矩陣的等價(jià)-合同-相似的聯(lián)系與區(qū)別

PAGE目錄摘要 I引言 11矩陣間的三種關(guān)系 11.1矩陣的等價(jià)關(guān)系 11.2矩陣的合同關(guān)系 11.3.矩陣的相似關(guān)系 22矩陣的等價(jià)、合同和相似之間的聯(lián)系 33矩陣的等價(jià)、合同和相似之間的區(qū)別 5結(jié)束語 6參考文獻(xiàn) 6內(nèi)江師范學(xué)院本科學(xué)年論文PAGEI摘要:等價(jià)、合同和相似是矩陣中的三種等價(jià)關(guān)系，在矩陣這一知識(shí)塊中占有舉足輕重的地位.矩陣可逆性、矩陣的對(duì)角化問題、求矩陣特征根與特征向量、化二次型的標(biāo)準(zhǔn)形等諸多問題的解決都要依賴于這三種等價(jià)關(guān)系.根據(jù)等價(jià)、合同和相似的聯(lián)系的研究的結(jié)論是其一可利用等價(jià)矩陣的性質(zhì)來確定相似矩陣或合同矩陣的性質(zhì)．其二可利用正交相似與正交合同的一致性，得到二者間彼此的轉(zhuǎn)化．關(guān)鍵詞:矩陣的等價(jià);矩陣的相似;矩陣的合同;等價(jià)條件PAGE1因?yàn)槿绻?，則有：(9）相似的矩陣或者都可逆，或者都不可逆；并且當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆矩陣相似；設(shè)，若可逆，則從而可逆.且與相似.若不可逆，則不可逆，即也不可逆.下面這個(gè)性質(zhì)是一個(gè)重要的結(jié)論，因此我們把它寫成以下定理定理4相似矩陣的特征值相同.推論3相似矩陣有相同的跡.2矩陣的等價(jià)、合同和相似之間的聯(lián)系（1）由以上三種矩陣間的關(guān)系的定義，可以知道每一種矩陣關(guān)系存在所必須具備的條件，但是這三種關(guān)系彼此間存在著密切的聯(lián)系定理5相似矩陣必為等價(jià)矩陣，等價(jià)矩陣未必為相似矩陣．證明：設(shè)階方陣相似，由定義3知存在階可逆矩陣，使得，此時(shí)若記,,則有,因此由定義1得到階方陣等價(jià)反過來，對(duì)于矩陣,等價(jià)，但是與并不相似，即等價(jià)矩陣未必相似．定理6對(duì)于階方陣，若存在階可逆矩陣使,(即與等價(jià))，且(為階單位矩陣)，則與相似．證明：設(shè)對(duì)于階方陣與,若存在階可逆矩陣,使,即與等價(jià)．又知,若記,那么,也即,則矩陣也相似．定理7合同矩陣必為等價(jià)矩陣，等價(jià)矩陣未必為合同矩陣．證明：設(shè)階方陣合同，由定義2有，存在階可逆矩陣，使得，若記,,則有因此由定義1得到階方陣等價(jià)反過來對(duì)于矩陣,等價(jià)，但是與并不合同，即等價(jià)矩陣未必合同．定理8正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣．證明：若存在一個(gè)正交矩陣,即使得即，則有，即與合同.同理，若存在一個(gè)正交矩陣，即使得即與合同，則有由此可得1.相似陣、合同陣必為等價(jià)陣，但過來必成立2.相似陣為正交相似，合同陣為正交合同時(shí)，相似與合同一致.（2）但相似矩陣與合同矩陣有著一定的內(nèi)在聯(lián)系，如果兩者都具有反身性、對(duì)稱性和傳遞性，即兩者都是等價(jià)關(guān)系．另外，在一定條件下，兩者是等價(jià)的．若矩陣與正交相似，則它們既是相似也是合同的．對(duì)于相似與合同矩陣之等價(jià)條件有以下定理，定理9如果與都是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且有相同的特征根．則與既相似又合同．證明：設(shè)與的特征根均為因?yàn)榕c階實(shí)對(duì)稱矩陣，則一定存在一個(gè)階正交矩陣Q使得同理，一定能找到一個(gè)正交矩陣使得從而有將上式兩邊左乘和右乘,得由于,,有,所以，是正交矩陣，由定理8知與相似．定理10若階矩陣與中只要有一個(gè)正交矩陣，則與相似且合同．證明：不妨設(shè)是正交矩陣，則可逆，取,有，則與相似，又知是正交陣，所以與既相似又合同．定理11若與相似且又合同，與相似也合同，則有與既相似又合同．證明:因?yàn)榕c,與相似，故存在可逆矩陣,，使,令,則且,故與相似．又因?yàn)榕c合同，與合同,故存在可逆矩陣, 令而故與合同．3矩陣的等價(jià)、合同和相似之間的區(qū)別1、矩陣等價(jià)：a.同型矩陣而言b.一般與初等變換有關(guān)c.秩是矩陣等價(jià)的不變量，其次，兩同型矩陣相似的本質(zhì)是秩相等2、矩陣相似：a.針對(duì)方陣而言b.秩相等是必要條件c.本質(zhì)是二者有相等的不變因子3、矩陣合同：a.針對(duì)方陣而言，一般是對(duì)稱矩陣b.秩相等是必需條件c.本質(zhì)是秩相等且正慣性指數(shù)相等，即標(biāo)準(zhǔn)型相同由以上知，秩是矩陣等價(jià)的不變量；不變因子是矩陣相似的不變量；特征值是可對(duì)角化矩陣相似的不變量，正負(fù)慣性指數(shù)是對(duì)稱矩陣合同的不變量，等價(jià)關(guān)系最弱、合同與相似是特殊的等價(jià)關(guān)系.由相似和合同一定可以推出等價(jià)，而反之不成立.相似與合同不可互推，需要一定的條件.而且等價(jià)是經(jīng)過有限次初等變換變得；相似不一定會(huì)都與對(duì)角陣相似，相似矩陣可看作是同一線性變換在不同基下的矩陣；合同可以通過二次型的非退化的線性替換來理解.結(jié)束語：矩陣中的這三種關(guān)系，在高等代數(shù)中是至關(guān)重要的，他們既包含著聯(lián)系，又蘊(yùn)涵著差別.相似矩陣、合同矩陣必為等價(jià)矩陣，等價(jià)矩陣不一定是相似矩陣也不一定是合同矩陣；相似為正交相似，合同為正交合同時(shí)，相似與合同一致；秩是矩陣等價(jià)的不變量；不變因子是矩陣相似的不變量，特征值是可對(duì)角化矩陣相似的不變量，正負(fù)慣性指數(shù)是對(duì)稱矩陣合同的不變量.參考文獻(xiàn)：[1]張禾瑞.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社,1983.[2]姚慕生.高等代數(shù)學(xué)[M].復(fù)旦：復(fù)旦大學(xué)出版社,1999.[3]北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，19