江蘇專版2023-2024學年新教材高中數(shù)學第4章數(shù)列4.4數(shù)學歸納法第2課時數(shù)學歸納法的綜合應(yīng)用分層作業(yè)蘇教版選擇性必修第一冊

第2課時數(shù)學歸納法的綜合應(yīng)用分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達標練1.用數(shù)學歸納法證明時，第一步需要驗證的不等式是()A. B.C. D.2.用數(shù)學歸納法證明“”時，假設(shè)時命題成立，則當時,左邊增加的項為()A. B.C. D.3.凸邊形有條對角線,則凸邊形對角線的條數(shù)()A. B. C. D.4.用數(shù)學歸納法證明“能被3整除”的過程中，當時，為了使用歸納假設(shè)，應(yīng)將變形為()A. B.C. D.5.用數(shù)學歸納法證明“能被9整除”,要利用歸納假設(shè)證時的情況,只需展開()A. B.C. D.6.請你從下列兩個遞推公式中，任意選擇一個填入題中橫線上，并解答題后的兩個問題：①；②.已知數(shù)列的前項和為,且,.（1）求,,;（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明.B層能力提升練7.已知數(shù)列中，,,,用數(shù)學歸納法證明能被4整除，假設(shè)能被4整除，然后應(yīng)該證明()A.能被4整除 B.能被4整除 C.能被4整除 D.能被4整除8.已知數(shù)列滿足，，,則下列結(jié)論成立的是()A. B.C. D.9.用數(shù)學歸納法證明不等式時，初始值應(yīng)等于.10.平面內(nèi)有條直線，其中任何2條不平行，任何3條不過同一點，求證：它們交點的個數(shù).11.先猜想，再用數(shù)學歸納法證明你的猜想：能被哪些自然數(shù)整除？12.一個計算裝置有一個數(shù)據(jù)入口和一個運算結(jié)果的出口，將正整數(shù)數(shù)列中的各數(shù)依次輸入口，從口得到輸出數(shù)據(jù)組成數(shù)列,結(jié)果表明：①從口輸入時，從口得到；②當時，從口輸入,從口得到的結(jié)果是將前一個結(jié)果先乘正整數(shù)數(shù)列中的第個奇數(shù)，再除以正整數(shù)數(shù)列中的第個奇數(shù)，試問：（1）從口輸入2和3時，從口分別得到什么數(shù)？（2）從口輸入100時，從口得到什么數(shù)？請說明理由.13.已知等差數(shù)列的前項和為,等比數(shù)列的前項和為,且,，.（1）求,;（2）已知,,試比較,的大小.C層拓展探究練14.（多選題）用數(shù)學歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值為()A.1 B.2 C.3 D.4第2課時數(shù)學歸納法的綜合應(yīng)用分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達標練1.B2.D3.C4.A5.A6.（1）解選擇條件①，因為,,所以當時,，即,當時,，所以，即,當時,，即，故,,分別為3，5，7.選擇條件②,，所以當時，，當時，，當時，．故,,分別為3，.（2）猜想,理由如下：選擇條件①，因為，當時，由題知，，猜想成立，假設(shè)時，，則，所以，兩式相減,得，即,所以當時，成立.綜上，對任意的，.選擇條件②，.當時，由題知，，猜想成立.假設(shè)時，,則,所以當時，成立.綜上，對任意的，.B層能力提升練7.C8.A9.610.證明①當時，兩條直線的交點只有一個，又，所以當時,命題成立.②假設(shè)，且時，命題成立,即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何條直線交點的個數(shù)，那么當時，任取一條直線，除以外其他條直線交點的個數(shù)為，與其他條直線交點的個數(shù)為，從而條直線共有個交點，即，所以當時，命題成立.由①②可知，對,命題都成立.11.解當時，原式，當時，原式,當時，原式，當時，原式,這些數(shù)都可以被6整除，所以猜想可以被6整除，也可以被1，2,3整除.證明：①當時，，命題顯然成立;②假設(shè)當時，能被6整除．當時，，其中兩個連續(xù)自然數(shù)之積是偶數(shù)，它的3倍能被6整除.由假設(shè)知能被6整除,故，，6分別能被6整除，所以當時，命題也成立.根據(jù)①②，可知可以被6整除．故能被自然數(shù)1，2，3，6整除.12.（1）解當時,；當時，;當時,.（2）因為,,，，故猜想.理由:當時,顯然猜想成立，假設(shè)時，猜想成立,即，則當時,,所以當時，猜想成立，所以，故從口輸入100時，從口得到的數(shù)為.13.（1）解設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為,依題意,得整理得解得所以,.（2）由（1）知,,數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列,則.因為,所以,則.用數(shù)學歸納法證明,.①當時，左邊，右邊，左邊右邊，即原不等式成立.②假設(shè)當時，不等式成立，即，則，即時，原不等式成立.由①②知,，成立.因此，，即，所以.C層拓展探究練14.CD[解析]取，則,,不成立；取，則,,不成立；取，則,