2024屆一輪復習人教A版 第六章立體幾何第二講空間幾何體的表面積與體積 課件（49張）

第二講空間幾何體的表面積與體積課標要求考情分析知道球、柱、錐、臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題1.從近幾年的高考試題來看，本部分內(nèi)容是高考的必考內(nèi)容，考查形式可以是直接求幾何體的表面積和體積，也可以是根據(jù)幾何體的體積、表面積求某些元素的量.2.同時要特別注意內(nèi)切球與外接球相關的計算問題，全國卷多年都有考查.3.題型一般為選擇題、填空題幾何體側(cè)面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrl柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積幾何體側(cè)面積體積圓臺S側(cè)＝π(r1＋r2)l直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh(續(xù)表)幾何體側(cè)面積體積正棱錐正棱臺球S球面＝4πR2(續(xù)表)【名師點睛】(1)與體積有關的幾個結(jié)論①一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.②底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.(2)幾個與球有關的切、接常用結(jié)論①正方體的棱長為a，球的半徑為R：a.若球為正方體的外接球，則2R＝

考點一幾何體的表面積

[例1](2022年濟南市調(diào)研)如圖6-2-1，四面體的各個面都是邊長為1的正三角形，其三個頂點在一個圓柱的下底面圓周上，另一個頂點是上底面的圓心，則圓柱的表面積是()圖6-2-1

解析：如圖6-2-2所示，過點P作PE⊥平面ABC，E為垂足，點E為等邊三角形ABC的中心，連接AE并延長，交BC于點D.圖6-2-2答案：C【題后反思】(1)多面體的表面積是各個面的面積之和.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和.(3)組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理.【變式訓練】1.側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時，該三棱錐的表面積是()答案：A2.(2022年南京市質(zhì)檢)如圖6-2-3所示，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為________.

圖6-2-3

解析：由題意可得，四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體為圓臺上面挖去一個圓錐的組合體.如圖D26，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E，過點C作AB的垂線，垂足為點F.圖D26則∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，EC＝CD·sin45°＝2，ED＝CD·cos45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，故圓臺的上底面半徑r＝2，下底面半徑R＝5，高h＝4，母線長l2＝5.圓錐底面半徑r＝2，高h＝2，母線長l1＝2

考點二幾何體的體積考向1多面體的體積通性通法：求幾何體體積的常用方法[例2](1)(2021年全國Ⅱ)已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為()

圖6-2-4答案：D

(2)(2022年天津卷改編)如圖

6-2-5，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面)是頂角為120°、腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為(

圖6-2-5A.23B.24C.26D.27

解析：如圖6-2-6，該幾何體由直三棱柱AFD-BHC及直三棱柱DGC-AEB組成，作HM⊥CB于點M.因為CH＝BH＝3，∠CHB圖6-2-6

在直棱柱AFD-BHC中，AB⊥平面BHC，則AB⊥HM，由AB∩BC＝B可得HM⊥平面ADCB.設重疊后的EG與FH交點為I，答案：D考向2旋轉(zhuǎn)體的體積

通性通法：求圓柱、圓錐、圓臺的體積的關鍵是求其底面面積和高，其中高一般利用幾何體的軸截面求得，一般是由母線、高、半徑組成的直角三角形中列出方程并求解.[例3]過圓錐的高的中點且與底面平行的截面把圓錐分成兩部)分的體積之比是( A.1∶1 C.1∶7

B.1∶6D.1∶8解析：如圖6-2-7，設圓錐底面半徑OB＝R，高PO＝h，圖6-2-7答案：C【考法全練】1.(考向2)圓臺上、下底面面積分別是π，4π，側(cè)面積是6π，這個圓臺的體積是()

解析：設圓臺上底面半徑為r，下底面半徑為R，母線長為l，上底面面積為S1，下底面面積為S2，圓臺高為h，則S1＝π，S2＝4π，

∴r＝1，R＝2，S側(cè)＝6π＝π(r＋R)l，答案：D2.(考向1)如圖6-2-8，已知三棱臺ABC-A1B1C1中，S△ABC＝25，圖6-2-8答案：(1)50(2)30考點三組合體的表面積與體積

[例4]如圖6-2-9，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點C作l⊥CB，以l為軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.圖6-2-9

解：如圖6-2-9，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，【題后反思】

求組合體的表面積和體積，首先要認清組合體是由哪些簡單幾何體構成的.組合體的表面積是可見的圍成組合體的所有面的面積之和，但不一定是組成組合體的幾個簡單幾何體的表面積之和；組合體的體積是構成組合體的幾個簡單幾何體的體積之和(差).【變式訓練】

(2023年城廂區(qū)校級期中)“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術·商功》有如下敘述：“邪解立方，得兩塹堵.邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”.意思是說：將一個長方體沿對角面斜截(圖6-2-10)，得到一模一樣的兩個塹堵(圖6-2-11)，再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜截(圖6-2-11)，得一個四棱錐稱為陽馬(圖6-2-12)，一個三棱錐稱為鱉臑(圖6-2-13).圖6-2-10圖6-2-11圖6-2-12圖6-2-13若長方體的體積為V，由該長方體斜截所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為V1，V2，V3，則下列選項不正確的是()A.V1＋V2＋V3＝VB.V1＝2V2C.V2＝2V3D.V3＝V

6答案：B⊙巧解簡單幾何體的外接球與內(nèi)切球問題

簡單幾何體外接球與內(nèi)切球問題是立體幾何中的難點，也是歷年高考重要的考點，幾乎每年都要考查，重在考查考生的直觀想象能力和邏輯推理能力.此類問題實質(zhì)是解決球的半徑長或確定球心O的位置問題，其中球心的確定是關鍵.

[例5](2022年全國乙卷理科)已知球

O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為()解析：對于圓內(nèi)接四邊形，如圖6-2-14所示，圖6-2-14

當且僅當AC，BD為圓的直徑，且AC⊥BD時，等號成立，此時四邊形ABCD為正方形， ∴當該四棱錐的體積最大時，底面一定為正方形，設底面邊

【題后反思】常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略

(1)處理有關幾何體外接球或內(nèi)切球的相關問題時，要注意球心的位置與幾何體的關系，一般情況下，由于球的對稱性，球心總在幾何體的特殊位置，比如中心、對角線的中點等.

(2)解決此類問題的實質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關鍵是根據(jù)“切點”和“接點”，作出軸截面圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來計算.【高分訓練】1.圓柱內(nèi)接于球，圓柱的底面半徑為3，高為8，則球的表面積為________.解析：如圖D27，由條件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面積為100π.圖D27答案：100π

2.(2022年鄭州市期末)我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時代表身份的信物，后因其獨特的文化內(nèi)涵也被作為裝飾物來使用.圖6-2-15是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作