平面向量與其它數(shù)學知識的交匯舉隅

平面向量與其它數(shù)學知識的交匯舉隅常州市小河中學顧銀芳平面向量是數(shù)學的重要內(nèi)容,也是重要的數(shù)學工具。向量知識、向量觀點在數(shù)學、物理等學科的很多分支中有著廣泛的應用，是解決問題的重要工具。它具有代數(shù)和幾何的雙重身份,并融數(shù)、形與一體，是溝通代數(shù)、幾何、三角等知識的橋梁，能與中學數(shù)學教學內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，因此向量也成為高考考查的一個熱點。下面就向量與其它數(shù)學知識的交匯列舉幾例加以分析。平面向量與函數(shù)的交匯將向量的運算與函數(shù)的解析式聯(lián)系在一起，將函數(shù)的圖象與向量的坐標相對應，使平面向量與函數(shù)及其圖象牽起手來，編制成有關平面向量與函數(shù)圖象的綜合題，考查學生靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力。例1、設是非零向量，若函數(shù)的圖象是一條直線，則必有（）A． B． C． D．分析：將函數(shù)的解析式按x的降冪整理即可尋得解題思路。解：將函數(shù)解析式整理得：由題意該函數(shù)的圖象是一條直線，則其解析式是關于x的一次函數(shù)，所以，即，所以。點評：本題是利用“平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)”這一結(jié)論將函數(shù)和平面向量有機結(jié)合。除此之外，平面向量的坐標運算也是代數(shù)式的運算。設則可利用下列幾個公式來建立函數(shù)關系式：(1)(2)∥（3）向量內(nèi)積公式=；（4）兩向量的夾角公式等平面向量與三角的交匯平面向量中的夾角是引起向量與三角交匯的主要因素，它把向量與三角函數(shù)有機地綜合在一起，使三角問題得以充實與加強，有效地考查學生解決問題能力。它常常包括向量與三角函數(shù)化簡、求值與證明的交匯、向量與解三角形的交匯、向量與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的交匯等幾個方面.例2、已知向量=(cosx,sinx)，=(cosx，－sinx)，且x∈[0,]，求：①·及|＋|；②若f(x)=·－2λ|＋|的最小值是－，求λ的值。解：①·=cosx·cosx－sinx·sinx=cos2x；|＋|===2∵x∈[0,]∴cosx＞0

∴|＋|=2cosx②f(x)=cos2x－4λcosx=2(cosx－λ)2－1－2λ2∵x∈[0,]∴0≤cosx≤1⑴當λ＜0時，當且僅當cosx=0時，f(x)取得最小值－1，這與已知矛盾。⑵當0≤λ≤1時，當且僅當cosx=λ時，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知-1－2λ2=－，解得λ=。⑶當λ＞1時，當且僅當cosx=1時，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ=－，解得λ=，這與λ＞1相矛盾；綜上所述，λ=即為所求。點評：本題是以平面向量的知識為平臺，考查了三角函數(shù)的有關運算，運用了分類與討論的思想方法。平面向量與數(shù)列的交匯例3、.在直角坐標平面中，已知點，，，，其中n是正整數(shù)對平面上任一點，記為關于點的對稱點，為關于點的對稱點，為關于點的對稱點（1）求向量的坐標；（2）對任意偶數(shù)n，用n表示向量的坐標解：(1)設點(x,y),關于點的對稱點的坐標為(2－x,4－y),關于點的對稱點的坐標為(2+x,4+y),∴=(2,4).(2)=,由于,得=2()=2（,）=（n,）點評：本題向量的坐標呈周期性的規(guī)律出現(xiàn)，這正是數(shù)列的一個特征的體現(xiàn)，從而形成向量與數(shù)列的知識交匯，解本題的關鍵之所在就是找到這兩者的交匯點。平面向量與不等式的交匯平面向量數(shù)量積的一些性質(zhì)及其平面向量的模?？梢越⒁恍┎坏汝P系，如：（1）；（2）。例4、已知向量≠，||＝1，對任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，則（）(A)⊥(B)⊥(－)(C)⊥(－)(D)(＋)⊥(－)解：對任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，故兩邊平方得：即：又上式對任意t∈R，恒成立，即有：。即：故當時，上式成立，本題應選（C）點評：在以向量知識為背景的題型中，涉及到有關模的問題，常用的處理方法是平方，轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決問題。本題中的恒成立問題也是屬于探索性問題的常見題型，注意利用化歸思想進行轉(zhuǎn)化。平面向量與導數(shù)的交匯向量、導數(shù)都是新課程新增內(nèi)容，它們都是重要的解題工具。同時又是新舊知識的一個重要的交匯點。例5、已知向量是否存在實數(shù)若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之.解：點評：平面向量與函數(shù)之間若建立了高次函數(shù)的關系或是一些超越常見基本函數(shù)的關系，常使用“求導”的方法，利用導數(shù)這一重要的數(shù)學解題工具處理問題。平面向量與解析幾何的交匯平面向量與解析幾何的交匯試題，既考查平面向量的概念與運算，也考查了平面解析幾何知識，同時考查了向量知識在平面解析幾何問題中的運用.例6、已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點）.求k的取值范圍.分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關系的問題，可以設法得到關于的不等式，通過解不等式求出的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔⒈硎緸榱硪粋€變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出的范圍。解：（Ⅰ）略解：雙曲線C的方程為（Ⅱ）將由直線l與雙曲線交于不同的兩點得即①設，則而于是：②由①、②得故k的取值范圍為點評：本題通過平面向量的數(shù)量積與解析幾何的交匯知識點，形成一求解參數(shù)k的取值范圍的綜合題，它既考查了平面向量的概念和運算，也考查了解析幾何中的有關直線與圓錐曲線的相關問題。平面向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，因而向量方法是研究高中數(shù)學的一個有力工