帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題

-.z.帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題的解題技巧帶電粒子（質(zhì)量m、電量q確定）在有界磁場中運(yùn)動時(shí)，涉及的可能變化的參量有——入射點(diǎn)、入射速度大小、入射方向、出射點(diǎn)、出射方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小、磁場方向等，其中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小與入射速度大小影響的都是軌道半徑的大小，可歸并為同一因素（以“入射速度大小”代表），磁場方向在一般問題中不改變，若改變，也只需將已討論情況按反方向偏轉(zhuǎn)再分析一下即可。在具體問題中，這五個(gè)參量一般都是已知兩個(gè)，剩下其他參量不確定（但知道變化*圍）或待定，按已知參數(shù)可將問題分為如下10類（），并可歸并為6大類型。類型已知參量類型一①⑩入射點(diǎn)、入射方向；出射點(diǎn)、出射方向類型二②⑧入射點(diǎn)、速度大?。怀錾潼c(diǎn)、速度大小類型三③入射點(diǎn)、出射點(diǎn)類型四⑦入射方向、出射方向類型五⑤⑨入射方向、速度大?。怀錾浞较?、速度大?。活愋土堍奕肷潼c(diǎn)、出射方向；出射點(diǎn)，入射方向入射點(diǎn)入射點(diǎn)入射方向入射速度大小出射點(diǎn)出射方向①②③④⑧⑨⑤⑤⑥⑦⑩所有這些問題，其通用解法是：①第一步，找準(zhǔn)軌跡圓圓心可能的位置，②第二步，按一定順序盡可能多地作不同圓心對應(yīng)的軌跡圓（一般至少5畫個(gè)軌跡圓），③第三步，根據(jù)所作的圖和題設(shè)條件，找出臨界軌跡圓，從而抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)。類型一：已知入射點(diǎn)和入射速度方向，但入射速度大小不確定（即軌道半徑不確定）這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓圓心均在過入射點(diǎn)、垂直入射速度的同一條直線上。【例1】如圖所示，長為L的水平極板間有垂直于紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離也為L，板不帶電．現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是A．使粒子的速度v<eq\f(BqL,4m) B．使粒子的速度v>eq\f(5BqL,4m)C．使粒子的速度v>eq\f(BqL,m) D．使粒子的速度eq\f(BqL,4m)<v<eq\f(5BqL,4m)圖乙圖甲①②【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子軌跡圓圓心均在垂直初速度的直線上（如圖甲），在該直線上取不同點(diǎn)為圓心，半徑由小取到大，作出一系列圓（如圖乙），其中軌跡圓①和②為臨界軌跡圓。軌道半徑小于軌跡圓①或大于軌跡圓圖乙圖甲①②【解答】AB粒子擦著板從右邊穿出時(shí)，圓心在O點(diǎn)，有r12＝L2＋(r1－eq\f(L,2))2，得r1＝eq\f(5L,4)由r1＝eq\f(mv1,Bq)，得v1＝eq\f(5BqL,4m)，所以v>eq\f(5BqL,4m)時(shí)粒子能從右邊穿出．粒子擦著上板從左邊穿出時(shí)，圓心在O′點(diǎn)，有r2＝eq\f(L,4)由r2＝eq\f(mv2,Bq)，得v2＝eq\f(BqL,4m)，所以v<eq\f(BqL,4m)時(shí)粒子能從左邊穿出．類型二：已知入射點(diǎn)和入射速度大?。窜壍腊霃酱笮。?，但入射速度方向不確定這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在一個(gè)“圓心圓”上——所謂“圓心圓”，是指以入射點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓。【例2】如圖所示，在0≤*≤a、0≤y≤*圍內(nèi)有垂直手*y平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在*時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在*Oy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～*圍內(nèi)。己知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑介于a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動周期的四分之一。求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時(shí)的(1)速度的大小；(2)速度方向與y軸正方向夾角的正弦?！痉治觥勘绢}給定的情形是粒子軌道半徑r大小確定但初速度方向不確定，所有粒子的軌跡圓都要經(jīng)過入射點(diǎn)O，入射點(diǎn)O到任一圓心的距離均為r，故所有軌跡圓的圓心均在一個(gè)“圓心圓”——以入射點(diǎn)O為圓心、r為半徑的圓周上（如圖甲）。考慮到粒子是向右偏轉(zhuǎn)，我們從最左邊的軌跡圓畫起——取“圓心圓”上不同點(diǎn)為圓心、r為半徑作出一系列圓，如圖乙所示；其中，軌跡①對應(yīng)弦長大于軌跡②對應(yīng)弦長——半徑一定、圓心角都較小時(shí)（均小于180°），弦長越長，圓心角越大，粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間越長——故軌跡①對應(yīng)圓心角為90°。圖乙圖乙圖甲①②【解答】設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動的軌道半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律和洛倫茲力得：Oy*COy*CRDAaPαααv當(dāng)a/2<R<a時(shí)，在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的邊界相切，如圖所示，設(shè)該粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為t，依題意，t=T/4時(shí)，∠OCA=π/2設(shè)最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關(guān)系得：，且解得：這類題作圖要講一個(gè)小技巧——按粒子偏轉(zhuǎn)方向移動圓心作圖。【練習(xí)2】如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。在t=0時(shí)刻，一位于ad邊中點(diǎn)O的粒子源在abcd平面內(nèi)發(fā)射出大量的同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與Od邊的夾角分布在0～180°*圍內(nèi)。已知沿Od方向發(fā)射的粒子在t=t0時(shí)刻剛好從磁場邊界cd上的p點(diǎn)離開磁場，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑恰好等于正方形邊長L，粒子重力不計(jì)，求： （1）粒子的比荷q/m； （2）假設(shè)粒子源發(fā)射的粒子在0～180°*圍內(nèi)均勻分布，此時(shí)刻仍在磁場中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比；O3p×O3p××××abcdO××××××××××××p××××abcdO××××××××××××①②③④O1O2O4pp××××abcdO××××××××××××圖甲圖乙【分析】以L為半徑、O點(diǎn)為圓心作“圓心圓”（如圖甲）；由于粒子逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)，從最下面的軌跡開始畫起（軌跡①），在“圓心圓”取不同點(diǎn)為圓心、以L為半徑作出一系列圓（如圖乙）；其中軌跡①與軌跡④對稱，在磁場中運(yùn)動時(shí)間相同；軌跡②并不經(jīng)過c點(diǎn)，軌跡②對應(yīng)弦長短于軌跡③對應(yīng)弦長——即沿軌跡③運(yùn)動的粒子最后離開磁場。【解答】（1）初速度沿Od方向發(fā)射的粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡如圖，其圓心為n，由幾何關(guān)系有：,粒子做圓周運(yùn)動的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得，得 (2)依題意，同一時(shí)刻仍在磁場中的粒子到O點(diǎn)距離相等。在t0時(shí)刻仍在磁場中的粒子應(yīng)位于以O(shè)為園心，Op為半徑的弧pw上。由圖知 此時(shí)刻仍在磁場中的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比為5/6（3）在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子的軌跡應(yīng)該與磁場邊界b點(diǎn)相交，設(shè)此粒子運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角為θ，則 在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間 所以從粒子發(fā)射到全部離開所用時(shí)間為 。類型三：已知入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，但未知初速度大小（即未知半徑大?。┖头较蜻@類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓圓心均在入射點(diǎn)和出射點(diǎn)連線的中垂線上?！纠?】如圖所示，無重力空間中有一恒定的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于*Oy平面向外，大小為B，沿*軸放置一個(gè)垂直于*Oy平面的較大的熒光屏，P點(diǎn)位于熒光屏上，在y軸上的A點(diǎn)放置一放射源，可以不斷地沿平面內(nèi)的不同方向以大小不等的速度放射出質(zhì)量為m、電荷量+q的同種粒子，這些粒子打到熒光屏上能在屏上形成一條亮線，P點(diǎn)處在亮線上，已知OA＝OP＝l，求：（1）若能打到P點(diǎn)，則粒子速度的最小值為多少？（2）若能打到P點(diǎn)，則粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間為多少？【分析】粒子既經(jīng)過A點(diǎn)又經(jīng)過P點(diǎn)，因此AP連線為粒子軌跡圓的一條弦，圓心必在該弦的中垂線OM上（如圖甲）。在OM上取不同點(diǎn)為圓心、以圓心和A點(diǎn)連線長度為半徑由小到大作出一系列圓（如圖乙），其中軌跡①對應(yīng)半徑最小，而軌跡②對應(yīng)粒子是O1點(diǎn)上方軌道半徑最大的，由圖可知其對應(yīng)圓心角也最大。O2O2O1O1①②圖甲圖乙MM【解答】（1）粒子在磁場中運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，設(shè)粒子的速度大小為v時(shí)，其在磁場中的運(yùn)動半徑為R，則由牛頓第二定律有： qBv＝m*若粒子以最小的速度到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，其軌跡一定是以AP為直徑的圓（如圖中圓O1所示）由幾何關(guān)系知： sAP=R＝*則粒子的最小速度 v＝（2）粒子在磁場中的運(yùn)動周期T＝設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)其軌跡所對應(yīng)的圓心角為θ，則粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間為：由圖可知，在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子的運(yùn)動軌跡如圖中圓O2所示，此時(shí)粒子的初速度方向豎直向上，則由幾何關(guān)系有： 則粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間： 類型四：已知初、末速度的方向（所在直線），但未知初速度大小（即未知軌道半徑大?。┻@類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在初、末速度延長線形成的角的角平分線上。【例4】在*Oy平面上的*圓形區(qū)域內(nèi)，存在一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始沿*正方向運(yùn)動，進(jìn)入該磁場區(qū)域后又射出該磁場；后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30°（如圖所示），已知P到O的距離為L，不計(jì)重力的影響。（1）若磁場區(qū)域的大小可根據(jù)需要而改變，試求粒子速度的最大可能值；（2）若粒子速度大小為，試求該圓形磁場區(qū)域的最小面積。30oyvLOPQCA圖甲*PLOyv30oQ30oyvLOPQCA圖甲*PLOyv30oQCA圖乙①②*3030oyvLOP*圖丙Ly30ovOQCAP①*【解答】過P點(diǎn)作末速度所在直線，交*軸于圖丙Ly30ovOQCAP①*設(shè)粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為r，則由牛頓第二定律，有則①由此可知粒子速度越大，其軌道半徑越大，由圖乙可知，速度最大的粒子在磁場中運(yùn)動軌跡的圓心是y軸上的C點(diǎn)。（1）如圖丙所示，速度最大時(shí)粒子的軌跡圓過O點(diǎn)、且與PQ相切于A點(diǎn)。 由幾何關(guān)系有，，可得②由①、②求得③（2）將代入①式，可得，粒子的運(yùn)動軌跡是如圖丁所示的軌跡圓②，該軌跡圓與*軸相切于D點(diǎn)、與PQ相切于E點(diǎn)。連接DE，由幾何關(guān)系可知由于D點(diǎn)、E點(diǎn)必須在磁場內(nèi)，即線段DE在磁場內(nèi)，故可知Py30o*②Py30o*②LO③圖丁AvCQDE小的磁場半徑為 則磁場的最小面積為類型五：已知初速度的大?。匆阎壍腊霃酱笮。┖头较?，但入射點(diǎn)不確定這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在將入射點(diǎn)組成的邊界沿垂直入射速度方向平移一個(gè)半徑距離的曲線上?！纠?】如圖所示，長方形abcd的長ad=0.6m，寬ab=0.3m，O、e分別是ad、bc的中點(diǎn)，以e為圓心eb為半徑的圓弧和以O(shè)為圓心Od為半徑的圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(eb邊界上無磁場)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.25T。一群不計(jì)重力、質(zhì)量m=3×10-7kg、電荷量q=+2×10-3C的帶正電粒子以速度v=5×l02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場射入磁場區(qū)域，則下列判斷正確的是（D）

A.從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在Oa邊

B.從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在ab邊

C.從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊

D.從ad邊射人的粒子，出射點(diǎn)全部通過b點(diǎn)【分析】所有進(jìn)入磁場的粒子的入射點(diǎn)均在dOb線上，將該曲線垂直速度向上平移一個(gè)半徑后得到曲線Oaf，此即所有粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心所在曲線，在該曲線上從下到上取點(diǎn)作為圓心、為半徑作一系列軌跡圓，其中①為從d點(diǎn)射入粒子的軌跡（圓心在O點(diǎn)），②為從O點(diǎn)射入粒子的軌跡（圓心在a點(diǎn)），③為從a點(diǎn)射入粒子的軌跡，從d、O之間入射粒子在磁場中轉(zhuǎn)過1/4圓周后沿eb邊界作直線運(yùn)動最終匯聚于b點(diǎn)，從O、a之間入射粒子先作直線運(yùn)動再進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動，由作圖易知這些粒子也匯聚于b點(diǎn)。fff①②f③【練習(xí)5】如圖所示，在*Oy平面內(nèi)有一半徑為R、與*軸相切于原點(diǎn)的圓形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)有垂直于*Oy平面的勻強(qiáng)磁場。在圓的左邊0<y<2R的區(qū)間內(nèi)有一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒沿*軸正方向射向該區(qū)域，其中沿半徑AO'方向進(jìn)入磁場區(qū)域的帶電微粒經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開。(1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向。(2)請指出這束帶電微粒與*軸相交的區(qū)域，并說明理由?！痉治觥浚?）從A點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)域的微粒軌跡圓心在A點(diǎn)正下方相距R的C處，微粒軌跡如圖所示，可知微粒軌跡半徑為；（2）所有這些微粒進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動的圓心均在如圖所示半圓虛線O'CD上，在該曲線上由上到下取點(diǎn)作為圓心、以R為半徑作一系列軌跡圓，易由圖可知這些微粒均與*軸相交于原點(diǎn)——因?yàn)閳A心所在曲線半圓O'CD的圓心是原點(diǎn)O。CDCDCD【答案】(1)，方向垂直*Oy平面向外；（2）這束微粒均與*軸相交于原點(diǎn)。類型六：已知初速度方向（所在直線）和出射點(diǎn)，但入射點(diǎn)不確定這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在“以初速度所在直線為準(zhǔn)線、出射點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線”上?！纠?】如圖所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為e的電子從y軸上的P（0，a）點(diǎn)以初速