一元二次方程

一元二次方程一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯如下圖，它的長(zhǎng)為８m，寬為５m．如果地毯中央長(zhǎng)方形圖案的面積為１８m2，則花邊多寬?例1解：如果設(shè)花邊的寬為xm,那么地毯中央長(zhǎng)方形圖案的長(zhǎng)為

m,寬為

m,根據(jù)題意,可得方程：

（8－2x）（5－2x）(8－

2x)(5－

2x)=18.5xxxx

（8－2x）（5－2x）818m2數(shù)學(xué)化如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？解：由勾股定理可知，滑動(dòng)前梯子底端距墻

m.如果設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm，那么滑動(dòng)后梯子底端距墻

m;根據(jù)題意，可得方程：你能化簡(jiǎn)這個(gè)方程嗎?6x＋672＋(x＋6)2＝102xm8m10m7m6m10m數(shù)學(xué)化1m例2觀察下面等式：１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２你還能找到其他的五個(gè)連續(xù)整數(shù)，使前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和嗎？如果設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)為x，那么后面四個(gè)數(shù)依次可表示為：

，

，

，

．你能化簡(jiǎn)這個(gè)方程嗎?x＋1x＋2x＋3x＋4根據(jù)題意，可得方程：

.(x＋1)2(x＋2)2＋(x＋3)2(x＋4)2＝＋x2＋一般化例3

上面的方程都是只含有

的

，并且都可以化為的形式，這樣的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的概念由上面三個(gè)問(wèn)題，我們可以得到三個(gè)方程：把a(bǔ)x２＋bx＋c＝０(a，b，c為常數(shù),a≠０)稱(chēng)為一元二次方程的一般形式，其中ax２

，bx

，c分別稱(chēng)為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a，

b分別稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．(8-2x)(５-２x)=18;即

2x2－

13x

＋11=0.x２+x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２即

x2－

8x－20＝0.（x＋６）２＋７２＝１０２即x2＋12

x

－15＝0.上述三個(gè)方程有什么共同特點(diǎn)？一個(gè)未知數(shù)x整式方程ax２＋bx＋c＝０(a，b，c為常數(shù),a≠０)下列方程哪些是一元二次方程?(2)2x2－5xy＋6y＝0(5)x2＋2x－3＝1＋x2(1)7x2－6x＝0解:(1)、(4)(3)2x2－－1＝0－13x(4)＝0－y221.關(guān)于x的方程(k－3)x2＋

2x－1＝0,當(dāng)k_______

時(shí)，是一元二次方程．2.關(guān)于x的方程(k2－1)x2＋

2(k－1)x＋

2k＋

2＝0,當(dāng)k

時(shí)，是一元二次方程．,當(dāng)k

時(shí)，是一元一次方程．≠3≠±1＝－1解：設(shè)竹竿的長(zhǎng)為x尺,則門(mén)的寬度為

尺,長(zhǎng)為

尺,依題意得方程：１．從前有一天，一個(gè)醉漢拿著竹竿進(jìn)屋，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門(mén)框?qū)挘闯?，豎著比門(mén)框高２尺，另一個(gè)醉漢教他沿著門(mén)的兩個(gè)對(duì)角斜著拿竿，這個(gè)醉漢一試，不多不少剛好進(jìn)去了．你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎？請(qǐng)根據(jù)這一問(wèn)題列出方程．(x－4)2＋(x－2)2＝x2即x2－12x＋20＝04尺2尺xx－4x－2數(shù)學(xué)化(x－4)(x－2)練習(xí)２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．解：將原方程化簡(jiǎn)為：

9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9)9x2＋12x＋4＝9x2

5x2

＋36x－32＝0二次項(xiàng)系數(shù)為

，5＋36－32一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為.536－324x2－24x＋36－4x2＋24x－36＋

12x＋4＝0１．學(xué)習(xí)了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c為常數(shù)，a≠０）和有關(guān)概念，如二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)．２．會(huì)用一元二次方程表示實(shí)際生活中的數(shù)量關(guān)系你準(zhǔn)備如何去求方程中的未知數(shù)呢?小結(jié)拓展知識(shí)的升華作業(yè)１．根據(jù)題意，列出方程：（１）有一面積為54m2的長(zhǎng)方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xm，則原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為(x＋5)m,寬為(x＋2)m，依題意得方程：(x＋5)(x＋2)＝54即x2

＋7x－44＝025xxX＋5X＋254m2知識(shí)的升華獨(dú)立作業(yè)（２）三個(gè)連續(xù)整數(shù)兩兩相乘，再求和，結(jié)果為242，這三個(gè)數(shù)分別是多少？x(x＋1)＋x(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)＝242.

x2

＋2x－80＝0.即解：設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x＋１,

x＋2，依題意得方程：知識(shí)的升華獨(dú)立作業(yè)2.把下列方程化為一元二次方程的形式，并寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：方程一般形式二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03x2－5x＋1＝0x2＋x－8＝0或－7x2＋0

x＋4＝03－5＋11＋1－8－7043－5111－8－704或7x2

－4＝070

－4－7x2＋4＝0一元二次方程的解法一：配方法平方根的意義:1.解方程(1)x2=5.解方程(2)x2=4.

解方程(3)(x+2)2=5.

解方程(4)x2+12x+36=5.

解方程(5)x2+12x=-31.

解方程(6)x2+12x-15=0.

解方程(7)x2+8x-9=0.

如果x2=a,那么x=

如:如果x2=5,那么x=完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,

且a2±2ab+b2=(a±b)2.如:x2+12x+

=(x+6)2;x2-4x+

=(x-

)2;x2+8x+

=(x+

)2.

解方程x2+8x-9=0.1.移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的左邊;我們通過(guò)配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱(chēng)為配方法2.配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值一半的平方;3.變形:方程左分解因式,右邊合

并同類(lèi);4.開(kāi)方:方程左分解因式,右邊合并同類(lèi);5.求解:解一元一次方程;6.定解:寫(xiě)出原方程的解.

解下列方程:1.x2–2=0;2.16x2–25=0;3.(x+1)2–4=0;4.12(2-x)2-9

=0;5.x2-144=0;6.y2-7=0;7.x2+5=0;8.(x+3)2=2;9.(x+3)2=6;8.(x+3)2=2;9.(x+3)2=6;10.16x2-49=0;11.(2x+3)2=5;12.2x2=128;13.(x+1)2-12=0;14.x2-10x+25=015.x2+6x=1;16.49x2-42x–1=0.１．根據(jù)題意，列出方程：1.如圖,在一塊長(zhǎng)35m,寬26m矩形地面上,修建同樣寬的兩條互相垂直的道路,剩余部分栽種花草,在使剩余部分的面積為850m2,道路的寬應(yīng)是多少？解：設(shè)道路的寬為xm，根據(jù)題意得(35-x)(26-x)＝850.x2-61x－60＝0.35m26m解這個(gè)方程,得x1

＝1;x2

＝60(不合題意,舍去).答:道路的寬應(yīng)為1m.2.解下列方程:(1).x2+12x+25=0;(2).x2+4x=10;(3).x2–6x=11;

(4).x2–2x-4

=0.

二：公式法用配方法解一般形式的一元二次方程把方程兩邊都除以解:移項(xiàng)，得配方，得即用配方法解一般形式的一元二次方程當(dāng)時(shí)即一元二次方程的求根公式特別提醒例1解方程：解：即：這里用公式法解一元二次方程的一般步驟：3、代入求根公式:2、求出

的值，1、把方程化成一般形式，并寫(xiě)出的值。4、寫(xiě)出方程的解：特別注意:當(dāng)時(shí)無(wú)解例2解方程：化簡(jiǎn)為一般式：這里解：即：解：去括號(hào)，化簡(jiǎn)為一般式：例3解方程：這里方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解。用公式法解下列方程：（1）2x2-9x+8=0;（2）9x2+6x+1=0;（3）16x2+8x=3.1、m取什么值時(shí)，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解2、關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。當(dāng)a，b，c滿(mǎn)足什么條件時(shí)，方程的兩根為互為相反數(shù)？因式分解法分解因式法當(dāng)一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí),我們就可以用分解因式的方法求解.這種用分解因式解一元二次方程的方法你為分解因式法.提示:1.用分解因式法的條件是:方程左邊易于分解,而右邊等于零;2.關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的知識(shí);3.理論依舊是“如果兩個(gè)因式的積等于零,那么至少有一個(gè)因式等于零.”分解因式法用分解因式法解方程:(1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).分解因式法解一元二次方程的步驟是:1.令方程的右邊為0，左邊可因式分解;3.根據(jù)“至少有一個(gè)因式為零”,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

4.分別解兩個(gè)一元一次方程，它們的根就是原方程的根.2.把左邊因式分解;1.解下列方程:解：解：配方法公式法解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x,根據(jù)題意,得∴x=0,或2x-7=0.2x2=7x.2x2-7x=0,x(2x-7)

=0,一個(gè)數(shù)平方的2倍等于這個(gè)數(shù)的7倍,求這個(gè)數(shù).駛向勝利的彼岸1.x2-4=0;2.(x+1)2-25=0.解：1.(x+2)(x-2)=0,∴x+2=0,或x-2=0.∴x1=-2,x2=2.你能用分解因式法解下列方程嗎？[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,∴x+6=0,或x-4=0.∴x1=-6,x2=4.這種解法是不是解這兩個(gè)方程的最好方法?你是否還有其它方法來(lái)解?(X+6)(x-4)=0實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程

例1：二中小明學(xué)習(xí)非常認(rèn)真，學(xué)習(xí)成績(jī)直線(xiàn)上升，第一次月考數(shù)學(xué)成績(jī)是a分，第二次月考增長(zhǎng)了10%，第三次月考又增長(zhǎng)了10%，問(wèn)他第三次數(shù)學(xué)成績(jī)是多少？分析：第三次第二次第一次aaX10%a+aX10%=a（1+10%）X10%a(1+10%)+a(1+10%)X10%=a（1+10%）2a（1+10%）例2：某經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，三月份產(chǎn)值為72億元，問(wèn)二月、三月平均每月的增長(zhǎng)率是多少？解：設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率為x，根據(jù)題意得方程為50(1+x)2=72

可化為：解得：答：二月、三月平均每月的增長(zhǎng)率是20%例3：平陽(yáng)按“九五”國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展規(guī)劃要求，2003年的社會(huì)總產(chǎn)值要比2001年增長(zhǎng)21%，求平均每年增長(zhǎng)的百分率．（提示：基數(shù)為2001年的社會(huì)總產(chǎn)值，可視為a）設(shè)每年增長(zhǎng)率為x，2001年的總產(chǎn)值為a，則2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x)2增長(zhǎng)21%aa+21%aa(1+x)2=a+21%a分析：a(1+x)2=1.21a(1+x)2=1.211+x=1.1x=0.1解:設(shè)每年增長(zhǎng)率為x，2001年的總產(chǎn)值為a，則a(1+x)2=a+21%a答:平均每年增長(zhǎng)的百分率為10%

．練習(xí)1：某藥品經(jīng)兩次降價(jià)，零售價(jià)降為原來(lái)的一半.已知兩次降價(jià)的百分率一樣，求每次降價(jià)的百分率.（精確到0.1%）

解：設(shè)原價(jià)為1個(gè)單位，每次降價(jià)的百分率為x.根據(jù)題意，得

解這個(gè)方程，得

答：每次降價(jià)的百分率為29.3%.

練習(xí)2:某藥品兩次升價(jià)，零售價(jià)升為原來(lái)的1.2倍，已知兩次升價(jià)的百分率一樣，求每次升價(jià)的百分率（精確到0.1%）解，設(shè)原價(jià)為元，每次升價(jià)的百分率為，根據(jù)題意，得

解這個(gè)方程，得

由于升價(jià)的百分率不可能是負(fù)數(shù)，所以不合題意，舍去答：每次升價(jià)的百分率為9.5%.

甲公司前年繳稅40萬(wàn)元，今年繳稅48.4萬(wàn)元.該公司繳稅的年平均增長(zhǎng)率為多少?增長(zhǎng)率與方程

基本數(shù)量關(guān)系:a(1+x)2=b

練習(xí)3.小紅的媽媽前年存了5000元一年期的定期儲(chǔ)蓄，到期后自動(dòng)轉(zhuǎn)存.今年到期扣除利息稅（利息稅為利息的20%），共取得5145元.求這種儲(chǔ)蓄的年利率.（精確到0.1%）

練習(xí)4.市第四中學(xué)初三年級(jí)初一開(kāi)學(xué)時(shí)就參加課程改革試驗(yàn)，重視學(xué)生能力培養(yǎng).初一階段就有48人在市級(jí)以上各項(xiàng)活動(dòng)中得獎(jiǎng)，之后逐年增加，到三年級(jí)結(jié)束共有183人次在市級(jí)以上得獎(jiǎng).求這兩年中得獎(jiǎng)人次的平均年增長(zhǎng)率.一元二次方程及應(yīng)用題1、直角三角形問(wèn)題：（勾股定理）2、體積不變性問(wèn)題：3、數(shù)字問(wèn)題：4、互贈(zèng)禮物問(wèn)題：5、增長(zhǎng)率問(wèn)題：.數(shù)字與方程

例1.一個(gè)兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小3,而它的個(gè)位數(shù)字的平方恰好等于這個(gè)兩位數(shù).求這個(gè)兩位數(shù).數(shù)字與方程例2.有一個(gè)兩位數(shù),它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和是5.把這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字互換后得到另一個(gè)兩位數(shù),兩個(gè)兩位數(shù)的積為763.求原來(lái)的兩位數(shù)..幾何與方程例1.一塊長(zhǎng)方形草地的長(zhǎng)和寬分別為20cm和15cm,在它的四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路.已知小路的面積為246cm2,求小路的寬度.201515+2x20+2x幾何與方程例2.如圖,在一塊長(zhǎng)92m,寬60m的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬度都相等.水渠把耕地分成面積均為885m2的6個(gè)矩形小塊,水渠應(yīng)挖多寬.幾何與方程例3.將一條長(zhǎng)為56cm的鐵絲剪成兩段,并把每一段圍成一個(gè)正方形.(1).要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于100cm2,該怎樣剪?(2).要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于196cm2,該怎樣剪?(3).這兩個(gè)正方形的面積之和可能等于200m2嗎?例2.某公司計(jì)劃經(jīng)過(guò)兩年把某種商品的生產(chǎn)成本降低19%，那么平均每年需降低百分之幾?增長(zhǎng)率與方程例2.某公司計(jì)劃經(jīng)過(guò)兩年把某種商品的生產(chǎn)成本降低19%，那么平均每年需降低百分之幾?增長(zhǎng)率與方程例1.一次會(huì)議上,每?jī)蓚€(gè)參加會(huì)議的人都互相握了一次手,有人統(tǒng)計(jì)一共握了66次手.這次會(huì)議到會(huì)的人數(shù)是多少?.美滿(mǎn)生活與方程某班同學(xué)在圣誕節(jié)期間互贈(zèng)禮物182件，求：這個(gè)班級(jí)的人數(shù)某校進(jìn)行乒乓球單循環(huán)比賽，共比賽55場(chǎng)，問(wèn)：共有多少名同學(xué)參加例2.小明將勤工助學(xué)掙得的500元錢(qián)按一年定期存入銀行,到期后取出50元用來(lái)購(gòu)買(mǎi)學(xué)習(xí)用品剩下的450元連同應(yīng)得的稅后利息又全部按一年定期存入銀行如果存款的年利率保持不變,且到期后可得稅后本息約461元,那么這種存款的年利率大約是多少?(精確到0.01%).美滿(mǎn)生活與方程例.某商店從廠(chǎng)家以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品,若每件商品售價(jià)為x元,則每天可賣(mài)出(350-10x)件,但物價(jià)局限定每件商品加價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的20%.商店要想每天賺400元,需要賣(mài)出多少年來(lái)件商品?每件商品的售價(jià)應(yīng)為多少元?.利潤(rùn)與方程商場(chǎng)精英例.某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫,現(xiàn)在平均每天能售出20件,每件盈利40元.為了盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取降價(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果這種襯衫的售價(jià)每降低1元時(shí),平均每天能多售出2件.商場(chǎng)要想平均每天盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?例.某果園有100棵桃樹(shù),一棵桃樹(shù)平均結(jié)1000個(gè)桃子,現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些桃樹(shù)以提高產(chǎn)量.試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),每多種一棵桃樹(shù),每棵棵桃樹(shù)的產(chǎn)量就會(huì)減少2個(gè).如果要使產(chǎn)量增加15.2%,那么應(yīng)種多少棵桃樹(shù)?.經(jīng)濟(jì)效益與方程某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染．請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過(guò)700臺(tái)？有關(guān)面