濾波器組調(diào)研報(bào)告

濾波器組調(diào)研匯報(bào)近年來(lái)，濾波器組技術(shù)在語(yǔ)音編碼、圖像變換、通信信號(hào)處理、雷達(dá)等方面得到了廣泛應(yīng)用。雖然濾波器組技術(shù)在不一樣的應(yīng)用場(chǎng)所有著不一樣的構(gòu)造，但其基本原理都是通過(guò)度析濾波器將輸入信號(hào)從頻域分解為子帶信號(hào)。經(jīng)處理后通過(guò)綜合濾波器將子帶信號(hào)合成為原信號(hào)。濾波器組的研究已經(jīng)受到了人們的廣泛重視。

子帶信號(hào)處理從提出概念到今天大概30年的歷史，期間經(jīng)歷了如下幾種階段：

（1）提出概念階段

濾波器組的研究最早來(lái)源于20實(shí)際70年代，重要應(yīng)用于多速采樣，減少計(jì)算復(fù)雜度以及減少傳播數(shù)據(jù)率和存儲(chǔ)單元的規(guī)定。開(kāi)始受到人們的關(guān)注時(shí)期是在1980年，提出了兩通道正交鏡像濾波器組（QuadratureMirrorFilter,簡(jiǎn)稱(chēng)）。由于子帶濾波器中存在分析/綜合濾波器，上下采樣器，因此子帶重建信號(hào)一般存在三種失真：幅度失真，相位失真和混疊失真。一般存在混疊失真的濾波器組是線(xiàn)性周期時(shí)變系統(tǒng)，而完全消除混疊失真的系統(tǒng)是線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)。假如濾波器組的輸出是純延時(shí)的，則稱(chēng)為精確重建系統(tǒng)。

（2）基本理論發(fā)展的初步階段

在1986年，Smith和Barnwell提出的共軛正交濾波器組初次實(shí)現(xiàn)了精確重建。在1986年由Vetterli和在1987年由Vaidyanathan分別獨(dú)立研究了濾波器組的精確重建條件，并將兩通道子帶延伸到子帶。他們引入了多相位分量分析濾波器組的措施使得濾波器組的設(shè)計(jì)和分析大大簡(jiǎn)化，從而推進(jìn)了這一學(xué)科的發(fā)展。尤其是Vaidyanathan，他和他的研究組提出了無(wú)損系統(tǒng)的晶格構(gòu)造，用于設(shè)計(jì)精確重建的正交濾波器組，可以實(shí)現(xiàn)功率互補(bǔ)的濾波器組，簡(jiǎn)化了濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)。這些極大地推進(jìn)了濾波器組的理論和應(yīng)用的發(fā)展。

（3）豐富完善理論階段

20世紀(jì)80年代末到90年代中期，小波分析研究成為熱點(diǎn)。小波的多辨別分析理論研究表明，滿(mǎn)足一定正則條件的濾波器組可以迭代計(jì)算出小波，Mallat提出了雙尺度方程以及塔式分解算法，這些成果將濾波器組和小波緊密聯(lián)絡(luò)在一起，使得濾波器組與小波理論及設(shè)計(jì)有了非常緊密的聯(lián)絡(luò)。眾學(xué)者開(kāi)始重視運(yùn)用濾波器組設(shè)計(jì)小波，以及濾波器組自身理論的研究。在此期間，眾人公認(rèn)的最有代表性的人物是VaidyanathanP.P.，他系統(tǒng)地提出了通道正交濾波器組的理論，他將當(dāng)時(shí)的研究成果匯集成冊(cè)，成為當(dāng)時(shí)將從事此領(lǐng)域研究者的必讀之書(shū)。

按照濾波器組所具有的特點(diǎn)，濾波器組提成如下幾類(lèi)：

（1）帶均勻?yàn)V波器組

自從引入多相位分量分析濾波器組后，許多學(xué)者開(kāi)始了在這方面的研究。余弦調(diào)制帶濾波器組的出現(xiàn)是一次重要飛躍。得出了精確重建條件并用格形構(gòu)造進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)。大大簡(jiǎn)化了帶濾波器組的設(shè)計(jì)并且出現(xiàn)了類(lèi)似的迅速算法，即迅速離散余弦變換。本文也將重要簡(jiǎn)介余弦調(diào)制濾波器組的研究和設(shè)計(jì)。用調(diào)制的措施實(shí)現(xiàn)帶濾波器組的措施得到廣泛的應(yīng)用。其中突出的設(shè)計(jì)措施有：非余弦任意正交調(diào)制的帶濾波器組，擴(kuò)展高斯函數(shù)的余弦調(diào)制濾波器組，用調(diào)制的帶濾波器組等。

（2）線(xiàn)性相位濾波器組

在某些應(yīng)用中但愿濾波器組是線(xiàn)性相位的，因此線(xiàn)性相位的濾波器構(gòu)成為了人們研究的熱點(diǎn)之一。線(xiàn)性相位一般是通過(guò)濾波器實(shí)現(xiàn)的，因此由濾波器做原型濾波器的濾波器得到了廣泛的研究。自從1993年，通道線(xiàn)性相位正交濾波器組理論誕生后來(lái)，余弦調(diào)制濾波器組被延伸到線(xiàn)性相位濾波器組領(lǐng)域，從而大大簡(jiǎn)化了線(xiàn)性相位濾波器組的設(shè)計(jì)，后來(lái)提出的用矩陣分解的措施設(shè)計(jì)線(xiàn)性相位的兩通道濾波器組使得設(shè)計(jì)愈加簡(jiǎn)潔。而后研究的任意長(zhǎng)度任意通道的線(xiàn)性相位濾波器組的理論、構(gòu)造、及設(shè)計(jì)措施更具一般性。

（3）過(guò)采樣濾波器組

當(dāng)采樣因子不不小于通道數(shù)時(shí)，稱(chēng)為過(guò)采樣濾波器組。與臨界采樣濾波器組相比，它具有如下長(zhǎng)處：（1）增長(zhǎng)了設(shè)計(jì)的自由度，精確重建條件比較輕易滿(mǎn)足。（2）增長(zhǎng)了系統(tǒng)抗噪聲能力。（3）可以設(shè)計(jì)任意時(shí)延的濾波器組。（4）以便設(shè)計(jì)線(xiàn)性相位濾波器組。

現(xiàn)今，濾波器組的應(yīng)用已經(jīng)得到了人們的廣泛關(guān)注。

在濾波器組的某些應(yīng)用中在規(guī)定濾波器組可以實(shí)現(xiàn)精確重建的同步，每一種濾波器具有線(xiàn)性相位特性。但一般濾波器組有些無(wú)法實(shí)現(xiàn)線(xiàn)性相位的條件，有些雖具有線(xiàn)性相位卻不能精確重建，有些又對(duì)原型濾波器的階數(shù)有所限制，雖然可以實(shí)現(xiàn)精確重建和線(xiàn)性相位這兩個(gè)條件，但其低通原型濾波器卻不使線(xiàn)性相位的（即不是有限序列濾波器）。尚有一部分濾波器組能滿(mǎn)足以上條件卻不是余弦調(diào)制的。余弦調(diào)制濾波器組技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)精確重建和線(xiàn)性相位的完美結(jié)合，而其低通濾波器也是有限序列的。在精確重建和計(jì)算復(fù)雜度之間有著良好的折衷性能。同步，由于余弦調(diào)制濾波器組有很高的實(shí)現(xiàn)效率和很低的資源消耗，因此它得到了廣泛的應(yīng)用。

余弦調(diào)試濾波器組可以體現(xiàn)為如下的形式：

其中和分別為分析和綜合濾波器。而則為低通原型濾波器?？梢钥闯龇治?綜合濾波器都是通過(guò)對(duì)原型濾波器的余弦調(diào)制來(lái)實(shí)現(xiàn)的。這使余弦調(diào)制濾波器組具有鮮明的特點(diǎn)。首先，分析濾波器組和綜合濾波器組是通過(guò)恰當(dāng)?shù)恼{(diào)制手段優(yōu)化一種或兩個(gè)原型濾波器產(chǎn)生的，使整個(gè)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)更為高效；此外，整個(gè)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化可集中到設(shè)計(jì)和優(yōu)化一種原型濾波器上。

故設(shè)計(jì)和優(yōu)化低通原型濾波器是設(shè)計(jì)余弦調(diào)制濾波器組的關(guān)鍵。在過(guò)去的幾十年里，人們對(duì)于原型濾波器的研究發(fā)展了眾多的設(shè)計(jì)措施。其中的Parks-McClellan的Chebshev近似設(shè)計(jì)措施，由于其廣泛合用性和通用的設(shè)計(jì)程序，倍受人們的青睞。Parks-McClellan措施是基于最小最大誤差判據(jù)，它使得設(shè)計(jì)的濾波器響應(yīng)與期望濾波器響應(yīng)之間的最大誤差最小化，不過(guò)忽視了誤差能量。在許多應(yīng)用領(lǐng)域，阻帶能量最小化是至關(guān)重要的。如在多速率信號(hào)處理中，常用窄帶濾波器組將寬帶信號(hào)分解成一組窄帶信號(hào)，這就規(guī)定所設(shè)計(jì)的窄帶濾波器具有較小的阻帶能量，以減少阻帶頻率的泄漏信號(hào)對(duì)有用信號(hào)的干擾。同步，一般此類(lèi)算法包括了較費(fèi)時(shí)的矩陣求逆運(yùn)算或復(fù)雜的迭代計(jì)算，從而增長(zhǎng)了濾波器設(shè)計(jì)的復(fù)雜性，尤其是在設(shè)計(jì)高階濾波器時(shí)所需計(jì)算量往往很大。最小二乘設(shè)計(jì)法是減小阻帶能量的一種有效的設(shè)計(jì)途徑。但基于最小二乘設(shè)計(jì)法濾波器常常會(huì)出現(xiàn)Gibbs效應(yīng)，即在某些頻率點(diǎn)上阻帶增益很大。這對(duì)克制出目前這些頻率點(diǎn)上的干擾信號(hào)是極其不利的。

由此可見(jiàn)：雖然余弦調(diào)制濾波器組的理論研究已經(jīng)相對(duì)成熟，但在實(shí)際操作時(shí)很難找到完整的設(shè)計(jì)算法，其低通原型濾波器組的設(shè)計(jì)成為應(yīng)用的瓶頸。因此，展開(kāi)對(duì)余弦調(diào)制濾波器組的低通原型濾波器的多種優(yōu)化設(shè)計(jì)算法的研究，借此完善對(duì)余弦調(diào)制濾波器組的研究，具有非常重要的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

近年來(lái),濾波器組技術(shù)在語(yǔ)音編碼、圖像變換、通信信號(hào)處理、雷達(dá)等方面得到了廣泛應(yīng)用。雖然濾波器組技術(shù)在不一樣的應(yīng)用場(chǎng)所有著不一樣的構(gòu)造，但其基本原理都是通過(guò)度析濾波器將輸入信號(hào)從頻域分解為子帶信號(hào)。經(jīng)處理后通過(guò)綜合濾波器將子帶信號(hào)合成為原信號(hào)。

在諸多實(shí)際應(yīng)用中，人們但愿對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)，在不一樣的時(shí)頻段有不一樣的辨別率，因此規(guī)定濾波器組中的濾波器所占有的帶寬是非均勻的。許多學(xué)者研究了非均勻?yàn)V波器組的理論和設(shè)計(jì)措施。Koilpillai等研究了非均勻?yàn)V波器組的精確重建條件，Cox提出合并均勻?yàn)V波器組實(shí)現(xiàn)非均勻?yàn)V波器組的思想，但當(dāng)時(shí)由于沒(méi)有出現(xiàn)精確重建的帶均勻?yàn)V波器組的設(shè)計(jì)措施，他所設(shè)計(jì)的非均勻?yàn)V波器組是近似精確重建的。而后的一段時(shí)間里，人們研制出了共軛正交濾波器組，從而初次實(shí)現(xiàn)了精確重建。共軛正交濾波器組是基于均勻?yàn)V波器組的理論而實(shí)現(xiàn)的。但很顯然，共軛正交濾波器組有其致命的缺陷：雖然它實(shí)現(xiàn)了精確重建和線(xiàn)性相位，但其各自通道濾波器卻是非線(xiàn)性相位的（即其序列是的）。近年來(lái)，余弦調(diào)制濾波器組得到廣泛關(guān)注，它具有易于設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度低兩個(gè)重要特點(diǎn)。在設(shè)計(jì)方面，僅需設(shè)計(jì)其低通原型濾波器。實(shí)現(xiàn)上，可以通過(guò)一組兩通道無(wú)損格形濾波器和離散余弦/正弦變換迅速實(shí)現(xiàn)。經(jīng)典地，盡管帶精確重建余弦調(diào)制濾波器組的原型濾波器是線(xiàn)性相位的，但它的各子帶分析、綜合濾波器以及與濾波器組對(duì)應(yīng)的帶小波不具有線(xiàn)性相位特性。通過(guò)容許兩個(gè)子帶濾波器占有相似的頻帶，人們提出了帶精確重建均勻余弦調(diào)制濾波器組，其中低通原型濾波器和各子帶濾波器均是線(xiàn)性相位的，這一問(wèn)題迎刃而解。余弦調(diào)制濾波器組可以通過(guò)格形構(gòu)造（格形濾波器組的思緒就是將多相位矩陣分解成為一系列級(jí)聯(lián)的塊矩陣，并且在分解的同步，用條件來(lái)約束的形式，從而從構(gòu)造上保證了濾波器組的特性）進(jìn)行精確重建，并同步具有線(xiàn)性相位的原型濾波器，由此簡(jiǎn)化了線(xiàn)性相位濾波器組的設(shè)計(jì)。

余弦調(diào)制濾波器組的出目前這一領(lǐng)域內(nèi)可以說(shuō)是一種重大的突破，其技術(shù)將在可以預(yù)見(jiàn)的未來(lái)越發(fā)成熟，得到更大的發(fā)展和應(yīng)用。

就理論而言，原型濾波器的一般設(shè)計(jì)可由如下公式表達(dá)：

其中低通原型濾波器的傅立葉變換。

而具有精確重建條件的原型濾波器又可以表到達(dá)如下形式：

其中為阻帶截止頻率。

由此可見(jiàn)：余弦調(diào)制濾波器組的低通原型濾波器的設(shè)計(jì)就是基于以上的體現(xiàn)式而建立的。

20世紀(jì)90年代初，Koilpillai和Vaidyanathan就余弦調(diào)制濾波器組精確重建的充要條件提出了一種格形實(shí)現(xiàn)。的分析/綜合濾波器組都是由一種具有線(xiàn)性相位特性的原型濾波器經(jīng)余弦調(diào)制而得到的濾波器。其精確重建性可由格形構(gòu)造保證,雖然格形系數(shù)量化也可重建，因而具有很好的穩(wěn)健性。伴隨多速率濾波器組和調(diào)制濾波器組的精確重建理論的建立，精確重建的已成為一種最佳濾波器組。然而這種格形濾波器組的耦合系數(shù)是通過(guò)最小化原型濾波器的阻帶能量來(lái)求得的。但它的目的函數(shù)是優(yōu)化參數(shù)的高度非線(xiàn)性函數(shù)，由于這是一種嚴(yán)重非線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題，求解非常困難；此外，Koilpillai和Vaidyanathan采用Kaiser窗措施直接設(shè)計(jì)高阻帶衰減的原型濾波器，這是一種單參數(shù)的優(yōu)化措施，其最優(yōu)參數(shù)是通過(guò)在一定區(qū)間內(nèi)所有搜索(而不是迭代)得到的，因而計(jì)算效率較低，故運(yùn)用此措施難以設(shè)計(jì)出具有高阻帶衰減的精確重建(一般阻帶衰減在-40左右)。而Nguyen通過(guò)直接優(yōu)化原型濾波器的系數(shù)使阻帶衰減到達(dá)-100左右，該措施采用的是有約束的多參數(shù)非線(xiàn)性?xún)?yōu)化，因而計(jì)算非常復(fù)雜。Creusere和Mitra提出了一種單參數(shù)的優(yōu)化措施，直接設(shè)計(jì)具有很高阻帶衰減的原型濾波器。當(dāng)增長(zhǎng)時(shí)，該措施的運(yùn)算量明顯增長(zhǎng)。

而對(duì)于本課題來(lái)說(shuō)，意在研究余弦調(diào)制濾波器組的原型低通濾波器組的設(shè)計(jì)方案。這一課題在當(dāng)今學(xué)術(shù)界也正受到廣泛的關(guān)注。如上所述，一般有格形法，Parks-McClellan措施，Kaiser窗措施，正交鏡像法，最小平方迫近法，最佳一致迫近法，多相位分解法等等。尚有運(yùn)用黃金分割和牛頓迭代的措施處理非線(xiàn)性約束優(yōu)化極值問(wèn)題的。這些措施都是在余弦調(diào)制濾波器組的原型低通濾波器組的研究中比較先進(jìn)的措施，從某種程度上講，它們也代表了這一研究方向的發(fā)展趨勢(shì)。眾所周知，余弦調(diào)制濾波器組的分析濾波器和綜合濾波器都是由一種具有線(xiàn)性相位特性的原型濾波器經(jīng)余弦調(diào)制而得到的濾波器。伴隨多速率濾波器組和調(diào)制濾波器組的精確重建理論的建立，精確重建余弦調(diào)制濾波器組(PR-CMFB)逐漸成為了一種最佳濾波器組〔1～3〕。根據(jù)濾波器組的多相表達(dá)措施和精確重建理論，業(yè)已證明此類(lèi)濾波器組的原型濾波器的2M個(gè)多相元素可以歸類(lèi)為M個(gè)功率補(bǔ)對(duì)，且每個(gè)功率補(bǔ)對(duì)都可以用兩通道無(wú)損格形濾波器組來(lái)實(shí)現(xiàn)〔3～5〕。然而這種格形濾波器組的耦合系數(shù)是通過(guò)最小化原型濾波器的阻帶能量來(lái)求得的。由于這是一種嚴(yán)重非線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題，一般很難求解，故難以設(shè)計(jì)出具有高阻帶衰減的精確重建余弦調(diào)制濾波器組。近幾年針對(duì)該問(wèn)題，許多學(xué)者都進(jìn)行了廣泛深入的研究，獲得了眾多研究成果〔6～11〕。通過(guò)直接將原型濾波器系數(shù)作為優(yōu)化變量，本文將這一設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為帶二次型約束的最小二乘(QCLS)優(yōu)化問(wèn)題〔8，11〕，并且其約束矩陣都是對(duì)稱(chēng)正定的矩陣。從而，可采用一種變參量的罰函數(shù)措施來(lái)有效求解該優(yōu)化問(wèn)題。采用這種設(shè)計(jì)措施我們獲得了高阻帶衰減的精確重建余弦調(diào)制濾波器組。下面我們總結(jié)了既有余弦調(diào)制QMF組的設(shè)計(jì)措施和本文措施的優(yōu)缺陷：

既有PRCMFB設(shè)計(jì)措施的局限性：

(1)對(duì)初值十分敏感，需提供一種很好的初始近似解；

(2)所有措施都是迭代類(lèi)措施，故計(jì)算較為復(fù)雜；

(3)所得優(yōu)化解也許只是一種局部極小點(diǎn)；

(4)將嚴(yán)重非線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題通過(guò)線(xiàn)性化處理轉(zhuǎn)化為一種多變量線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題來(lái)求解；

(5)代價(jià)函數(shù)φ是有關(guān)格形濾波器系數(shù)的嚴(yán)重非線(xiàn)性函數(shù)，因此很難獲得具有高阻帶衰減的余弦調(diào)制濾波器組。

本文所提出措施的長(zhǎng)處：

(1)不必罰因子參數(shù)趨于無(wú)窮大即可獲得問(wèn)題的全局最佳解；

(2)由于該措施的代價(jià)函數(shù)是所設(shè)計(jì)的原型濾波器系數(shù)的凸函數(shù)，具有Lyapunov全局穩(wěn)定和收斂特性，故無(wú)需提供初始近似解；

(3)解的精度可以通過(guò)合適控制罰因子參數(shù)的變化范圍。換句話(huà)說(shuō)，PR條件和阻帶衰減之間的折衷可以通過(guò)罰因子參數(shù)來(lái)控制；

(4)直接將原型濾波器的沖激響應(yīng)系數(shù)作為優(yōu)化變量；

(5)通過(guò)合適重組原型濾波器的系數(shù)，該措施可很輕易推廣到多維多通道QMF濾波器組狀況各濾波器組的濾波器所占的帶寬是均勻的，為二，MCM是

子帶數(shù))。在諸多應(yīng)用方面，人們但愿對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)，在不一樣的時(shí)頻段有不一樣的

辨別率，因此規(guī)定濾波器組中的濾波器所占的帶寬是非均勻的。本章我們要研究完全

重構(gòu)非均勻?yàn)V波器組的設(shè)計(jì)問(wèn)題。許多學(xué)者研究了非均勻?yàn)V波器組的理論和設(shè)計(jì)措施。

最初設(shè)計(jì)的非均勻?yàn)V波器組都是近似完全重構(gòu)的[}52}}58}oVaidynathan}s'}首先研究了非均

勻?yàn)V波器組的完全重構(gòu)條件，提出了非均勻正交鏡像濾波器組(QMF)的構(gòu)造。由于

均勻?yàn)V波器組的設(shè)計(jì)措施相對(duì)較為成熟，Cox}'Z}提出合并均勻?yàn)V波器組實(shí)現(xiàn)非均勻?yàn)V波

器組的思想，但當(dāng)時(shí)由于沒(méi)有出現(xiàn)完全重構(gòu)的M帶均勻?yàn)V波器組的設(shè)計(jì)措施，他所設(shè)

計(jì)的非均勻?yàn)V波器組是近似完全重構(gòu)的。近年來(lái)出現(xiàn)了M帶完全重構(gòu)均勻余弦調(diào)制濾

波器組((CMFB)}29}oChan}6'}運(yùn)用Cox的思想以及完全重構(gòu)的cMFB設(shè)計(jì)措施，得到

了完全重構(gòu)的非均勻?yàn)V波器組。

在合并的設(shè)計(jì)思想中，需要分別設(shè)計(jì)兩個(gè)均勻?yàn)V波器組，通道數(shù)為M和m(m<M),

其中m通道的被稱(chēng)為合并濾波器組。假如合并濾波器組設(shè)計(jì)不妥，就會(huì)導(dǎo)致在分析(合

成)濾波器組的阻帶內(nèi)的頻率特性有很大的起伏峰[63]。Chars的措施需要根據(jù)M通道的

均勻?yàn)V波器組的參數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)合并濾波器組，設(shè)計(jì)的復(fù)雜度大，并且只討論了M和m互

為質(zhì)數(shù)的狀況。我們將補(bǔ)充討論當(dāng)M和，非互為質(zhì)數(shù)的狀況，并將兩種狀況的設(shè)計(jì)方

法總結(jié)為具有雙目的函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，提出了一種新的混合優(yōu)化算法來(lái)完畢雙目的函

數(shù)優(yōu)化，可以得到具有良好品質(zhì)的非均勻?yàn)V波器組，消除了分析(合成)濾波器組的阻帶

頻段內(nèi)的起伏峰。近年來(lái)，濾波器組技術(shù)在語(yǔ)音編碼、圖像變換、通信信號(hào)處理、雷達(dá)等方面得到了廣泛應(yīng)用。雖然濾波器組技術(shù)在不一樣的應(yīng)用場(chǎng)所有著不一樣的構(gòu)造，但其基本原理都是通過(guò)度析濾波器將輸入信號(hào)從頻域分解為子帶信號(hào)。經(jīng)處理后通過(guò)綜合濾波器將子帶信號(hào)合成為原信號(hào)。濾波器組的研究已經(jīng)受到了人們的廣泛重視。

子帶信號(hào)處理從提出概念到今天大概30年的歷史，期間經(jīng)歷了如下幾種階段：

（1）提出概念階段

濾波器組的研究最早來(lái)源于20實(shí)際70年代，重要應(yīng)用于多速采樣，減少計(jì)算復(fù)雜度以及減少傳播數(shù)據(jù)率和存儲(chǔ)單元的規(guī)定。開(kāi)始受到人們的關(guān)注時(shí)期是在1980年，提出了兩通道正交鏡像濾波器組（QuadratureMirrorFilter,簡(jiǎn)稱(chēng)）。由于子帶濾波器中存在分析/綜合濾波器，上下采樣器，因此子帶重建信號(hào)一般存在三種失真：幅度失真，相位失真和混疊失真。一般存在混疊失真的濾波器組是線(xiàn)性周期時(shí)變系統(tǒng)，而完全消除混疊失真的系統(tǒng)是線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)。假如濾波器組的輸出是純延時(shí)的，則稱(chēng)為精確重建系統(tǒng)。

（2）基本理論發(fā)展的初步階段

在1986年，Smith和Barnwell提出的共軛正交濾波器組初次實(shí)現(xiàn)了精確重建。在1986年由Vetterli和在1987年由Vaidyanathan分別獨(dú)立研究了濾波器組的精確重建條件，并將兩通道子帶延伸到子帶。他們引入了多相位分量分析濾波器組的措施使得濾波器組的設(shè)計(jì)和分析大大簡(jiǎn)化，從而推進(jìn)了這一學(xué)科的發(fā)展。尤其是Vaidyanathan，他和他的研究組提出了無(wú)損系統(tǒng)的晶格構(gòu)造，用于設(shè)計(jì)精確重建的正交濾波器組，可以實(shí)現(xiàn)功率互補(bǔ)的濾波器組，簡(jiǎn)化了濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)。這些極大地推進(jìn)了濾波器組的理論和應(yīng)用的發(fā)展。

（3）豐富完善理論階段

20世紀(jì)80年代末到90年代中期，小波分析研究成為熱點(diǎn)。小波的多辨別分析理論研究表明，滿(mǎn)足一定正則條件的濾波器組可以迭代計(jì)算出小波，Mallat提出了雙尺度方程以及塔式分解算法，這些成果將濾波器組和小波緊密聯(lián)絡(luò)在一起，使得濾波器組與小波理論及設(shè)計(jì)有了非常緊密的聯(lián)絡(luò)。眾學(xué)者開(kāi)始重視運(yùn)用濾波器組設(shè)計(jì)小波，以及濾波器組自身理論的研究。在此期間，眾人公認(rèn)的最有代表性的人物是VaidyanathanP.P.，他系統(tǒng)地提出了通道正交濾波器組的理論，他將當(dāng)時(shí)的研究成果匯集成冊(cè)，成為當(dāng)時(shí)將從事此領(lǐng)域研究者的必讀之書(shū)。

按照濾波器組所具有的特點(diǎn)，濾波器組提成如下幾類(lèi)：

（1）帶均勻?yàn)V波器組

自從引入多相位分量分析濾波器組后，許多學(xué)者開(kāi)始了在這方面的研究。余弦調(diào)制帶濾波器組的出現(xiàn)是一次重要飛躍。得出了精確重建條件并用格形構(gòu)造進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)。大大簡(jiǎn)化了帶濾波器組的設(shè)計(jì)并且出現(xiàn)了類(lèi)似的迅速算法，即迅速離散余弦變換。本文也將重要簡(jiǎn)介余弦調(diào)制濾波器組的研究和設(shè)計(jì)。用調(diào)制的措施實(shí)現(xiàn)帶濾波器組的措施得到廣泛的應(yīng)用。其中突出的設(shè)計(jì)措施有：非余弦任意正交調(diào)制的帶濾波器組，擴(kuò)展高斯函數(shù)的余弦調(diào)制濾波器組，用調(diào)制的帶濾波器組等。

（2）線(xiàn)性相位濾波器組

在某些應(yīng)用中但愿濾波器組是線(xiàn)性相位的，因此線(xiàn)性相位的濾波器構(gòu)成為了人們研究的熱點(diǎn)之一。線(xiàn)性相位一般是通過(guò)濾波器實(shí)現(xiàn)的，因此由濾波器做原型濾波器的濾波器得到了廣泛的研究。自從1993年，通道線(xiàn)性相位正交濾波器組理論誕生后來(lái)，余弦調(diào)制濾波器組被延伸到線(xiàn)性相位濾波器組領(lǐng)域，從而大大簡(jiǎn)化了線(xiàn)性相位濾波器組的設(shè)計(jì)，后來(lái)提出的用矩陣分解的措施設(shè)計(jì)線(xiàn)性相位的兩通道濾波器組使得設(shè)計(jì)愈加簡(jiǎn)潔。而后研究的任意長(zhǎng)度任意通道的線(xiàn)性相位濾波器組的理論、構(gòu)造、及設(shè)計(jì)措施更具一般性。

（3）過(guò)采樣濾波器組

當(dāng)采樣因子不不小于通道數(shù)時(shí)，稱(chēng)為過(guò)采樣濾波器組。與臨界采樣濾波器組相比，它具有如下長(zhǎng)處：（1）增長(zhǎng)了設(shè)計(jì)的自由度，精確重建條件比較輕易滿(mǎn)足。（2）增長(zhǎng)了系統(tǒng)抗噪聲能力。（3）可以設(shè)計(jì)任意時(shí)延的濾波器組。（4）以便設(shè)計(jì)線(xiàn)性相位濾波器組。

現(xiàn)今，濾波器組的應(yīng)用已經(jīng)得到了人們的廣泛關(guān)注。

在濾波器組的某些應(yīng)用中在規(guī)定濾波器組可以實(shí)現(xiàn)精確重建的同步，每一種濾波器具有線(xiàn)性相位特性。但一般濾波器組有些無(wú)法實(shí)現(xiàn)線(xiàn)性相位的條件，有些雖具有線(xiàn)性相位卻不能精確重建，有些又對(duì)原型濾波器的階數(shù)有所限制，雖然可以實(shí)現(xiàn)精確重建和線(xiàn)性相位這兩個(gè)條件，但其低通原型濾波器卻不使線(xiàn)性相位的（即不是有限序列濾波器）。尚有一部分濾波器組能滿(mǎn)足以上條件卻不是余弦調(diào)制的。余弦調(diào)制濾波器組技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)精確重建和線(xiàn)性相位的完美結(jié)合，而其低通濾波器也是有限序列的。在精確重建和計(jì)算復(fù)雜度之間有著良好的折衷性能。同步，由于余弦調(diào)制濾波器組有很高的實(shí)現(xiàn)效率和很低的資源消耗，因此它得到了廣泛的應(yīng)用。

余弦調(diào)試濾波器組可以體現(xiàn)為如下的形式：

其中和分別為分析和綜合濾波器。而則為低通原型濾波器?？梢钥闯龇治?綜合濾波器都是通過(guò)對(duì)原型濾波器的余弦調(diào)制來(lái)實(shí)現(xiàn)的。這使余弦調(diào)制濾波器組具有鮮明的特點(diǎn)。首先，分析濾波器組和綜合濾波器組是通過(guò)恰當(dāng)?shù)恼{(diào)制手段優(yōu)化一種或兩個(gè)原型濾波器產(chǎn)生的，使整個(gè)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)更為高效；此外，整個(gè)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化可集中到設(shè)計(jì)和優(yōu)化一種原型濾波器上。

故設(shè)計(jì)和優(yōu)化低通原型濾波器是設(shè)計(jì)余弦調(diào)制濾波器組的關(guān)鍵。在過(guò)去的幾十年里，人們對(duì)于原型濾波器的研究發(fā)展了眾多的設(shè)計(jì)措施。其中的Parks-McClellan的Chebshev近似設(shè)計(jì)措施，由于其廣泛合用性和通用的設(shè)計(jì)程序，倍受人們的青睞。Parks-McClellan措施是基于最小最大誤差判據(jù)，它使得設(shè)計(jì)的濾波器響應(yīng)與期望濾波器響應(yīng)之間的最大誤差最小化，不過(guò)忽視了誤差能量。在許多應(yīng)用領(lǐng)域，阻帶能量最小化是至關(guān)重要的。如在多速率信號(hào)處理中，常用窄帶濾波器組將寬帶信號(hào)分解成一組窄帶信號(hào)，這就規(guī)定所設(shè)計(jì)的窄帶濾波器具有較小的阻帶能量，以減少阻帶頻率的泄漏信號(hào)對(duì)有用信號(hào)的干擾。同步，一般此類(lèi)算法包括了較費(fèi)時(shí)的矩陣求逆運(yùn)算或復(fù)雜的迭代計(jì)算，從而增長(zhǎng)了濾波器設(shè)計(jì)的復(fù)雜性，尤其是在設(shè)計(jì)高階濾波器時(shí)所需計(jì)算量往往很大。最小二乘設(shè)計(jì)法是減小阻帶能量的一種有效的設(shè)計(jì)途徑。但基于最小二乘設(shè)計(jì)法濾波器常常會(huì)出現(xiàn)Gibbs效應(yīng)，即在某些頻率點(diǎn)上阻帶增益很大。這對(duì)克制出目前這些頻率點(diǎn)上的干擾信號(hào)是極其不利的。

由此可見(jiàn)：雖然余弦調(diào)制濾波器組的理論研究已經(jīng)相對(duì)成熟，但在實(shí)際操作時(shí)很難找到完整的設(shè)計(jì)算法，其低通原型濾波器組的設(shè)計(jì)成為應(yīng)用的瓶頸。因此，展開(kāi)對(duì)余弦調(diào)制濾波器組的低通原型濾波器的多種優(yōu)化設(shè)計(jì)算法的研究，借此完善對(duì)余弦調(diào)制濾波器組的研究，具有非常重要的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

近年來(lái),濾波器組技術(shù)在語(yǔ)音編碼、圖像變換、通信信號(hào)處理、雷達(dá)等方面得到了廣泛應(yīng)用。雖然濾波器組技術(shù)在不一樣的應(yīng)用場(chǎng)所有著不一樣的構(gòu)造，但其基本原理都是通過(guò)度析濾波器將輸入信號(hào)從頻域分解為子帶信號(hào)。經(jīng)處理后通過(guò)綜合濾波器將子帶信號(hào)合成為原信號(hào)。

在諸多實(shí)際應(yīng)用中，人們但愿對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)，在不一樣的時(shí)頻段有不一樣的辨別率，因此規(guī)定濾波器組中的濾波器所占有的帶寬是非均勻的。許多學(xué)者研究了非均勻?yàn)V波器組的理論和設(shè)計(jì)措施。Koilpillai等研究了非均勻?yàn)V波器組的精確重建條件，Cox提出合并均勻?yàn)V波器組實(shí)現(xiàn)非均勻?yàn)V波器組的思想，但當(dāng)時(shí)由于沒(méi)有出現(xiàn)精確重建的帶均勻?yàn)V波器組的設(shè)計(jì)措施，他所設(shè)計(jì)的非均勻?yàn)V波器組是近似精確重建的。而后的一段時(shí)間里，人們研制出了共軛正交濾波器組，從而初次實(shí)現(xiàn)了精確重建。共軛正交濾波器組是基于均勻?yàn)V波器組的理論而實(shí)現(xiàn)的。但很顯然，共軛正交濾波器組有其致命的缺陷：雖然它實(shí)現(xiàn)了精確重建和線(xiàn)性相位，但其各自通道濾波器卻是非線(xiàn)性相位的（即其序列是的）。近年來(lái)，余弦調(diào)制濾波器組得到廣泛關(guān)注，它具有易于設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度低兩個(gè)重要特點(diǎn)。在設(shè)計(jì)方面，僅需設(shè)計(jì)其低通原型濾波器。實(shí)現(xiàn)上，可以通過(guò)一組兩通道無(wú)損格形濾波器和離散余弦/正弦變換迅速實(shí)現(xiàn)。經(jīng)典地，盡管帶精確重建余弦調(diào)制濾波器組的原型濾波器是線(xiàn)性相位的，但它的各子帶分析、綜合濾波器以及與濾波器組對(duì)應(yīng)的帶小波不具有線(xiàn)性相位特性。通過(guò)容許兩個(gè)子帶濾波器占有相似的頻帶，人們提出了帶精確重建均勻余弦調(diào)制濾波器組，其中低通原型濾波器和各子帶濾波器均是線(xiàn)性相位的，這一問(wèn)題迎刃而解。余弦調(diào)制濾波器組可以通過(guò)格形構(gòu)造（格形濾波