人教版七年級下冊二元一次方程組全章

第七章二元一次方程組第一節(jié)誰的包裹多累死我了！你還累？這么大的個，才比我多馱了2個。哼，我從你背上拿來1個，我的包裹數(shù)就是你的2倍！真的？！它們各馱了多少包裹呢?你還累?這么大的個,才比我多馱了2個我從你背上拿來1個,我的包裹數(shù)就是你的2倍!老牛的包裹數(shù)-小馬的包裹數(shù)=2個老牛的包裹+1=(小馬馱的包裹數(shù)-1)×2設老牛馱了x個包裹,小馬馱了y個包裹.x－y＝2x＋1＝2(y－1)老牛的包裹數(shù)比小馬的多2個,由此你能得到怎樣的方程呢?若老牛從小馬的背上拿來1個包裹,這時它們各有幾個包裹?由此你又能得到怎樣的方程呢?每張成人票5元，每張兒童票3元。他們到底去了幾個成人、幾個兒童呢？昨天，我們8個人去北陵公園玩，買門票花了34元。設他們中有x個成人,y個兒童.由此你能得到怎樣的方程?

共8個人,花了34元成人票每張五5元,兒童票每張3元x+y=85x+3y=34上面所列方程各含有幾個未知數(shù)?含有未知數(shù)的項的次數(shù)是多少?2個未知數(shù)次數(shù)是1

含有兩個未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1

的方程叫做二元一次方程.x－y＝2x＋y＝8x＋1＝2(y－1)5x＋3y＝34

想一想下列方程中哪些是二元一次方程(1)x+y+z=9(2)x=6(3)2x+6y=14(4)xy+y=7(5)7x+6y+4=16(6)x2+y=6

比一比看誰快答：（3）、（5）、x,y的含義分別相同,因而x,y必須同時滿足方程

x＋y＝8和

5x＋3y＝34把他們聯(lián)立起來,得:｛x＋y＝85x＋3y＝34

像這樣含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程叫做二元一次方程組.注意

方程組各方程中同一字母必須代表同一個量

議一議

方程

x＋y＝8和

5x＋3y＝34中，x的含義相同嗎？y呢？｛xy－x＝4x＋y＝5(1)(3)(2)｛x－

y＝2x＋

1＝2(y－

1)(3)｛x＋

y＋

z＝93x－

2y＝6

比一比看誰快它們是二元一次方程組嗎？做一做X=6,y=2適合方程x+y=8嗎?X=5,y=3呢?

你還能找到其他x,y值適合方程

x+y=8嗎?(2)X=5,y=3適合方程5x+3y=34嗎?x=2,y=8呢?(3)你能找到一組x,y值同時適合方程x+y=8和5x+3y=34嗎?適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值,叫做這個二元一次方程的一個解.如x=6,y=2是方程x+y=8的一個解，記作

。同樣，也是方程x+y=8的一個解。注：二元一次方程有無數(shù)個解。二元一次方程組中各個方程的公共解,叫做這個二元一次方程組的解.例如就是二元一次方程組的解。注：二元一次方程組只有唯一的解，是兩個方程的公共解。1.下列4組數(shù)值中,哪些是二元一次方程2x+y=10的解?(1)｛(4)｛(3)｛(2)｛X=-2y=6X=3y=4X=4y=3X=6y=-2

隨堂練習（2）、（4）2.二元一次方程組｛x+2y=10y=2x(1)｛(3)｛(4)｛(2)｛X=4y=3X=3y=6X=2y=4X=4y=2的解是（3）3、甲種物品每個4千克，乙種物品每個7千克?，F(xiàn)有甲種物品x個，乙種物品y個，共76千克。(1）、列出關于x、y的二元一次方程

;(2)、若x=12，則y=

;(3)、若有乙種物品8個，則甲種物品有

個。4x+7y=76454.下列各式是二元一次方程的是()A.x=3yB.2x+y=3zC.x2+x-y=0D.3X+2=55.已知二元一次方程3x-2y=9,若y=0,則x=｛X=-2y=36、若

是x-ky=1的解,則k=A3-17.下列不是二元一次方程組的是()｛AX+y=3X-y=1｛BX+=1Y+x=2｛CX=1y=1D｛6x+4y=9y=3x+4B8、方程x+y=5是二元一次方程，則m=

,n=

.0解：x+y=5是二元一次方程m+1=12n+m=1解得，m=0n=(1)二元一次方程(2)二元一次方程的解(3)二元一次方程組(4)二元一次方程組的解小結：試一試<<孫子算經(jīng)>>是我國古代較為普及的算書,許多問題淺顯有趣.其中下卷第31題“雞兔同籠”問題流傳尤為廣泛,飄洋過海傳到了日本等國.題為:今有雞兔同籠,上有35頭,下有94足.問雞兔各幾何?今有雞兔同籠上有三十五頭下有九十四足問雞兔各幾何你能解決這個有趣的雞兔同籠問題嗎？解二元一次方程組(1)問題1：什么是二元一次方程？

含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.問題2：有那位同學能舉出生活中運用二元一次方程組解決問題的例子。并根據(jù)題意列出方程?；仡櫯c思考李明和媽媽買了18元的蘋果和梨共5千克，1千克蘋果售價4元，1千克梨售價3元，李明和媽媽買蘋果和梨各多少千克？列方程組為｛x+y=54x+3y=18考考你（1）蘋果的重量+梨的重量=5（2）蘋果的總價+梨的總價=18設買蘋果x千克，買梨y千克。分析:由①，得y=5-x。③由于方程組中相同的字母表示同一個未知數(shù)，所以方程②中的y也等于5-x，可以用5-x代替方程②中的y。這樣就有4x+3（5-x）=18④李明和媽媽到底買了多少蘋果，多少梨？要知道這個問題，我們就要想一想二元一次方程組214x+3y=18x+y=5怎樣解？考考你這樣，我們就得到二元一次方程組的解x+y=54x+3y=18x=3y=2因此，李明和媽媽共買了蘋果3千克，梨2千克。解所得的一元一次方程④，得x=3再把x=3代入③，得y=2例1：解方程組3x+2y=14①X=y+3②所以原方程組的解是

x=4y=1要在實踐中學習喲解：將②代入①，得3（y+3）+2y=143y+9+2y=14

5y=5

y=1

將y=1代入②，得x=4把求出的解代入原方程組，可以知道你解得對不對。①②分析：①式中的y就是12-x.解：由①得

y=12-x.③

將③代入②，得2x+12-x=20

解這個一元一次方程，得

x=8

將x=8代入③，得

y=4.

所以原方程組的解是

本題能否通過消去x解這個方程組嗎？y=2x①X+y=12②1.2.x+y=11①X-y=7②解下列方程組

上面解方程組的基本思路是“消元”------把“二元”變?yōu)椤耙辉薄Ｖ饕襟E是：將其中一個方程的某個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。這種解方程組的方法稱為代入消元法，簡稱代入法你的結論和我一樣嗎？同學們：你從上面的學習中體會到解方程組的基本思路是什么嗎？主要步驟有哪些嗎？解二元一次方程組⑴

x+y=5①x-y=1②⑵2x+3y=40①x-y=-5②2、已知（2x+3y-4）+∣x+3y-7∣=0則x=

，y=

。２

-3—103隨堂練習：y=2x⑴x+y=12⑵x=—y-524x+3y=65⑶x+y=11x-y=7⑷3x-2y=9x+2y=3x=4y=8x=5y=15x=9y=2x=3y=0你解對了嗎？同學們：你能把我們今天學習的內容小結一下嗎？

1、本節(jié)課我們知道了用代入消元法解二元一次方程組的基本思路是“消元”。即把“二元”化為“一元”，化二元一次方程組為一元一次方程。2、把求出的解代入原方程組，可以檢驗解題過程是否正確。課堂檢測：2.一個長方形的長是寬的3倍，如果長減少3cm,寬增加4cm，這個長方形就變成了一個正方形.求這個長方形的長和寬.3.如果一個兩位數(shù)加上45，恰好等于把這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調后組成的新兩位數(shù).這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字的和是7，你能知道這個兩位數(shù)嗎？主要步驟：

基本思路:4.寫出解3.回代得解2.代入分別求出兩個未知數(shù)的值寫出方程組的解1.變型用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)1、解二元一次方程組的基本思路是什么？2、用代入法解方程的步驟是什么？消去一個元消元:二元一元解方程組①②3x+2y=13,3x-2y=5.還有沒有其它方法？不用代入法能否消去其中的未知數(shù)y？觀察：此方程組中，

（1）未知數(shù)y

的系數(shù)有什么特點？

（2）怎么樣才能把這個未知數(shù)y消去？

（3）你的根據(jù)是什么？用代入法解方程組引入3x+2y=13,3x-2y=5.①②解：①+②,得(3x+2y)+(3x-2y)=13+5,3x+2y+3x-2y=18,6x=18,

x=3.

把x=3代入①,得

9+2y=13,y=2.x=3,y=2.∴｛｛解方程組探究

解方程組｛3x+5y=5,

3x-4y=23.

①②解：①-②,得(3x+5y)-(3x–4y)=5-23,3x+5y-3x+4y=-18,9y=-18,y=-2.把y=-2代入①，得3x+5×(-2)=5,解得x=5.所以，原方程組的解是｛x=5,y=-2.探究上面方程組的基本思路是什么？

主要步驟有哪些？上面解方程組的基本思路仍然是“消元”。

主要步驟是：

通過兩式相加（減）消去一個未知數(shù)。

這種解二元一次方程的方法叫做加減消元法，簡稱加減法。思考：用加減法解二元一次方程組將兩方程相加還是相減主要看什么？

相同字母系數(shù)相同用減法;

相同字母系數(shù)相反用加法.填空題：1.利用加減消元法解方程組時在所有的方程組的兩個方程中，某個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，則可以直接

消去這個未知數(shù)，如果某個未知數(shù)系數(shù)相等，則可以直接消去這個未知數(shù).

把這兩個方程的兩邊分別相加.把這兩個方程中的兩邊分別相減,鞏固

分別相加y

就可以消去未知數(shù)

.2.已知方程組x+3y=17,2x-3y=6,兩個方程只要兩邊分別相減

就可以消去未知數(shù)

.3.已知方程組25x-7y=16,25x+6y=10,兩個方程只要兩邊x4.已知a、b滿足方程組a+2b=8,2a+b=7,則a+b=

.5鞏固選擇題5.用加減法解方程組6x+7y=-19,①6x-5y=17.②應用().A.①-②消去yB.①-②消去xC.②-①消去常數(shù)項D.以上都不對B6.方程組3x+2y=13,3x-2y=5消去y后所得的方程是().BA.6x=8B.6x=18C.6x=5D.x=18鞏固3x-5y=6,①7.用加減法解方程組2x-5y=7,②具體解法如下(1)①-②得x=1(2)把x=1代入②得y=-1.(3)∴x=1y=-1其中出現(xiàn)錯誤的一步是（）.A.(1)B.(2)C.(3)A選擇題鞏固試一試7x-2y=39x+2y=-196x-5y=36x+y=-15用加減消元法解下列方程組判斷：指出下列方程組求解過程中有錯誤步驟，并給予訂正7x－4y＝45x－4y＝－4解:①－②，得

2x＝4－4，

x＝0①②①②3x－4y＝145x＋4y＝2解①－②，得－2x＝12

x＝－6解:①－②，得

2x＝4＋4，

x＝4解:①＋②，得

8x＝16

x＝21、本題與上面剛剛所做的二道題有什么區(qū)別？

2、本題能否用加減法？3、如何使x或y的系數(shù)變?yōu)橄嗟然蛳喾矗?/p>

例2：解方程組3x2y112x3y16-=+=①②解：①×3，得，9x－6y＝33③②×2，得，4x＋6y＝32④③＋④，得，13x＝65x＝5把x＝5代入①，得3×5－2y＝11解得y＝2

本題如果消去x，那么如何將方程變形？練習：用加減法解下列方程組：用加減法解方程組3x+2y=9①（1）3x-5y=2②2s+5t=①（3）3s-5t=②1213（2）

上面這些方程組的特點是什么?解這類方程組基本思路是什么？主要步驟有哪些？特點:基本思路:主要步驟：同一個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)加減消元:二元一元加減消去一個元求解分別求出兩個未知數(shù)的值寫解寫出方程組的解系數(shù)成倍數(shù)關系絕對值相等不成倍數(shù)關系轉化轉化加減消元法系數(shù)相同用加法系數(shù)互為相反數(shù)用減法（1）3x2a+b+2+5y3a-b+1=8是關于x、y的二元一次方程求a、b解：根據(jù)題意：得2a+b+2=13a-b+1=1得：a=b=15-35-拓展應用(2)已知3a3xb2x-y和-7a8-yb7是同類項，求x·y的值。解：根據(jù)題意：得3x=8-y2x-y=7轉化為3x+y=82x-y=7x=3y=-1∴即xy=-3拓展應用已知（3m+2n-16)2與|3m-n-1|互為相反數(shù)

求：m+n的值解：根據(jù)題意：得3m+2n-16=03m-n-1=0解得：m=2n=5即：m+n=7拓展應用拓展與提高：8.3實際問題與二元一次方程組(1)悟空順風探妖蹤,千里只行四分鐘.歸時四分行六百,風速多少才稱雄?順風速度=悟空行走速度+風速逆風速度=悟空行走速度-風速解：設悟空行走速度是每分鐘x里，風速是每分鐘y里，4(x-y)=600

x=200y=50答:風速是每分鐘50里.4(x+y)=1000

解得:依題意得列方程組解應用題的步驟：

審題設未知數(shù)列方程組解方程組檢驗答養(yǎng)牛場原有30只大牛和15只小牛，1天約需要飼料675kg克；一周后又購進12只大牛和5只小牛，這時1天約需要飼料940kg。飼養(yǎng)員李大叔估計平均每只大牛1天約需飼料18至20kg，每只小牛1天約需要飼料7至8kg。請你通過計算檢驗李大叔的估計是否正確？自主探究1、怎樣檢驗他的估計呢？2、題目中包含怎樣的等量關系？這就是說,每只大牛約需飼料２０kg,每只小牛約需飼料５kg.因此，飼料員李大叔對大牛的食量估計較準確,對小牛的食量估計偏高.你的答案對了嗎？解得：205化簡得：①②解:設平均每只大牛和每只小牛1天各約需飼料xkg和ykg.依題意得練一練：長18米的鋼材，要鋸成10段，而每段的長只能取“1米或2米”兩種型號之一，小明估計2米的有3段，你們認為他估計的是否準確？為什么呢？那2米和1米的各應取多少段？解:設應取2米的x段,1米的y段,努力提高自我答：小明估計不準確.２米的應?。付?，1米的應?。捕?解得:依題意得努力提高自我

試一試:某高校共有5個大餐廳和2個小餐廳，經(jīng)過測試：同時開放1個大餐廳和2個小餐廳，可供1680名學生就餐；同時開放2個大餐廳和1個小餐廳，可供2280名學生就餐.

（1）求1個大餐廳和1個小餐廳分別可供多少名學生就餐？

（2）若7個餐廳同時開放，請估計一下能否供應全校的5300名學生就餐？請說明理由.解:(1)設1個大餐廳和1個小餐廳分別可供x名,y名學生就餐，x+2y=16802x+y=2280解得:x=960y=360(2)若7個餐廳同時開放，則有

5×960+2×360=5320答：

(1)1個大餐廳和1個小餐廳分別可供960名,360名學生就餐.(2)若7個餐廳同時開放，可以供應全校的5300名學生就餐.5320>5300依題意得

想一想:某蔬菜公司收購到某種蔬菜140噸，準備加工上市銷售.該公司的加工能力是：每天可以精加工6噸或粗加工16噸.現(xiàn)計劃用15天完成加工任務，該公司應安排幾天精加工，幾天粗加工？解：設該公司應安排x天精加工，y天粗加工,

x+y=156x+16y=140解得:x=10y=5答：該公司應安排x10天精加工，5天粗加工.拓展延伸依題意得實際問題

設未知數(shù)、找等量關系、列方程（組）

數(shù)學問題

[方程（組）]解方程（組）數(shù)學問題的解檢驗實際問題的答案

第八章二元一次方程組做一做：1、把長方形紙片折成面積相等的兩個小長方形，有哪些折法？2、把長方形紙片折成面積之比為1：2的兩個小長方形，又有哪些折法？●●●●

按面積分割長方形的問題可轉化為分割邊長的問題。歸納導學提綱1、自學課本P114探究2并完成課本中的分析。2、思考：（1）“甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1：1.5”是什么意思？（2）“甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3：4”是什么意思？（3）本題中有哪些等量關系？3、你還能設計其他種植方案嗎？例1：據(jù)以往的統(tǒng)計資料,甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比

是1:1.5,現(xiàn)要在一塊長200m,寬100m的長方形土地上種

植這兩種作物,怎樣把這塊地分為兩個長方形,使甲、乙

兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4(結果取整數(shù))?應用數(shù)學、解決實際問題ABCD甲種作物的總產(chǎn)量=甲的單位面積產(chǎn)量×甲的種植面積乙種作物的總產(chǎn)量=乙的單位面積產(chǎn)量×乙的種植面積解：設AE為x米,BE為y米，由題意得：x+y＝200100x:（1.5×100y）＝3:4ABCD●E┓xy解方程組得:x＝y(tǒng)＝由題意取值:X≈106y≈94答：過長方形土地的長邊上離一端約106米處,把這塊地分為兩個長方形.較大一塊地種甲種作物,較小一塊地種乙種作物.ABCD●E┓yx解：設CE為x米,BE為y米，由題意得：x+y＝100200x:（1.5×200y）＝3:4解方程組得:x＝y(tǒng)＝由題意取值:X≈53y≈47答：過長方形土地的短邊上離一端約53米處,

把這塊地分為兩個長方形.較大一塊地種甲種作物,較小一塊地種乙種作物.

據(jù)以往的統(tǒng)計資料,甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比

是1:1.5,現(xiàn)要在一塊長200m,寬100m的長方形土地上種

植這兩種作物,從長方形邊的中點出發(fā)引出一條線段怎樣把這塊地分為兩部分,使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4(結果取整數(shù))?ABCD變式：

例2：小龍在拼圖時，發(fā)現(xiàn)8個一樣大的小長方形，恰好可以拼成一個大長方形，如圖甲所示，陳曄看見了說“我來試一試”，結果陳曄七拼八湊，拼成一個如圖乙的正方形，中間留下一個洞，恰好是邊長2mm的小正方形，你能算出小長方形的長和寬嗎？甲乙

例3：一個長方形，它的長減少4cm，寬增加2cm，所得的是一個正方形，它的面積與長方形的面積相等，求原長方形的長與寬。解：設長方形的長為xcm，寬為ycm，由題意得：

X-44y2ⅠⅡ實際問題

設未知數(shù)、找等量關系、列方程（組）

數(shù)學問題

[方程（組）]解方程（組）數(shù)學問題的解雙檢驗實際問題的答案

課題：實際問題與二元一次方程組（3）學會用列表的方式分析、解決簡單的實際問題再次體會二元一次方程組與現(xiàn)實生活的聯(lián)系和作用。

解決含有多個未知數(shù)的實際問題是重點用列表分問題中的數(shù)量關系是難點。

學習目標重點難點⑴審題，弄清

，及題中的

；⑵設未知數(shù),可

，也可

；⑶根據(jù)題目中所給的關系找出

，列出方程； ⑷

，檢驗解的正確性；題意直接設元間接設元相等關系解方程組相等關系1.列方程解應用題的一般步驟：復習2、實際問題中常見得類型及數(shù)量關系。

利潤率=利潤進價×100％折率=售價標價

利潤=售價–進價⑶.利潤問題⑵.行程問題

路程=速度×時間

順風（水）速度=航速+風速（水速）

逆風（水）速度=航速–風速（水速）①相遇問題：兩者路程之和=總路程②追及問題：兩者路程之差=總路程⑴.工作量問題

工作量=工作效率×工作時間一批貨物要運往某地，貨主準備租用汽車運輸公司的甲、乙兩種貨車，已知過去兩次租用這兩種貨車的情況如下表：

（２）這批貨物需租用5輛甲種貨車、2輛乙種貨車剛好一次運完，如果每噸付20元運費，貨主應付運費多少元？問：每輛甲種貨車能裝貨多少噸？每輛乙種貨車可裝貨多少噸？（１）（噸）一、自主學習答：要剛好一次運完，貨主應付運費500元。解

:(1)設甲種貨車每輛可運x噸，

乙種貨車每輛可運y噸.由題意得：｛4x+5y=28.53x+6y=27解這個方程組，得x=4｛(2)(5x+2y)

20=(5

4+2

2.5)

20=500(元)y=2.5答：甲種貨車每輛可運4噸，

乙種貨車每輛可運2.5噸.1、在這道題目中，有部分條件是以表格的形式給出的，這就要求同學們在審題時要真正讀懂表中的信息，這樣才能找到解題的方向。2、本題中的單位運價是每噸20元，有時，單位運價還可以以下面的形式出現(xiàn)。長青化工廠與A地相距150千米，工廠要將200噸貨物用汽車運往A地，已知公路運價是1.5元/（噸·千米），則需付運費_________元.45000想一想：二、合作探究探究：

長青化工廠用汽車從A地購買一批原料運回工廠，制成產(chǎn)品后用火車運到B地。工廠與A地相距80千米，與B地相距150千米。公路運價為1.5元/（噸·千米），鐵路運價為1.2元/（噸·千米），這兩次運輸支出公路運費15000元，鐵路運費97200元。求工廠從A地購得的原料有多少噸？制成的產(chǎn)品有多少噸？解：設購得的原料為x噸，制成的產(chǎn)品為y噸，根據(jù)題意得｛1.5×80×x=150001.2×150×y=97200解得：｛x=125y=540答：購得的原料為125噸，制成的產(chǎn)品為540噸。這道題中的量有很多，不妨我們畫一個示意圖。A地B地長青化工廠公路80km鐵路150km原料產(chǎn)品1.5元/（噸·千米）1.2元