解答】解：＝[（﹣3）3]×＝（﹣3）2×3﹣3＝9×＝．故選：D．8．函數y＝（a2﹣4a+4）ax是指數函數，則a的值是（）A．4 B．1或3 C．3 D．1C【解答】解：由題意得，，解得，a＝3，故選：C．9．設x∈R，則“x＝1”是“復數z＝（x2﹣1）+（x+1）i為純虛數”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件C【解答】解：由于復數z＝（x2﹣1）+（x+1）i為純虛數，則，解得x＝1，故“x＝1”是“復數z＝（x2﹣1）+（x+1）i為純虛數”的充要條件．故選：C．10．某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個四棱錐形的“走馬燈“，正方形做燈底，且有一個三角形面上寫上了“年”字，當燈旋轉時，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①、②、③處可依次寫上（）A．樂、新、快 B．快、新、樂 C．新、樂、快 D．樂、快、新B【解答】解：根據四棱錐圖形，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序為②年①③，故選：B．11．袋中有10個除顏色以外完全相同的球，其中5個白球，3個黑球，2個紅球．從中任意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率是A． B． C． D．【詳解】根據題意，袋中除白球外共有5個小球，其中黑球有3個，所以從袋中任取一個已知不是白球的小球是黑球的概率為．12．已知，則A． B． C． D．【詳解】因為，所以．13．青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，小數記錄法的數據和五分記錄法的數據滿足，已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據約為（注A．0.6 B．0.8 C．1.2 D．1.5【詳解】在中，，所以，即，解得，所以其視力的小數記錄法的數據約為0.8．14．若角α滿足α＝45°+k?180°，k∈Z，則角α的終邊落在（）A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限B【解答】解：α＝45°+k?180°，k∈Z；當k＝0時，α＝45°，此時α為第一象限角；當k＝1時，α＝225°，此時α是第三象限角；∴角α的終邊落在第一或第三象限角．故選：B．15．已知向量，若∥，則實數m的值為（）A． B． C．3 D．﹣3A【解答】解：∵；∴1﹣2m＝0；∴．故選：A．16．在中，，，，那么的面積等于A． B． C． D．1【詳解】，，，的面積等于．17．已知直線、與平面、，，，則下列命題中正確的是A．若，則必有 B．若，則必有 C．若，則必有 D．若，則必有【詳解】．如圖所示，設，，滿足條件，但是與不平行，因此不正確；．假設，，，，則滿足條件，但是與不垂直，因此不正確；．若，，根據線面垂直的判定定理可得，故正確；．設，若，，雖然，但是可有，因此，不正確．綜上可知：只有正確．18．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1：3，這截面把圓錐母線分成的兩段的比是（）A．1：3 B．1：（﹣1） C．1：9 D．：2B【解答】解：用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截去的小圓錐與大圓錐為相似體，∵截面面積與底面面積的比是1：3，故小圓錐和大圓錐的相似比為：1：，故小圓錐和大圓錐的母線長比為：1：，故小圓錐和所得圓臺的母線長比為：1：（﹣1），故選：B．19．已知函數f（x）＝，則f（f（﹣1））＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2C【解答】解：根據f（x）的解析式即可求出：f（f（﹣1））＝f（0）＝1．故選：C．20．從某班50名同學中選出5人參加戶外活動，利用隨機數表法抽取樣本時，先將50名同學按01，02，……50進行編號，然后從隨機數表的第1行第5列和第6列數字開始從左往右依次選取兩個數字，則選出的第5個個體的編號為（）（注：表為隨機數表的第1行與第2行）0347437386369647366146986371629774246792428114572042533237321676A．24 B．36 C．46 D．47A【解答】解：由題知從隨機數表的第1行第5列和第6列數字開始，由表可知依次選取43，36，47，46，24．故選：A．第二部分非選擇題（共40分）二、填空題共4小題，每小題3分，共12分21．已知a，b，x均為正數，且a＞b，則＜（填“＞”、“＜”或“＝”）．<【解答】解：∵a＞b，x＞0，∴ax＞bx，∴ax+ab＞bx+ab，∴a（b+x）＞b（x+a），∴．故答案為：＜．22．據統(tǒng)計，中國大陸最近每年新能源汽車產量的年平均增長率為，按此增長速度，大約___________年后新能源汽車的產量會翻兩番．（取，【詳解】設今年的產量為，年后翻兩番，，，23．設向量，滿足||＝2，||＝1，|+|＝，則|﹣|＝2．2【解答】解：∵||＝2，||＝1，|+|＝，∴|+|2＝+2+|，∴2＝1，|﹣|2＝﹣2+|＝4，∴|﹣|＝2，答案為：2．24．已知函數，則的值為___________【詳解】函數，，．三、解答題共4小題，共28分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程25．已知函數，．（1）求的值；（2）求函數的最小正周期；（3）若，，求的值域．（1）；（2）；（3），【詳解】（1），所以；（2）由（1）可得函數的最小正周期；（3），時，，所以函數的值域為，．26．如圖，正三棱柱的所有棱長均為2，為線段的中點，為正方形對角線的交點．(1)求證：面；(2)求三棱錐的體積．(1)見解析(2)(1)證明：為正方形對角線的交點，即為的中點，為線段的中點，在中為中位線，可得，面，面，由線面平行的判定定理可得面；解：∵為等邊三角形，且邊長為2，∴,又因為棱柱為正棱柱，則面，27．如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝4．點D在邊BC上，且．（1），，求；（2），AD恰為BC邊上的高，求角A；（3）AD＝3，求t的取值范圍．（1）推導出＝（+），從而＝（+2?，由此能求出．（2）由，AD恰為BC邊上的高，設CD＝x，BD＝4x，在Rt△ACD中，AD2＝4﹣x2，在Rt△ABD中，AD2＝16﹣16x2，列方程求出x2＝，BC2＝25x2＝20，由余弦定理求出∠BAC．（3）推導出，則?（1﹣t），結合﹣1＜cosA＜1且0＜t＜1，能求出t的取值范圍．【解答】解：（1）∵，∴D為BC的中點，∴＝（+），∵AC＝2，AB＝4，，∴＝（+2?）＝[16+4+2×4×2×（﹣）]＝3，∴＝．（2）由，AD恰為BC邊上的高，設CD＝x，BD＝4x，在Rt△ACD中，AD2＝4﹣x2，在Rt△ABD中，AD2＝16﹣16x2，∴4﹣x2＝16﹣16x2，∴x2＝，∴BC2＝25x2＝20，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝0，∴∠BAC＝90°．（3）由題，，則＝＝＝t，∵AD＝3，且AC＝2，AB＝4，∴+（1﹣t）2+2t，則9＝16t2+4（1﹣2t+t2）+（16t﹣16t2）cosA，∴cosA＝，∵﹣1＜cosA＜1，∴﹣1＜，∵0＜t＜1，∴16t2﹣16t＜0，解得，∴t的取值范圍是（）．28．某校設計了如下有獎闖關游戲：參賽選手按第一關、第二關、第三關的順序依次闖關，若闖關成功，分別獲得5個學豆、10個學豆、20個學豆的獎勵．游戲還規(guī)定，當選手闖過一關后，可以選擇帶走相應的學豆，結束游戲；也可以選擇繼續(xù)闖下一關，若有任何一關沒有闖關成功，則全部學豆歸零，游戲結束．設選手甲第一關、第二關、第三關闖關成功的概率分別為，，，選手選擇繼續(xù)闖關的概率均為，且各關之間闖關成功與否互不影響．（Ⅰ）求選手甲第一關闖關成功且所得學豆為零的概率；（Ⅱ）求該選手所得學豆總個數不少于15的概率．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）設“甲第一關闖關成功且所得學豆為零”為事件A，“第一關闖關成功第二關闖關失敗”為事件A1，“前兩關闖關成功第三關闖關失敗”為事件A2，則A1，A2互斥，利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出選手甲第一關闖關成功且所得學豆為零的概率；（Ⅱ）由題意得該選手所得學豆個數可能為0，5，15，35，利用相互獨立事件概率乘法公式分別求出“該選手所得學豆個數為15”的概率和“該選手所得學豆個數為35”的概率，再利用互斥事件概率加法公式能求出該選手所得學豆總個數不少于15的概