第二課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用

第二課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用其中，①的幾何意義是點(diǎn)(n，an)均在關(guān)于x的函數(shù)y＝dx＋(a1－d)的圖象上；②可以用來(lái)利用任一項(xiàng)及公差直接得到通項(xiàng)公式，不必求a1；③可用來(lái)由等差數(shù)列任兩項(xiàng)求公差．[典例1]已知{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.[方法技巧]靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以減少運(yùn)算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即變?yōu)閍n＝a1＋(n－1)d，可以減少記憶負(fù)擔(dān)．[對(duì)點(diǎn)練清]已知{bn}為等差數(shù)列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝________.題型二等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

[學(xué)透用活](1)若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))(2)下標(biāo)性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則有am＋an＝2ap.項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)可推廣到三項(xiàng)的情形，即“m＋n＋t＝p＋q＋s，且m，n，t，p，q，s∈N*?am＋an＋at＝ap＋aq＋as”，還可以推至四項(xiàng)乃至更多項(xiàng)的情形，只要兩邊項(xiàng)數(shù)一樣，且下標(biāo)的和相等即可．(3)在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來(lái)的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列．[典例2]

(1)設(shè){an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37＝

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)A．0 B．37C．100 D．－37(2)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，則a3＋a15＝________.[解析]

(1)設(shè)cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差數(shù)列，則{cn}也是等差數(shù)列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100，即a37＋b37＝100.(2)∵在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，∴a1＋a17＝a5＋a13.由條件等式，得a9＝117.∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.[答案]

(1)C

(2)234[方法技巧]本例(1)應(yīng)用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{an＋bn}也是等差數(shù)列．本例(2)求解主要用到了等差數(shù)列的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq.對(duì)于此性質(zhì)，應(yīng)注意：必須是兩項(xiàng)相加等于兩項(xiàng)相加，否則不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.靈活運(yùn)用等差數(shù)列的某些性質(zhì)，可以提高我們分析、解決數(shù)列綜合問(wèn)題的能力，應(yīng)注意加強(qiáng)這方面的鍛煉．[對(duì)點(diǎn)練清]1．已知{an}為等差數(shù)列，a4＋a7＋a10＝30，則a3－2a5的值為

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)A．10 B．－10C．15 D．－15解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，則a7＝10.故a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10.答案：B

2．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________.解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.答案：180題型三靈活設(shè)元求解等差數(shù)列

[學(xué)透用活][典例3]

(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù)．(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為－8，求這四個(gè)數(shù)．[方法技巧]常見(jiàn)設(shè)元技巧(1)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，可設(shè)中間一項(xiàng)為a，再用公差為d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)為a－d，a＋d，再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，這樣可減少計(jì)算量．

[對(duì)點(diǎn)練清]已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)之和為21，前三項(xiàng)之積為231，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．題型四等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

[學(xué)透用活][典例4]公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值為220萬(wàn)元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過(guò)程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少．經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過(guò)一年其價(jià)值會(huì)減少d(d為正常數(shù))萬(wàn)元．已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過(guò)10年，它的價(jià)值將低于購(gòu)進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢．請(qǐng)確定d的范圍．[方法技巧]解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息．若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少，則這組數(shù)成等差數(shù)列．合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．在解題過(guò)程中，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵的問(wèn)題．[對(duì)點(diǎn)練清]經(jīng)濟(jì)的發(fā)展帶動(dòng)了市民對(duì)住房的需求．假設(shè)某市2021年新建住房400萬(wàn)平方米，預(yù)計(jì)在以后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米．那么該市新建住房的面積開始大于820萬(wàn)平方米的年份是

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)A．2028 B．2029C．2030D．2031[課堂思維激活]一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通1．已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}，且{an}為2,5,8，…，{bn}為1,5,9，…，它們的項(xiàng)數(shù)均為40項(xiàng)，則它們有多少個(gè)彼此具有相同數(shù)值的項(xiàng)？二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2.如圖所示，三個(gè)正方形的邊AB，BC，CD的長(zhǎng)組成等差數(shù)列，且AD＝21cm，這三個(gè)正方形的面積之和是179cm2. (1)求AB，BC，CD的長(zhǎng)； (2)以AB，BC，CD的長(zhǎng)為等差數(shù)列的前三項(xiàng)，以第10項(xiàng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積是多少？三、創(chuàng)新性——強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維3．對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan對(duì)任意正整數(shù)n(n＞k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”．求證：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”．證明：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則an＝a1＋(n－1)d，從而當(dāng)n≥4時(shí)，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n