《結(jié)構(gòu)力學(xué)》教案 第九章 矩陣位移法

PAGE第九章矩陣位移法（4學(xué)時）主要內(nèi)容9-1概述9-2單元剛度矩陣——局部坐標系9-3單元剛度矩陣——整體坐標系9-4用先處理法建立結(jié)構(gòu)剛度矩陣9-5等效結(jié)點荷載知識點9-1概述矩陣位移法的理論基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)形式；矩陣位移法與傳統(tǒng)位移法的比較：單元分析、整體分析。9-2單元剛度矩陣-局部坐標系一般單元、單元剛度方程、單元剛度矩陣的性質(zhì)、特殊單元。9-3單元剛度矩陣-整體坐標系單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣；整體坐標系的單元剛度矩陣：元素kij的物理意義、對稱性、奇異性。9-4用先處理法建立結(jié)構(gòu)剛度矩陣先處理法的概念與特點、結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼、單元單位向量、剛架的整體剛度矩陣、鉸結(jié)點的處理、忽略軸向變形時剛架整體分析、桁架整體分析。9-5等效結(jié)點荷載結(jié)點荷載與非結(jié)點荷載；單元集成法求等效結(jié)點荷載。重點難點9-2單元剛度矩陣-局部坐標系重點：一般單元的單元剛度矩陣。難點：單元剛度矩陣的性質(zhì)。9-3單元剛度矩陣-整體坐標系重點：整體坐標系的單元剛度矩陣的計算。難點：整體坐標系的單元剛度矩陣與局部坐標系的單元剛度矩陣的異同。9-4用先處理法建立結(jié)構(gòu)剛度矩陣重點：不同情況下整體剛度矩陣的計算。難點：單元定位向量的確定、特殊情況的處理。9-5等效結(jié)點荷載重點：單元集成法求整體等效結(jié)點荷載的步驟。難點：等效結(jié)點荷載的概念。第九章矩陣位移法PAGEPAGE59.1概述知識點：矩陣位移法的理論基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)形式；矩陣位移法與傳統(tǒng)位移法的比較：單元分析、整體分析。知識點：矩陣位移法的理論基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)形式理論基礎(chǔ)：傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)學(xué)形式：矩陣計算手段：電子計算機知識點：矩陣位移法與傳統(tǒng)位移法的比較（1）位移法的基本思路：從化整為零到集零為整，見圖9.1。分析未知位移→將結(jié)構(gòu)離散化，分析每個桿件的桿端力→建立平衡方程，求解結(jié)點位移→回代桿端力表達式，求桿端力，繪內(nèi)力圖。圖9.1（2）傳統(tǒng)解法與矩陣位移法的比較理論同源，作法有別。前者以手算為主，后者以電算為主。手算怕繁，電算怕亂。化整為零——單元分析單元剛度矩陣單元剛度方程集零為整——整體分析形成整體剛度矩陣總體剛度方程9.2單元剛度矩陣-局部坐標系知識點一般單元、單元剛度方程、單元剛度矩陣的性質(zhì)、特殊單元。重點難點重點：一般單元的單元剛度矩陣。難點：單元剛度矩陣的性質(zhì)。知識點：一般單元（1）桿端內(nèi)力與位移關(guān)系回顧（軸向）；；（彎曲）（2）公式推導(dǎo)（圖9.2）圖9.2桿件性質(zhì)：長度l，截面面積A，截面慣性矩I，彈性模量E；桿端位移u、v、θ。（9.1）（9.2）列成矩陣形式：（9.3）即：（9.4）局部坐標系下單元剛度矩陣：（9.5）知識點：單元剛度矩陣的性質(zhì)（1）單元剛度系數(shù)的意義一般地，第j個桿端位移分量取單位值1，其它桿端位移為0時所引起的第i個桿端力分量的值。例：的物理意義：當?shù)?個桿端位移分量時引起的第5個桿端力分量。11（2）對稱性（反力互等定理）（3）奇異性（，不存在逆矩陣）根據(jù)式可由桿端位移求解桿端力，且是唯一解。但由桿端力求桿端位移，可能無解，如有解也是非唯一解。說明：已知6個桿端力分量，若無法保證力狀態(tài)的合法性——可能造成無解；若無法確定桿的支承條件——可能造成非唯一解。知識點：特殊單元（1）簡支梁簡支梁單元見圖9.3。圖9.3說明：（a）梁單元通常忽略軸向變形；（b）圖10-3中；相應(yīng)的力分量也應(yīng)該為零；（c）依據(jù)剛度矩陣的物理意義，可以由一般單元的剛度矩陣生成梁單元矩陣。即去掉位移分量為零的相應(yīng)行和列。00000000即：單元剛度方程：（1）單元剛度矩陣：（2）（2）懸臂梁等建立圖9.4的單元剛度矩陣：（固定端位移為零；自由端有轉(zhuǎn)角和豎向位移)圖9.4 圖a： 圖b：（3）桁架僅有軸向位移PAGEPAGE309.3單元剛度矩陣-整體坐標系知識點單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣；整體坐標系的單元剛度矩陣：元素kij的物理意義、對稱性、奇異性。重點難點重點：整體坐標系的單元剛度矩陣的計算。難點：整體坐標系的單元剛度矩陣與局部坐標系的單元剛度矩陣的異同。知識點：單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣（1）問題的提出單元剛度矩陣——單根桿；多根根組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)呢？（圖9.5）圖9.5（a）從數(shù)學(xué)的角度理解：整體坐標系（xy）與局部坐標系（）的區(qū)別；（b）力分量應(yīng)向整體坐標系轉(zhuǎn)換，圖f給出了兩種坐標系下力分量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系：（2）公式推導(dǎo)矩陣形式：（1）同理：（2）其中：為單位坐標轉(zhuǎn)換矩陣。（3）［T］的特性正交矩陣：其逆矩陣等于轉(zhuǎn)置矩陣，即。α＝0時，（單位矩陣）。知識點：整體坐標系的單元剛度矩陣（1）整體坐標系中的單元剛度矩陣兩種坐標系中單元剛度矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：單元剛度矩陣的性質(zhì)：同局部坐標系下。實例：例1：求圖9.6a剛架各單元在整體坐標系中的單元剛度矩陣。桿長l=5m,截面b×h=0.5m×1m，A=0.5m2，I=1/24m4，E=3×104MPa圖9.6a圖9.6b解：（1）建立整體坐標系、桿單元編號、建立單元局部坐標系，圖9.6b（2）局部坐標系下單元剛度矩陣（3）坐標轉(zhuǎn)換矩陣（1）單元1：α＝0，（2）單元2：α＝90；

9.4用先處理法建立結(jié)構(gòu)剛度矩陣知識點先處理法的概念與特點結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼單元單位向量剛架的整體剛度矩陣鉸結(jié)點的處理忽略軸向變形時剛架整體分析桁架整體分析。重點難點重點：不同情況下整體剛度矩陣的計算。難點：單元定位向量的確定、特殊情況的處理。知識點：先處理法的概念與特點在計算形成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣之前，即單元分析中（寫出單元剛度矩陣）時，就考慮結(jié)構(gòu)的位移約束條件。由于各單元受到的位移約束不同，單元剛度矩陣階數(shù)各不相同。由單元剛度矩陣形成的總剛度矩陣即為結(jié)構(gòu)剛度矩陣。與后處理法的區(qū)別：結(jié)點位移向量僅需列入獨立的未知結(jié)點位移。單剛不同：在完整的單元剛度矩陣中劃去零桿端位移對應(yīng)的行和列，即可得到考慮位移約束后的單元剛度矩陣。知識點：結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼位移編碼原則：（1）結(jié)點按從上往下，從左往右；（2）結(jié)點的位移分量按先水平位移、后豎向位移、再轉(zhuǎn)角位移的順序編碼。圖9.7a若考慮支座約束條件對位移的影響，其結(jié)點位移編碼見圖9.7b，位移分量為零的，編碼為零（這種方法叫先處理法）。A結(jié)點的三個位移分量均為零，故編碼（000）；B結(jié)點位移編碼（123），編碼1、2、3分別代表B結(jié)點的水平位移、豎向位移和轉(zhuǎn)角位移；C結(jié)點位移編碼（004）；C結(jié)點的水平位移、豎向位移為零，有轉(zhuǎn)角位移。結(jié)構(gòu)有4個未知位移分量，結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的階數(shù)為4階。圖9.7a圖9.7b知識點：單元定位向量整體坐標系下單元剛度矩陣中元素的物理意義是指單元桿端發(fā)生單位位移時產(chǎn)生的單元桿端力。那整體坐標系下單元桿端位移如何對應(yīng)結(jié)構(gòu)的位移編碼呢？圖9.8a是結(jié)構(gòu)的位移編碼，如1，2等，稱為總碼；圖9.8b是整體坐標系下單元結(jié)點位移的編碼，如（1），（2）等，稱為局部碼（單元分析是不考慮約束條件的）。其對應(yīng)關(guān)系見表9-1。圖9.8a圖9.8b單元定位向量是指單元對應(yīng)的結(jié)點位移總碼組成的向量。單元兩種編碼的對應(yīng)關(guān)系即由單元定位向量來表示。單元①和②的定位向量在表9-1中給出。表9-1局部碼與總碼的對應(yīng)關(guān)系單元局部碼→總碼單元定位向量單元局部碼→總碼單元定位向量①（1）→1（2）→2（3）→4（4）→0（5）→0（6）→4②（1）→1（2）→2（3）→3（4）→0（5）→0（6）→0知識點：剛架的整體剛度矩陣在整體坐標系下的單元剛度矩陣中的元素按局部碼排列。在結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣中的元素按總碼排列。單元剛度矩陣通過單元單位向量得出單元貢獻矩陣，其作法見表9-2。這種做法稱為單元集成法，即將單元剛度矩陣中的元素按照單元定位向量在整體剛度矩陣中定位，得到單元貢獻矩陣，再將各單元貢獻矩陣中的元素累加，最終得到結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。表9-2單元剛度矩陣單元貢獻矩陣做法換碼元素的原行碼i原列碼j換成新行碼λi新列碼λji→λij→λj定位在i行j列的元素改在λi行λj列keij→Keλiλj以下以例1為例形成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。單元①：單元定位向量：單元貢獻矩陣：單元②：單元定位向量：單元貢獻矩陣：將單元①、②的單元貢獻矩陣累加，得結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣：知識點：鉸結(jié)點的處理圖9.9，結(jié)點A是鉸結(jié)點。根據(jù)鉸結(jié)點的特點：結(jié)點不能產(chǎn)生相當移動，但可產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動。其考慮軸向變形的整體位移編碼見圖9.9，圖中A結(jié)點有兩個獨立的轉(zhuǎn)角位移，編不同的位移碼。圖9.9結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為7階。定位向量：知識點：忽略軸向變形時矩形剛架的整體分析工程中，剛架結(jié)構(gòu)的軸向變形對結(jié)構(gòu)影響一般很小，可以忽略不計。矩陣位移法在求解忽略軸向變形的剛架時，采用先考慮軸向變形的一般單元來進行單元分析；再通過“結(jié)點位移編碼”來實現(xiàn)忽略軸向變形。圖9.9a為考慮軸向變形的位移編碼；圖9.9b為忽略軸向變形的位移編碼。圖9.9b，橫梁忽略軸向變形。那么，它們的位移相同，則編碼相同，其他編碼按順序改變。圖9.9a圖9.9b單元定位向量：圖9.9a圖9.9b知識點：桁架整體分析桁架結(jié)構(gòu)的特點：（1）結(jié)點都是鉸結(jié)點，無轉(zhuǎn)角位移；（2）桿件的變形只有軸向變形；（3）荷載作用在結(jié)點上，為結(jié)點荷載。以圖9-10a為例介紹矩陣位移法計算桁架的全過程。圖9-10a圖9-10b圖9-10c解：（1）建立坐標系建立局部坐標系（在單元上表示）與整體坐標系見圖9.9b。（2）單元分析單元編碼見圖9.9b。圖中的單元可用一般單元（圖9.9c）表示。桁架單元只有軸向力，圖中4個桿端位移分量對應(yīng)的桿端力只能是沿桿軸方向。1）根據(jù)局部坐標系單元剛度矩陣的性質(zhì)可知：，若只考慮軸向位移：2)坐標轉(zhuǎn)換矩陣坐標轉(zhuǎn)換矩陣比剛架少轉(zhuǎn)角位移對應(yīng)的桿端力，則：（1）結(jié)點位移編碼見圖9.9b。2）形成單元單位向量

9.5等效結(jié)點荷載知識點結(jié)點荷載與非結(jié)點荷載；單元集成法求等效結(jié)點荷載。重點難點重點：單元集成法求整體等效結(jié)點荷載的步驟。難點：等效結(jié)點荷載的概念。知識點：結(jié)點荷載（1）連續(xù)梁，圖9.11圖9.11結(jié)構(gòu)的整體剛度方程：（2）剛架，圖9.12圖9.12結(jié)構(gòu)的整體剛度方程：知識點：非結(jié)點荷載非結(jié)點荷載作用情況下：圖9.13剛架圖9.13三個荷載向量：局部坐標系下單元等效結(jié)點荷載向量：，查課本上的表格，方向由整體坐標系的方向確定正負。常見荷載下的固端約束力向量：圖9.14（圖9.14a）（圖9.14b）整體坐標系下單元等效結(jié)點荷載向量：整體坐標系下等效結(jié)點荷載向量：按單元定位向量定位再疊加，方法同整體坐標系下剛度矩陣的求解。結(jié)論：對于非結(jié)點荷載的情況，先將其轉(zhuǎn)換為等效結(jié)點力。等效結(jié)點力就是在強行鎖定結(jié)點狀態(tài)下的結(jié)點約束力的相反值。實例：例：求圖9.15結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載向量。圖9.15分析：（單元定位向量集成）←（通過轉(zhuǎn)換矩陣）←←（常見荷載下的固端約束力向量）。解：見下表。單元[T]定位向量貢獻矩陣①[I]②

小結(jié)矩陣位移法來源于位移法，其核心是求解結(jié)構(gòu)剛度方程。1.結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣（1）單元分析1）局部坐標系下單元剛度矩陣的建立過程。一般單元——特殊單元（梁、桁架）2）坐標轉(zhuǎn)換矩陣一般單元——特殊單元（桁架）3）整體坐標系下單元剛度矩陣（2）整體分析1）位移編碼：注意特殊剛架結(jié)構(gòu)結(jié)點位移編碼的方法。2）單元單位向量3）單元貢獻矩陣4）整體剛度矩陣2.結(jié)構(gòu)結(jié)點荷載向量1）非結(jié)點荷載產(chǎn)生的單元固端力向量：2）局部坐標系單元等效結(jié)點荷載：3）整體坐標系單元等效結(jié)點荷載：4）依次將各單元的等效結(jié)點荷載{P}中元素按單元定位向量在結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載{P}中進行定位，得到單元貢獻等效荷載向量，再累加，最后得到{P}。5）若結(jié)構(gòu)還有結(jié)點荷載，將結(jié)構(gòu)等效結(jié)點荷載與結(jié)點荷載相累加，即得結(jié)構(gòu)結(jié)點荷載向量。

練習一、單項選擇題1.圖1結(jié)構(gòu)，用矩陣位移法計算時（考慮軸向變形），整體剛度矩陣的階數(shù)是（）圖1A.5B.6C.9D.102.圖2結(jié)構(gòu)，用矩陣位移法計算時，結(jié)點2的綜合結(jié)點荷載是（）圖2A.B.C.D.3.坐標矩陣是（）A.對稱矩陣B.正交矩陣C.對角矩陣D.反對稱矩陣4.已知某單元的桿端位移向量為，則單元類型為（）A.梁單元B.桁架單元C.一般單元D.其他單元5.圖3整體坐標系中，單元的坐標轉(zhuǎn)換矩陣中的角度是（）圖3A.-450B.450C.1350D.2250二、計算題1.用矩陣位移法計算圖4剛架結(jié)構(gòu)（考慮軸向變形）。橫梁AC橫截面b×h=200mm×500mm；柱AD、BE橫截面b×h=400mm×400mm；E=3.0×104N/mm2。要求：（1）圖中建立坐標系：局部坐標系和整體坐標系。（2）圖中標出單元編碼、結(jié)點位移編碼，整體剛度矩陣的階數(shù)（3）寫出局部坐標系下單元剛度矩陣、單元固端力向量、單元等效結(jié)點荷載向量；（4）寫出單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣（5）計算整體坐標系下單元剛度矩陣、單元等效結(jié)點荷載向量（6）寫出單元定位向量（7）計算整體剛度矩陣和結(jié)構(gòu)等效結(jié)點荷載向量。圖42.用矩陣位移法計算圖5連續(xù)梁，EI=4。要求：（1）圖中標出單元方向、單元編碼、結(jié)點位移編碼，整體剛度矩陣的階數(shù)（2）寫出單元剛度矩陣、單元等效結(jié)點荷載向量；（3）寫出單元定位向量（4）寫出整體剛度矩陣和結(jié)構(gòu)等效結(jié)點荷載向量。圖53.用矩陣位移法計算圖6桁架，EA=60kN。要求：（1）圖中建立坐標系：局部坐標系和整體坐標系。（2）圖中標出單元編碼、結(jié)點位移編碼，整體剛度矩陣的階數(shù)（3）寫出局部坐標系下單元剛度矩陣；（4）寫出單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣（5）計算整體坐標系下單元剛度矩陣；（6）寫出單元定位向量（7）計算整體剛度矩陣、寫出結(jié)構(gòu)結(jié)點荷載向量。圖6

練習答案一、單項選擇題題號1234