7.4 線性變換的定義及運(yùn)算

第7章

線性空間與線性變換主要內(nèi)容：線性空間的定義與性質(zhì)線性空間的基、維數(shù)、過(guò)渡矩陣、坐標(biāo)變換公式子空間的定義、判定，子空間的運(yùn)算線性變換的定義及運(yùn)算線性變換的矩陣線性變換的特征值與特征向量本節(jié)主要內(nèi)容：一、線性變換的定義及性質(zhì)二、線性變換的運(yùn)算§7.4線性變換的定義及運(yùn)算

定義1設(shè)有兩個(gè)非空集合如果對(duì)于中任一元素按照一定的對(duì)應(yīng)法則在中有唯一一個(gè)確定的元素和它對(duì)應(yīng).那么,稱為從集合到集合的映射,若,則稱是的一個(gè)變換．

這個(gè)對(duì)應(yīng)法則，，，并記定義2設(shè)是數(shù)域上的兩個(gè)線性空間,是到的一個(gè)映射.如果及滿足條件（1）（2）；，則稱是到，的一個(gè)線性映射.特別地當(dāng)時(shí),則稱是線性變換.由定義2可直接推出線性變換的簡(jiǎn)單性質(zhì)：（1），；（2）線性變換保持向量的線性關(guān)系,即（3）線性變換將線性相關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組,即若線性空間中的向量組線性相關(guān),則也線性相關(guān).定理1設(shè)是維線性空間的一個(gè)有序基,對(duì)中的任意個(gè)向量一定存在唯一線性變換使，，.例設(shè)是數(shù)域上的線性空間,對(duì)任意向量,定義如下三個(gè)變換：;,其中是中的零向量;,其中是中固定的數(shù).易證都是上的線性變換.分別稱為上的恒等變換、零變換及數(shù)乘變換.恒等變換一般記作.本節(jié)主要內(nèi)容：一、線性變換的定義及性質(zhì)二、線性變換的運(yùn)算§7.4線性變換的定義及運(yùn)算

定義3設(shè)是實(shí)數(shù)域上線性空間中的線性變換,,規(guī)定（1）（2）（3）以上運(yùn)算分別稱為線性變換的加法、數(shù)乘與乘法．可以證明也是線性變換．;;.,,線性變換的加法、數(shù)乘滿足以下運(yùn)算規(guī)則：（1）（2）（3）;;;（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）;;;;;;;.綜上,設(shè)={實(shí)數(shù)域上線性空間

的所有線性變換},則對(duì)線性變換的加法和數(shù)乘構(gòu)成一個(gè)線性空間．定義4設(shè)是上的一個(gè)線性變換,若存在上的另一變換,使得則稱線性變換為可逆的,為的逆變換..顯然,當(dāng)可逆時(shí),它的逆變換是唯一的,通.定理2設(shè)是數(shù)域上維線性空間上的一個(gè)線性變換,稱為的核;稱為的像.則都是的子空間,且常記為，.推論1

維線性空間