線性代數 矩陣及其運算

第二章矩陣及其運算(Matrix&Operation)矩陣是線性代數的一個主要研究對象，也是數學上的一個重要工具。矩陣的應用已經滲透到了包括自然科學、人文科學、社會科學在內的各個領域。在矩陣理論中，矩陣的運算起著重要的作用，本章主要討論有關矩陣運算的一些基本規(guī)則與技巧。某班級同學早餐情況這個數表反映了學生的早餐情況.姓名饅頭包子雞蛋稀飯周星馳4221張曼玉0000陳水扁4986為了方便，常用下面右邊的數表表示§2.1矩陣的概念2.1.1矩陣的引入1.定義2.1由m×n個aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的數表稱m行n列矩陣，簡稱m×n矩陣。記作2.1.2矩陣的定義2.說明:矩陣與行列式不同

形式不同矩陣的行列數可不同，但行列式必須行列數同.內容不同矩陣是一個數表，但行列式必是一個數.

3.實矩陣、復矩陣5.矩陣相等充要條件是:4.同型矩陣兩矩陣的行列數分別相等稱它們是同型矩陣2.1.2一些特殊矩陣1.方陣若A為n行n列的矩陣，稱A為n階方陣。2.

行矩陣、列矩陣行矩陣只有一行的矩陣。列矩陣只有一列的矩矩陣3.零矩陣、單位矩陣n階單位矩陣4.對角矩陣與數量矩陣5.上（下）三角形矩陣§2.2矩陣的運算2.2.1.矩陣的加法與數乘:

注：矩陣的加法只能在兩個同型矩陣之間進行；兩個矩陣相加時，對應元素進行相加。1.矩陣的加法（定義2.2）:

A=(aij)

、B=(bij)2.矩陣的數乘定義2.3

數λ與矩陣Ａ的乘積記為λA或Aλ，并規(guī)定：負矩陣:

A=(

aij)

減法：Ａ

B=Ａ+(

B)3.矩陣線性運算律：

(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(

A)=O(4)1A=A(5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA(7)k(A+B)=kA+kB

例1．若X滿足其中求X.解X=

2.2.2.矩陣的乘法：1.矩陣的乘法定義（定義2.5）設矩陣A為m×s

階矩陣、矩陣B為s×n

階矩陣，A=(aij)

m×s

、B=(bij)

s×n，則矩陣A與B的乘積為一m×n

階矩陣C=(cij)

m×n，記C=AB，且就是說，矩陣C的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行的所有元素與矩陣B的第j列的對應元素的乘積之和。例2計算

例3.非齊次線性方程組的矩陣表示記則非齊次線性方程組可簡記為關于矩陣乘法的注意事項：（1）矩陣A

與矩陣B

做乘法必須是左矩陣的列數與右

矩陣的行數相等；（2）矩陣的乘法中，必須注意矩陣相乘的順序，AB是A左乘B的乘積，BA是A右乘B的乘積；2.矩陣乘法與加法滿足的運算規(guī)律（3）AB與BA不一定同時會有意義；即是有意義，也

不一定相等；（4）AB=O不一定有A=O或B=O；

A(X

Y)=O且A≠O也不可能一定有X=Y例4定理2.1

若矩陣A的第i行是零行，則乘積AB的第i行也是零；若矩陣B的第j行是零列，則乘積AB的第j列也是零。若A(或B)是零矩陣，則乘積AB也是零矩陣。例5設求AB與BA解只有方陣，它的乘冪才有意義。由于矩陣的乘法滿足結合律，而不滿足交換律，因而有下面的式子：

(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm

(3)(AB)k≠AkBk3.矩陣的乘冪：設A是n階方陣，定義：例6

解

4.方陣A的n次多項式5.矩陣的轉置定義2.6A的轉置矩陣，記作AT，是將A的行列互換后所得矩陣如果A是一個m×n階矩陣，AT是一個n×m階矩陣。矩陣的轉置的性質證明（1）、（2）、（3）易證，下證明(4).設矩陣A為m×s階矩陣，矩陣B為s×n階矩陣，那么：(AB)T與BTAT是同型矩陣；又設C=AB，因為CT的第i行第j列的元素正好是C的cji

，即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i，b2i，…，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故

(AB)T=ATBT6.對稱矩陣與反對稱矩陣設A為n階方陣，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為對稱矩陣；若AT=

A，即aij=

aji(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為反對稱矩陣。如右邊的矩陣A為對稱矩陣7.方陣的行列式（1）方陣A的行列式，記為|A|或detA。注意：行列式與方陣是兩個不同的概念，且它們的記號也是不同的。（2）方陣的行列式滿足以下運算規(guī)律(設A、B為n階方陣，λ為實數)1)伴隨矩陣：設A=(aij)n×n，矩陣A中元素aij的代數余子式Aij構成的如下矩陣8、再講幾類特殊的矩陣稱矩陣A的伴隨矩陣，記為A＊矩陣運算舉例

設對于n階方陣A，若存在n階方陣B使得

AB=BA=E恒成立，則稱矩陣A可逆或滿秩矩陣,或非奇異矩陣；B稱為A的逆矩陣，記為A－1=B

。1）.若矩陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的。證明：設A有兩個逆矩陣B1、B2，則

B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩陣的定義（定義2.8）2、可逆矩陣的唯一性、存在性及性質§2.3逆矩陣證明：充分性由行列式的代數余子式的性質及矩陣乘法的定義有：AA*=A*A=|A|E，又|A|≠02）.定理2.2A可逆的充要條件是|A|≠0，且A可逆時有3）.對于n階方陣A、B若有AB=E則：A、B均可逆，且它們互為可逆矩陣。證明：∵AB=E∴|A||B|=1

故

|A|≠0且|B|≠0，A、B均可逆，又BA=BABB－1=BB－1=E,故

A－1=B

必要性證明：∵A可逆∴AA－1=A－1

A=E故|A||A－1|=1，即|A|≠0

，A可逆，同時還有奇異矩陣與非奇異矩陣：若n方陣Ａ的行列式|A|≠0，稱矩陣A為非奇異矩陣，否則矩陣A稱為奇異矩陣。4）.逆矩陣的性質

如果A、B均可逆，那么AT與AB都可逆，且

(A－1)－1＝A(AT)－1＝(A－1)T(AB)－1＝B－1A－1

(kB)－1＝k－1A－1(k為非零）

|A－1|=|A|－1

證明：∵A、B均可逆∴AA－1=A－1A＝E

故(AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E∴(AT)－1=(A－1)T

同理(AB)(B－1A－1)＝(B－1A－1)(AB)＝E

∴(AＢ)－1=Ｂ－1A－1有關逆矩陣例題

本節(jié)來介紹一個在處理高階矩陣時常用的方法，即矩陣的分塊。將矩陣A用若干條橫線與若干條縱線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為矩陣A的子塊。以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。特別在運算中，把這些小矩陣當做一個數來處理?！?.4分塊矩陣即Aij與Bij有相同的列數與行數，則：A與B的和就是以Aij與Bij為元素的形式矩陣相加。2.4.1分塊矩陣的加法：設矩陣A,矩陣B為：2.4.2分塊矩陣的乘法：設矩陣Am×n、Bn×p且矩陣A列的分法與矩陣B的行的分法相同。2.4.3分塊矩陣的轉置

它的特點是不在主對角線上的子塊全為零矩陣，而在主對角線上的矩陣均為不全為零的方陣，則稱A為準對角矩陣（或對角塊矩陣）。

對于準對角矩陣，有以下運算性質：若A與B是具有相同分塊的準對角矩陣，且設2.4.4準對角矩陣

若矩陣A的分塊矩陣具有以下形式則：?若準對角矩陣A的主對角線上的每一個方陣均可逆，則矩陣A也可逆，且?2.4.5矩陣分塊的應用2.4.6矩陣按列分塊1.矩陣按列分塊2.線性方程組的系數矩陣按列分塊后線性方程組的等價形式如果把系數矩陣A按列分成n塊，則線性方程組可記作§2.5初等變換與初等矩陣2.5.1矩陣的初等變換(Elementaryoperation)1

初等變換定義定下面的三種變換稱為矩陣的初等變換

：(i).

對調兩行(ii).以非0數乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行對應的元素上去

把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義。矩陣的初等行變換和初等列變換，統稱為初等變換。顯然，每一種初等變換都是可逆的，并且其逆變換也是同一種初等變換。

例18設（1）用行初等變換把A化為階梯形，進一步化為行標準形（2）再用列初等變換把A化為標準形解（1）（行階梯形）2行階梯形矩陣定義2.11一個矩陣稱為行階梯形矩陣，如果從第一行起，每行第一個非零元素前面零的個數逐行增加，一旦出現零行，則后面各行（如果有的話）都是零行

如下面的階梯形矩陣行標準型下面形式的矩陣稱為行標準型下面形式的矩陣稱為標準型3.定理2.3設A是一個m行n列矩陣，通過行初等變換可以把A化為如下行標準型

4

定理矩陣A可經初等變換化為標準形:

（1）.已知分別將A的第一、二行互換和將A的第一列的

2倍加到第二列，求出相應的初等矩陣,并用矩陣乘法將這兩種變換表示出來。解交換A的第一、二行，可用二階初等矩陣

左乘A：將A的第一列的

2倍加到第二列，即用三階初等矩陣右乘A：

2.5.2