2022-2023學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷及答案

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷及答案第Ⅰ卷（本卷共計(jì)30分）一、選擇題：（每小題只有一個(gè)選項(xiàng)，每小題3分，共計(jì)30分）1.在四邊形是菱形，其中，則四邊形的周長是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：四邊形是菱形，，四邊形的周長，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的四邊相等．2.在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接AF、CE．連接AC，當(dāng)CA＝CB時(shí)，判斷四邊形AECF是（）A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【答案】B【解析】【分析】首先利用平行四邊形的性質(zhì)證明AE∥CF，AE=CF，可證明四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)AC=BC，E是AB的中點(diǎn)，可根據(jù)等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高線重合證明∠AEC=90°，即可證明平行四邊形AECF是矩形．【詳解】四邊形AECF是矩形；證明：連接AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴AE=CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴AE∥CF，∵AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AC=BC，E是AB的中點(diǎn)，∴CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴四邊形AECF是矩形故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形性質(zhì)與判定，以及舉矩形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定方法：①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）．3.已知：是關(guān)于的一元二次方程，則的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義得到，然后求解即可得出答案．【詳解】解：方程是關(guān)于的一元二次方程，．．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的概念，準(zhǔn)確理解一元二次函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．4.某校九年級學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，全班共送了3540張相片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)全班有x名學(xué)生，根據(jù)“每個(gè)同學(xué)都將自己相片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，全班共送了3540張相片，”列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5.一個(gè)密閉不透明的盒子里有若干個(gè)白球，在不許將球倒出來數(shù)的情況下，為了估計(jì)白球數(shù)，小剛向其中放入了8個(gè)黑球，攪勻后從中隨意摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復(fù)這一過程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估計(jì)盒中大約有白球（

）A.32個(gè) B.36個(gè) C.40個(gè) D.42個(gè)【答案】A【解析】【分析】可根據(jù)“黑球數(shù)量÷黑白球總數(shù)=黑球所占比例”來列等量關(guān)系式，其中“黑白球總數(shù)=黑球個(gè)數(shù)+白球個(gè)數(shù)“，“黑球所占比例=隨機(jī)摸到的黑球次數(shù)÷總共摸球的次數(shù)”【詳解】設(shè)盒子里有白球x個(gè)，

根據(jù)得：解得：x=32．

經(jīng)檢驗(yàn)得x=32是方程的解．

答：盒中大約有白球32個(gè)．

故選；A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解，注意分式方程要驗(yàn)根．6.為做好疫情防控工作，某學(xué)校門口設(shè)置了，兩條體溫快速檢測通道，該校同學(xué)王明和李強(qiáng)均從通道入校的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先列表得到所有的等可能的結(jié)果數(shù)，以及符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即即可．【詳解】解：列表如下：ABAA，AA，BBB，AB，B所以所有的等可能的結(jié)果數(shù)有4種，符合條件的結(jié)果數(shù)有1種，所以該校同學(xué)王明和李強(qiáng)均從通道入校的概率是故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是利用列表的方法或畫樹狀圖的方法求解簡單隨機(jī)事件的概率，掌握“列表的方法求概率”是解本題的關(guān)鍵．7.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把化成，再把代入，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：，．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把化成，屬于較簡單運(yùn)算．8.已知ABC∽A1B1C1，且＝．若ABC的面積為4，則A1B1C1的面積是（）A. B.6 C.9 D.18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可直接得出結(jié)論．【詳解】解：∵ABC∽A1B1C1，且＝．∴∵△ABC的面積為4，∴△A1B1C1的面積為9，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．9.如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E、F分別為、的中點(diǎn)，、相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)H，則線段的長度是（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，求出，，求出，根據(jù)勾股定理求出，求出，根據(jù)三角形的中位線求出，根據(jù)相似三角形的判定得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，再求出答案即可．【詳解】解析：四邊形是矩形，，，，，，點(diǎn)E、F分別為、的中點(diǎn)，，，，，，．由勾股定理得：，，，，，，解得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，能熟記矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．10.如圖，正方形的邊長為，在正方形外，，過作于，直線，交于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）①；②；③；④若，則A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】①利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明．②根據(jù)DA=DC=DE，利用圓周角定理可知∠AEC=∠ADC=45°，即可解決問題．③如圖，作DF⊥DM交PM于F，證明△ADM≌△CDF（SAS）即可解決問題．④解直角三角形求出CE=EF=可得結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴DA=DC,∠ADC=90°，∵DC=DE，∴DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，故①正確，∵DA=DC=DE，∴∠AEC=∠ADC=45°(圓周角定理)，∵DM⊥AE，∴∠EHM=90°，∴∠DMC=45°，故②正確，如圖，作DF⊥DM交PM于F，∵∠ADC=∠MDF=90°，∴∠ADM=∠CDF，∵∠DMF=45°，∴∠DMF=∠DFM=45°，∴DM=DF，∵DA=DC，∴△ADM≌△CDF(SAS)，∴AM=CF，∴AM+CM=CF+CM=MF=DM，∴=，故③正確，若MH=2,則易知AH=MH=HE=2,AM=EM=2，在Rt△ADH中,，∴DM=3,AM+CM=3，∴CM=CE=，∴S△DCM=S△DCE，故④錯(cuò)誤，故選C.【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定性質(zhì)、勾股定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線.第Ⅱ卷（本卷共計(jì)70分）二、填空題（每小題3分，共計(jì)15分）11.一元二次方程的一般形式為___________．【答案】【解析】【分析】去括號，根據(jù)一元二次方程的一般形式求解即可．【詳解】∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式為是解答的關(guān)鍵．12.已知m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值等于________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義把m代入方程中即可得解．【詳解】解：∵m是方程的一個(gè)根，∴，∴故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解、代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．13.如圖，已知直線a∥b∥c，直線m，n與直線a，b，c分別交于點(diǎn)A，C，E，B，D，F(xiàn)，若AC=4，CE=8，BD=3，則DF的值是______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得，即可得出DF值．【詳解】解：∵直線a∥b∥c，∴即，∴DF＝6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14.如圖所示．矩形中，，則___________度．【答案】120【解析】【分析】首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，然后證明出是等邊三角形，求出，最后可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵矩形的對角線相等，且互相平分，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：120．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．15.如圖，矩形中，，交于E、F，則的最小值是___________．【答案】5【解析】【分析】過點(diǎn)C作，且，連接，則當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，，根據(jù)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線得，根據(jù)四邊形是矩形得，根據(jù)四邊形是平行四邊形得，根據(jù)可判定四邊形是菱形，則，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，計(jì)算得，即可得，在中，由勾股定理得，得，即可得，根據(jù)可判定，則計(jì)算，根據(jù)，即可得．【詳解】解：如圖所示：設(shè)，則，過點(diǎn)C作，且，連接，當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，的最值??；∵，且，∴四邊形是平行四邊形；∴，又∵點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線，∴，又∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵，，在中，由勾股定理得：，又∵，則，∴，解得：，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形的相似與判定，勾股定理，最短距離問題，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識點(diǎn)，作輔助線，三點(diǎn)共線時(shí)兩條線段的和最?。?、解答題（16題8分，17題6分，18題6分，19題7分，20題8分，21題9分，22題11分，共55分）16.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）移項(xiàng)，直接開方求解即可；（2）利用公式法求解即可．【小問1詳解】∴【小問2詳解】∴【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．17.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）k取最大整數(shù)時(shí)求方程的根．【答案】（1），且（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍；（2）由（1）中k的取值范圍得出符合條件的k的最大整數(shù)值，代入原方程，利用因式分解法即可求出x的值．【小問1詳解】∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得：，且；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，方程為：，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，解決本題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根，掌握利用判別式判斷根的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．18.為落實(shí)“雙減”政策，某校隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生平均每天完成書面作業(yè)所需時(shí)間的情況，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（1）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：分組時(shí)間x（時(shí)）ABCDE（2）若該校有學(xué)生2000人，估計(jì)每天完成書面作業(yè)的時(shí)間不足1.5小時(shí)的學(xué)生有___________人．（3）學(xué)校需要深入了解影響作業(yè)時(shí)間的因素，現(xiàn)從E組的4人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行談話，已知E組中七、八年級各1人，九年級2人，則抽取的2人都是九年級學(xué)生的概率為多少？請用列表法或樹狀圖說明．【答案】（1）見解析（2）1640（3），見解析【解析】【分析】（1）用樣本總數(shù)減去其它組的人數(shù)求出D組的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；（2）用全校人數(shù)乘以每天完成書面作業(yè)的時(shí)間不足1.5小時(shí)的學(xué)生人數(shù)所占的百分比求解即可；（3）利用列表法求解概率即可．【小問1詳解】(人)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：【小問2詳解】(人)，∴估計(jì)每天完成書面作業(yè)的時(shí)間不足1.5小時(shí)的學(xué)生有1640人；【小問3詳解】將七、八、九年級的學(xué)生分別記作七1、八1、九1、九2，畫樹形圖如圖所示：共有12種等可能情況，其中抽取的兩名學(xué)生都來自九年級的有2種情況．∴抽取的兩名學(xué)生都來自九年級的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法求概率、頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表等知識．列表法可以不重復(fù)不遺漏列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．19.如圖，在四邊形中，，對角線交于點(diǎn)O，平分，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)E，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，則的面積為___________．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，再證，即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得，求出OA＝3，再證，得，過O作于P，然后由面積法得，即可得出答案．【小問1詳解】證明：∵，∵，∴四邊形是平行四邊形∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵四邊形是平行四邊形∴平行四邊形是菱形；【小問2詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，過O作于P，則，∴的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.某快餐店有A、B兩種招牌套餐，A套餐的成本為10元/份，B套餐成本為12元/份，一份B套餐的售價(jià)比一份A套餐的售價(jià)貴3元錢，買6份A套餐與買5份B套餐花費(fèi)一樣．（1）求快餐店A套餐和B套餐的單價(jià)分別為多少元；（2）商家統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，每天平均可售A套餐300份和B套餐200份，如果將A套餐的單價(jià)每提高0.1元，則每天將少售出A套餐5份：如果將B套餐的單價(jià)每提高0.2元，則每天將少售出B套餐7份；該快餐店決定將兩種套餐都提高a元，在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)a為多少時(shí)，才能使該商家每天銷售這兩種套餐獲取的利潤共2055元．【答案】（1）一份A套餐售價(jià)為15元，則一份B套餐的售價(jià)為18元（2）當(dāng)時(shí)，才能使該商家每天銷售這兩種套餐獲取的利潤共2055元【解析】【分析】（1）設(shè)一份A套餐的售價(jià)為x元，則一份B套餐的售價(jià)為元，根據(jù)6份A套餐價(jià)格=5份B套餐價(jià)格列出方程解方程即可；（2）兩種套餐都提高a元后，根據(jù)銷售A套餐獲得的利潤+銷售B套餐獲得的利潤=2055元列出方程，解方程即可．【小問1詳解】解：設(shè)一份A套餐的售價(jià)為x元，則一份B套餐的售價(jià)為元，根據(jù)題意得：，解得：，（元），答：一份A套餐的售價(jià)為15元，則一份B套餐的售價(jià)為18元．【小問2詳解】兩種套餐都提高a元后，銷售一份A套餐獲得的利潤為元，即元，銷售一份B套餐獲得的利潤為元，即元，可以銷售A套餐的份數(shù)為：份，即份，可以銷售B套餐的份數(shù)為：份，即份，根據(jù)題意得：，解得：，（舍去），答：當(dāng)時(shí)，才能使該商家每天銷售這兩種套餐獲取的利潤共2055元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程和一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出題目中的等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．21.定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．如圖，，四邊形是損矩形，則該損矩形的直徑是線段．同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)：在公共邊的同側(cè)的兩個(gè)角是相等的．如圖中：和有公共邊，在同側(cè)有和，此時(shí)；再比如和有公共邊，在同側(cè)有和，此時(shí)．（1）請?jiān)趫D中找出一對這樣的角來：___________；（2）如圖，中，，以為一邊向外作菱形，D為菱形對角線的交點(diǎn)，連接．①四邊形___________損矩形（填“是”或“不是”）；②當(dāng)平分時(shí)，判斷四邊形為何種特殊的四邊形？請說明理由；③若，求的長．【答案】（1）（2）①是，②正方形，見解析，③【解析】【分析】（1）根據(jù)題意給出的性質(zhì)即可得出一組角相等；（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)即可證明，②根據(jù)損矩形的性質(zhì)即可求出四邊形ACEF是正方形；③過點(diǎn)D作，交的延長線于H，根據(jù)四邊形是菱形可得，根據(jù)四邊形為損矩形可得，最后結(jié)合含的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出解答．【小問1詳解】由圖1得：和有公共邊，在同側(cè)有和，此時(shí)；故答案為：；【小問2詳解】①∵四邊形為菱形，∴，即，∵，∴四邊形為損矩形；②四邊形為正方形，理由如下：證明：∵，平分，∴，∵四邊形為損矩形，∴，∴，∴菱形為正方形；③過點(diǎn)D作，交的延長線于H，∵四邊形是菱形，，∴，∵四邊形為損矩形，∴，∴，∴，∴